第五节　平面任意力系平衡方程

当平面任意力系的主矢和主矩都等于零时，说明力系向简化中心等效平移后，施加在简化中心O的汇交力系和附加力偶系都是平衡力系，则该平面任意力系一定是平衡力系。因此，平面任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢与对任一点的主矩均等于零。即：

根据上述的平衡条件，可以用解析式表达.即：

　　 （2-16） 　　

由此可得平面任意力系平衡的解析条件：平面任意力系中各力在两个任选的坐标轴中每一轴上投影的代数和分别等于零，以及各力对任意一点之矩的代数和等于零。这就是平面任意力系的平衡方程。

实际计算时坐标轴的方位可以任意选取，简化中心O点的位置可以任意确定。值得注意的是，平衡方程是三个独立方程，所以最多只能求解三个未知力。

在解决实际问题时。适当地选择坐标轴和矩心可以简化计算。在平面任意力系情形下，力矩的矩心应取在未知力较多的点上，坐标轴则尽可能选取与该力系中多数力的作用线平行或垂直。

平面任意力系的平衡方程还有其他两种形式。

（1）二力矩式　两个力矩方程和一个投影方程，即：

　　 （2-17） 　　

其中，A、B两点的连线AB不能与x轴垂直。

（2）三力矩式　三个力矩方程，即：

　　 （2-18） 　　

其中，A、B、C三点不能共线。

以上三组方程式（2-16）、式（2-17）、式（2-18）均可以解决平面任意力系的平衡问题，究竟选哪一种形式，需根据具体条件确定。对于受平面任意力系作用的研究对象的平衡问题，只可以列出三个独立的平衡方程，求解三个未知量，超过三个方程的其他平衡方程都是同解方程。

若平面力系中各力的作用线相互平行（图2-22），则称其为平面平行力系。对于平面平行力系，在选择投影轴时，使其中一个投影轴垂直于各力作用线，则式（2-16）中必有一个投影方程成为恒等式。于是，只有一个投影方程和一个力矩式方程，这就是平面平行力系的平衡方程，即：

　　 （2-19） 　　

【例2-9】　图2-23（a）所示的水平横梁AB，A端为固定铰支座，B端为可动铰支座。其中，a=2m，集中力F=8kN，作用于梁的中点C。在梁AC段上受均布载荷q=6kN/m作用，在梁的BC段上受力偶矩为M=12kN·m的力偶作用。试求A、B处的约束反力。

解　选取梁AB为研究对象。作用在AB上的主动力有：均布载荷q、集中力F和矩为M的力偶；约束反力有：铰链A处的两个分力FAx、FAy和可动支座B处垂直向上的约束反力FB，其受力如图2-23（b）所示。

取坐标系如图2-23（b）所示，列出梁的平衡方程：

∑Fx=0，FAx=0

∑Fy=0，FAy-qa-F+FB=0

解得FAx=0，FAy=10kN，FB=10kN。

【例2-10】　刚性支架的A端嵌固在基础上，C端装有滑轮，如图2-24（a）所示。绳子一端固定在D点，与水平面成α=60°角，另一端吊着重P=1000N的重物。已知AD=0.5m，DE=1.5m。求支架插入端的支座反力（包括反力偶在内）。

解　取整个支架为研究对象。受力图如图2-24（b）所示。已知滑轮两边绳子的拉力相等，即F=P=1000N，今后遇到带有滑轮的结构，一般不把滑轮拆开，以免增加不需求的未知数。选坐标轴如图2-24（b）所示，则平衡方程为：

∑Fx=0，FAx-Fcosα=0　　（1）

∑Fy=0，FAy-Fsinα-P=0　　（2）

∑mA（F）=0，MA-Fsinα·AD-P·AE=0　　（3）

由式（1）得　FAx=Fcos60°=500N

由式（2）得　FAy=P+Fsinα=1866N

由式（3）得　MA=P（ADsin60°+AE）=2433N·m

【例2-11】　如图2-25（a）所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA上的气动力按梯形分布：q1=60kN/m，q2=40kN/m，机翼重P1=45kN，发动机重P2=20kN，发动机螺旋桨的作用力偶矩M=18kN·m。求机翼处于平衡状态时机翼根部固定端O受的力。

解　取机翼（包括螺旋桨）为研究对象，其受力如图2-25（b）所示。分布载荷可以看作由三角形和矩形分布载荷的叠加，三角形分布部分的F3大小为（60-40）×9/2=90kN，作用线距根部3m；矩形分布的部分F4的大小40×9=360kN，作用线距翼根4.5m。对受力图［图2-25（b）］列平衡方程组：

∑Fx=0，FOx=0

∑Fy=0，FOy+F3+F4-P1-P2=0

∑MO（F）=0，MO+F3×3+F4×4.5-P1×3.6-P2×4.2-M=0

解得：FOx=0；FOy=-385kN（与假设方向相反）；MO=1626kN

【例2-12】　塔式轨道起重机如图2-26所示。机身重G=220kN，作用线通过塔架的中心。已知最大起重量P=50kN，起重悬臂长12m，轨道AB的间距为4m，平衡重W到机身中心线的距离为6m。试求：①能保证起重机不会翻倒的平衡重的大小W；②当W=30kN而起重机满载时，轮子A、B对轨道的压力。

解　取起重机整体为研究对象。起重机在起吊重物时，作用在它上面的力有机身自重G，平衡重W，起重量P，以及轨道对轮子A、B的约束力FA、FB，这些力组成一平面平行力系如图2-26所示。

①求保证起重机不会翻倒的平衡重的大小W

要保证起重机不会翻倒，就是要保证起重机在满载时不绕B点向右翻倒；空载时不绕A点向左翻倒。这就要求作用在起重机上的力系在以上两种情况下都能满足平衡条件。

满载时P=50kN，假定起重机处于平衡的临界情况（即：将翻未翻之时），则有FA=0，这时可由平衡方程求出平衡重的最小值Wmin，列平衡方程求得：

∑MB（F）=0，G·2+Wmin·（6+2）-P·（12-2）=0

Wmin=7.5kN

空载时P=0kN，又假定起重机处于平衡的另一临界情况，则有FB=0，这时可由平衡方程求出平衡重的最大值Wmax。由平衡方程可得：

∑MA（F）=0，-G·2+Wmax·（6-2）=0

Wmax=110kN

上面的Wmin和Wmax是在满载和空载两种极限平衡状态下求得的，起重机实际工作时当然不允许处于这种危险状态。因此要保证起重机不会翻倒，平衡重的大小W应在这两者之间，即7.5<W<110kN。

②取W=30kN，求满载时的约束力FA、FB

正常工作时，起重机既没有向右、也没有向左倾倒的可能，这时起重机在图2-26所示的各力作用下处于平衡状态。由平面平行力系的平衡方程：

∑MA（F）=0，-G·2+W·（6-2）+FB·4-P·（12+2）=0

∑Fy=0，FA+FB-W-G-P=0

可得

FA=45kN、FB=255kN

可见正常工作时，轨道约束力都大于零。轮子A、B对轨道的压力的大小就等于轨道对轮子A、B的约束力FA、FB。