第三节 数学学习内容的核心概念
一、数感
（一）什么是数感
球员打球有球感，歌手唱歌有乐感，学生学习语文有语感，其实学数学也要有数感。所谓数感，通俗地说，就是人对于数及其运算的一般理解和感受，这种理解和感受可以帮助人们用灵活的方法为解决复杂的问题提出有用的策略。数感并不是一个新的概念，但《标准1》第一次把它作为数学学习的内容提出来。可见，理解数感，让学生在数学学习过程中建立数感，是《标准1》十分强调和重视的问题。
在人们的学习和生活实践中，经常要和各种各样的数打交道，经常有意识地将一些现象与数量建立起联系。这种把实际问题与数联系起来，就是一种数感。数感是一种主动地、自觉地理解数、运用数的态度和意识。数感使我们眼中看到的世界有了量化的意味，当我们遇到可能与数学有关的具体问题时就能自然地、有意识地与数学联系起来，或者试图进一步用数学的观点和方法来处理解决，即会“数学地”思考。我们没有必要，也不可能让人人都成为数学家，但应当使每一个人都具有数感，会“数学地”思考问题。数学素养作为公民素养之一，不只是用计算能力的高低和解决书本问题能力的大小来衡量。学生学会“数学地”思考问题，用数学的方法理解和解决实际问题，能从现实的情境中看出数学问题，这才是数学素养的重要标志。所以说，数感是人的一种基本的数学素养。
（二）《标准1》中对数感的要求
《标准1》中描述了对数感的要求：理解数的意义；能用多种方法表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数表达和交流信息；能为解决问题选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。
我们在进行数概念的教学时，要让学生在现实情境中理解和把握数的意义，并能运用数学的思想方法来解决现实中的数学问题；在数运算教学时，要结合运算内容提供给学生现实素材，让学生在把握运算意义的同时能选择适当的算法，让学生经历获得数感、建立数感、培养数感的过程。
（三）怎样建立和培养学生的数感
（1）联系生活，获取数感。数学教学应紧密联系学生的生活实际，只有将抽象的数学建立在学生生动、丰富的生活背景上，才能真正促进学生主动学习，获得主动发展。心理学研究表明，儿童有一种与生俱来的、以自我为中心的探索性学习方式。数感不是通过传授而能得到培养的，重要的是让学生自己去感知、发现，主动去探索，让学生在学习中体会到数学就存在于周围生活中，运用数学知识可以解释现实中的现象，解决生活中的问题，感受到数学的趣味和作用。这样在习得知识的同时，还能发展学生多种能力，培养非智力因素。
（2）自主探索，体验数感。数学教学中，教师要能够将静态的结论性的数学知识转化为动态的探索性的数学活动，帮助学生在自主探索的过程中体验数的意义和作用，建立良好的数感；要注重创设情境，设置教学内容和学生内在需求的“不平衡”，激发学生主动探索，给学生各种形式的探索机会，让学生在自主探索的过程中建立良好的数感。这样，学生在积极的情感中对数学产生亲近感，感受到学习数学的乐趣，进而产生了自主探索新知的强烈欲望，既能化解数学学习的难度，又能在成功的体验中获得自信，感受自尊，体验数感。
（3）合作学习，交流数感。小组合作学习有利于学生人人参与学习全过程，它不仅能挖掘个人内在的潜能，还能培养集体合作精神，人人可以尝试成功的喜悦。同学之间的语言最容易理解，数感也能得到进一步加强。
（4）拓展运用，升华数感。数感是一种心灵的感受，是一种意识活动，它存在于人的头脑之中，是一种高级的智力活动。有良好数感的人，在需要数感发挥的时候，数感便会自然出现。良好的数感可帮助学生深化知识，进行综合运用，从而达到对知识的融会贯通。而要达到这样的境界，则需要一个长期的培养过程。
总之，数感是一个崭新的学习内容，它需要教师在长期的教学中，创造性使用教材，把培养学生的数感、提高对数学的感知能力作为教学的终极目标。培养学生数感的过程是循序渐进的。培养学生的数感可以使学生有更多的机会接触社会，体验现实，表达自己对问题的看法，用不同的方式思考和解决问题，这无疑有助于学生创新精神和实践能力的培养。随着数感的建立、发展和强化，学生的整体数学素养也会有所提高。
二、符号感
（一）什么是符号感
在我们生活中，有很多大家公认的统一标志，比如，路口有标志“—”，表示此路不通；某场地有标志“P”表示可以停车；某路边标志牌上画有轮椅，表示残疾人的行道；铁路、公路、航空都有它们各自的标志，地图上也有各种标示，这些都是生活中的符号。从某种意义上说，我们生活在一个被“符号化”的世界里。所谓符号感就是人们对各种符号的理解与感受。数学符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具。学习数学的目标之一是使学生懂得符号的意义，会用符号解决实际问题和数学本身的问题，发展学生的符号感。
