第二节　力矩及其计算

力对刚体的作用效应使刚体的运动状态发生改变，其中力对刚体的移动效应可用力矢来度量；而力对刚体的转动效应可用力对点的矩（简称力矩）来度量，即力矩是度量力对刚体转动效应的物理量。

一、力对点之矩

如图2-8所示，当用扳手拧紧螺母时，力F使螺母绕点O的转动效应不仅与力F的大小有关，而且还与转动中心O到力F作用线的距离d有关。点O称为力矩中心，简称矩心，矩心O到力作用线的垂直距离d称为力臂。实践表明，转动效应随F或d的增大而增强，可用Fd来度量。此外，转动方向不同效应也不同。为了表示不同的转动方向，还应在乘积前冠以适当的正负号。

在平面问题中，为了度量力使刚体绕某点（矩心O）的转动效应，将Fd冠以适当正负号所得的物理量称为力F对O点之矩，记作MO（F），即：

MO（F）=±F·d　　（2-6）

力对点之矩是一个代数量，其正负规定为：力使物体绕矩心逆时针方向转动时为正：反之为负。在国际单位制中，力矩的常用单位为牛顿·米（N·m）、牛顿·毫米（N·mm）或千牛顿·米（kN·m）。

必须指出，求力矩时，矩心的位置可以任意选定。但对绕支点转动的物体，一般选择支22点为矩心。

由力对点之矩的定义可知，力矩具有以下性质。

①力矩的大小和转向与矩心的位置有关，同一力对不同矩心的矩不同。

②力作用点沿其作用线滑移时，力对点之矩不变。因为此时力的大小、方向未变，力臂长度也未变。

③当力的作用线通过矩心时，力臂长度为零，力矩亦为零。

二、合力矩定理

定理：平面汇交力系的合力对于平面内任意一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。

如图2-8（b）所示，设平面汇交力系F1、F2、…、Fn，有合力FR，则：

　　 （2-7） 　　

证明：　　FR=F1+F2+…+Fn

用矢径r叉乘上式两端（作矢量积），有：

r×FR=r×（F1+F2+…+Fn）

由于各力与矩心O共面，因此上式中各矢量积相互平行，矢量和可按代数和进行计算，而各矢量积的大小也就是力对点O之矩，故得：

必须指出，合力矩定理不仅对平面汇交力系成立，而且对于有合力的其他任何力系都成立。

由合力矩定理可得到力矩的解析表达式，如图2-9所示，将力F分解为两分力Fx和Fy。则力F对坐标原点O之矩为：

MO（F）=MO（Fx）+MO（Fy）=xFy-yFx　　（2-8）

式（2-8）即为平面力矩的解析表达式。其中x、y为力F作用点的坐标；Fx、Fy为力F在x、y轴上的投影，它们都是代数量，计算时必须注意各量的正负号。

将式（2-8）代入式（2-7），容易得到合力矩的解析表达式：

MO（FR）=∑（xFy-yFx）　　（2-9）

【例2-4】　如图2-10所示，直齿圆柱齿轮受啮合力Fn的作用。设Fn=2000N，α=20°，齿轮的节圆（啮合圆）半径r=60mm，试计算力Fn对轴心的力矩。

解　方法1：由图2-10（a）可按力矩的定义计算。

MO（Fn）=Fnh=Frcosα=2000×60×10-3cos20°=112.8N·m

方法2：可应用合力矩定理计算。

将力Fn分解为圆周力（或切向力）Ft和径向力Fr，如图2-10（b）所示，由于径向力Fr通过矩心O，则：

MO（Fn）=MO（Ft）+MO（Fr）=MO（Ft）=Fncosα·r=112.8N·m

两种方法计算结果相同。

【例2-5】　如图2-11所示，线性分布载荷作用在水平梁AB上，已知载荷集度q，梁长l。试求该力系的合力。

解　先求合力的大小。取B为原点，向左为x轴正向。在梁上距B端为x处取一微段dx，其上作用力大小为qxdx，其中qx为此处的载荷集度。

由图可知，qx=qx/l，故分布载荷的合力大小为：

再求合力作用线位置。设合力FR的作用线距B端的距离为h，在微段dx上的作用力对点B之矩为（qxdx）x，全部分布载荷对点B之矩为：

由合力矩定理，得：

代入FR的值，得：

即合力大小等于分布载荷三角形的面积，合力作用线通过三角形的几何中心。

这一结论同样适用于其他形式的分布载荷（如均布载荷、抛物线分布载荷等），即合力大小等于分布载荷图形的面积，合力作用线通过分布载荷图形的几何中心。