第一节　平面汇交力系合成及平衡

一、平面汇交力系合成的几何法——力的多边形法则

设在刚体某平面上作用一汇交力系F1、F2、…、Fn，力系作用线汇交于A点，其合力FR即利用力合成三角形法则来求得。其矢量表达式为：

FR=F1+F2+…+Fn=∑F

结论：平面汇交力系可简化为一个合力，合力的作用点在各力作用线的汇交点，合力为各力的矢量和。

如图2-1（a）所示，设在刚体上作用平面汇交力系的四个力F1、F2、F3和F4。根据力在刚体上的可传性，将各力的作用点移至作用线的汇交点A，得到一个平面汇交力系，然后依次运用力三角形法则（或平行四边形法则）求矢量和。如图2-1（b）所示，先运用三角形法则求F1与F2的合力FR1，然后再将FR1与F3合成得FR2，最后再将FR2与F4合成得力系的合力FR即：

FR=F1+F2+F3+F4

求解合力矢FR时，只需将力系中的各力矢首尾相连，构成开口多边形abcde，这个开口多边形的封闭边即为合力矢FR。FR的始端为开口多边形第一个力的始端，末端为最后一个力的末端。各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。用力多边形求合力FR的几何作图规则称为力的多边形法则，即几何法。图2-1（b）、（c）称力矢图，表示各力矢的大小及方向，但不能表示其作用位置。在画力矢图时，各分力矢一定要首尾相接，按作图的先后顺序，第一个力矢的终点即为第二个力矢的起点。合力矢就是力多边形的封闭边。

【例2-1】　如图2-2（a）所示，作用在水平梁AB的中点C的力F，其大小为20N，且与梁的轴线成60°。梁的自重不计，试求固定铰支座A和可动铰支座B的反力。

解　①取梁AB为研究对象，受力分析，绘制受力分析图，如图2-2（b）所示。梁AB上作用力如下：主动力F、固定铰链支座A和活动铰链支座B，其中已知主动力F方向、活动铰链支座B约束力方向为支承面法线指向被约束物体，则根据三力平衡汇交定理，梁受到三个力的作用而平衡，可以确定固定铰链支座A的约束力的方向。该力系为平面汇交力系。

②画力多边形。如图2-2（c）所示，先画已知力F，然后从矢量F的始端E和末端H，分别画与力FB和FA相平行的矢量，得封闭力多边形EHK。

③计算。由三角关系得：

FA=Fcos30°=17.3kN，FB=Fsin30°=10kN

此题也可用比例尺法。即先选定比例尺，按比例尺画出力矢F的长度，然后按照上述方法画力多边形，最后用直尺量出矢量FB和FA的长度，按比例尺计算出力的大小，用量角器在图上量得矢量FB和FA的方向。

几何法解题的主要步骤如下。

①选取研究对象。根据题意，选取适当的平衡物体作为研究对象，并画出简图。

②分析受力，画受力图。在研究对象上，画出所受的全部已知力和未知力（包括约束力）。若某个约束力的作用线不能根据约束特性直接确定（如铰链），而物体又只受三个力作用，则可根据三力平衡必汇交的条件确定该力的作用线。

③作力多边形或力三角形。选择适当的比例尺，作出该力系的封闭力多边形或封闭力三角形。必须注意，作图时总是从已知力开始。根据几何法和封闭特点，就可以确定未知力的指向。

④求出未知量。用比例尺和量角器在图上量出未知量，或者用三角公式计算。

二、平面汇交力系合成的解析法

1.力在直角坐标轴上的投影

力的作用效应取决于力的大小、方向和作用点（对刚体而言是作用线），其大小、方向对作用效应的影响可用力在坐标轴上的投影来描述。力在坐标轴上的投影不仅表征了力对物体的移动效应，而且还是平面汇交力系合成的基础。

如图2-3所示，设在刚体上的点A作用一力F，在力F的作用线所在的平面内任取一直角坐标系Oxy。从力矢的两端向x轴作垂线，垂足a、b分别称为点A及B在x轴上的投影。而线段ab冠以相应的正负号称为力F在x轴上的投影，以Fx表示。同理，从力矢的两端向y轴作垂线，则线段a'b’冠以相应的正负号称为力F在y轴上的投影，以Fy表示。矢量F在轴上的投影不再是矢量而是代数量，并规定投影的指向与轴的正向相同为正值，反之为负值。投影与力的大小及方向有关。设力F与坐标轴正向间的夹角分别为α及β。则由图2-3可知：

　　 （2-1） 　　

即力在某轴上的投影等于力的大小乘以力与该轴的正向间夹角的余弦。这对于投影值为正或负的情况都同样适合，也适合于任何一种矢量在轴上的投影。反之，若已知力F在坐标轴上的投影Fx和Fy，则该力的大小及方向余弦为：

2.合力投影定理

如图2-4（a）所示，设刚体平面上作用两个汇交力F1、F2，根据力的平行四边形法则可求出合力FR。在刚体平面内任意建立直角坐标系Oxy，如图2-4（b）所示，将F1、F2和FR分别向x轴做投影，根据合矢量投影定理可得：

若刚体作用若干个力F1、F2、…、Fn组成的汇交力系，该力系的合成结果为：

　　 （2-2） 　　

将式（2-2）分别向两个坐标轴上投影，可得：

　　 （2-3a） 　　

式（2-3a）说明：合力在任意轴上的投影等于诸分力在同一轴上投影的代数和，此即合力投影定理。

为了简化书写，式（2-3a）中的下标i可略去，记为：

　　 （2-3b） 　　

既然合力投影与分力投影之间的关系对于任意轴都成立，那么，在应用合力投影定理时，应注意选择合适的投影轴，尽可能使运算过程简便。也就是说，选择投影轴时，应使尽可能多的力与投影轴垂直或平行。

3.平面汇交力系合成的解析法

根据合力投影定理，分别求合力在x、y轴上的投影FRx、FRy，由投影和分力之间的关系可确定出合力沿x、y轴方向的分力FRx、FRy，如图2-5所示，则合力FR的大小为：

　　 （2-4） 　　

合力矢的方向由合力矢与x轴的夹角α来确定：

【例2-2】　如图2-6所示，其为一平面汇交力系，试求合力的大小和方向。

解　合力在x、y轴上的投影分别为：

FRx=∑Fx=F1cos30°-F2cos60°-F3cos45°+F4cos45°=129.3N

FRy=∑Fy=F1sin30°+F2sin60°-F3sin45°-F4sin45°=112.3N

合力与x、y轴的夹角分别为α、β：

则α=41°，β=49°

合力FR作用线通过汇交点。

三、平面汇交力系的平衡

平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的合力为零。由式（2-4）可得：

欲使上式成立，必须同时满足：

　　 （2-5） 　　

即刚体在平面汇交力系作用下处于平衡状态时。各力在两个坐标轴上投影的代数和同时为零。这就是平面汇交力系平衡的解析条件，式（2-5）称为平面汇交力系的平衡方程。

平面汇交力系有两个独立的平衡方程，能求解而且只能求解两个未知量，它们可以是力的大小，也可以是力的方位，但一般不以力的指向作为未知量，在力的指向不能预先判明时，可先任意假定，根据平衡方程进行计算，若求出的力为正值，则表示所假定的指向与实际方向一致；若求出的力为负值，则表示假定的方向与实际指向相反。

【例2-3】　如图2-7（a）所示，重为P=20kN的物体，用钢丝绳挂在支架上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D上，杆AB与BC铰接，并用铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦与滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。

解　①取研究对象。由于忽略各杆的自重，AB、BC两杆均为二力杆。假设杆AB承受拉力，杆BC承受压力，如图2-7（b）所示。为了求这两个未知力，可通过求两杆对滑轮的约束反力来求解。因此，选择滑轮B为研究对象。

②画受力图。滑轮受到钢丝绳的拉力F1和F2（F1=F2=P）。此外杆AB和BC对滑轮的约束反力为FBA和FBC。由于滑轮的大小可以忽略不计，作用于滑轮上的力构成平面汇交力系，如图2-7（c）所示。

③列平衡方程。选取坐标系Bxy，如图2-7（c）所示。解联立方程组，坐标轴应尽量取在与未知力作用线相垂直的方向，这样，一个平衡方程中只有一个未知量，即：

解得FBA=-7.321kN；FBC=27.32kN

所求结果中，FBC为正值，表示力的实际方向与假设方向相同，即杆BC受压。FBA为负值，表示该力的实际方向与假设方向相反，即杆AB也受压力作用。