（二）《标准1》中对符号感的要求
《标准1》根据数学的学科和课程特点，把在解决问题的过程中发展学生的符号感作为一个重要的数学学习内容，并指出对符号感的要求：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律；理解符号所表示的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决有符号表示的问题。
（三）怎样建立和培养学生的符号感
（1）在教学中注意挖掘学生身边的符号。实际上学生的已有生活经验中潜藏着符号意识。大街、小巷、剧院、会场、家里、学校，……只要学生生活的地方，都能见到各式各样的符号。例如，老师在批改作业时用“√”来表示“正确的”，用“×”来表示“错误的”；道路上各种交通标示；教学楼的安全通道标志；等等。再如我们学习不等式的性质时，用文字叙述某一不等式性质是这样的：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。这样用文字表达相当烦琐，而用数学符号可以很简洁地表示为：如果a＞b，那么a+c＞b+c, a-c＞b-c。所以无论是在生活当中，还是在学习当中，我们处处都要与符号打交道。因此，我们的符号教学要与生活密切联系，这样学生学数学、用符号的积极性就会得到提高。
（2）在教学中要注重探究学习。学生学习数学的过程应该是一个学生亲自参与、丰富、生动的思维过程，是一个实践和创新的过程。我们的符号教学，更离不开学生的探究学习。教师如果在基本概念和规律的学习过程中渗透探究思想，就会使学生加深对概念和规律的理解与掌握，也从中培养了学生的符号感。例如，我们在讲“幂的运算”时，可以设计旧知迁移—猜想规律—合作探究—验证猜想—集体探讨—总结规律—学以致用—解决问题的教学环节，让学生在学习“乘方”的基础上，猜想出幂的运算规律；然后给学生充分探究的时间，分小组进行合作学习，并举例验证所得结果；再让学生把自己的猜想用简洁的语言概括出准确的规律，并让学生用符号来表示，让学生经历从特殊到一般，又从一般到特殊这一数学思考过程。在这一过程中充分体现出符号对于数学学习的优越性。
（3）在教学中应鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变化规律。鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变化规律是发展学生符号感的决定性因素。因为用符号来表示数、数量间的关系是从特殊到一般的思维过程。教育学家苏霍姆斯林基说：“如果老师不想办法使学生产生情绪高昂和智力震动的内心状态，就急于传授知识，不动情感的脑力劳动就会带来疲倦，没有欢欣鼓舞的心情，就没有学习兴趣，学习就会成为学生的沉重负担。”因而符号感的培养不能只停留在让学生学会用教材上固定的方式去表达我们所发现的规律及数量关系。为学生创造一个自由发展的空间，鼓励学生用自己独特的方式表达具体情境中的数量关系和变化规律，不但可以发展学生的符号感，激发学生的学习兴趣，更可以促进学生创新思维的发展。例如，在学习一些运算规律时，有的学生想到运用字母来表示所发现的规律，但也有的学生用别的符号来表示。这时只要符合规律，我们都要给予充分的肯定和鼓励。
（4）在教学中应鼓励学生用数学符号解决生活中的实际问题。数学来源于生活，扎根于生活，更要应用于生活，所以生活是培养学生符号感的摇篮和沃土。在教学中要尽可能让学生运用符号来使生活中复杂的问题简单化，从而轻松地解决问题。例如，在河岸边上有两个村庄，现要在河边修建一供水站，这一供水站修在何处才能使得两村所用的水管最短。这道题若是单单从字面上理解求解是很困难的，但是我们可以鼓励学生用数学符号来叙述。如先画图，在图上用A, B表示两个村庄，用一直线表示河流，供水站为C，那么这道题就是求当C在何处时，AC+BC的距离最短。这样学生就可以很容易地运用对称和三角形的有关知识解决问题了。
（5）在教学中要避免进入误区。常见的误区有：不遵循学生的认知规律，以自己的认识代替学生的认识，以为自己理解的学生也一定会理解，教学中不注意创设情境，不引导学生去体会与感受，忽略大量的过程教学，而将教学的重点过多地放在结论上；不分析具体的施教对象，选择的情境不甚合适或问题的适度选择不当；对于每一阶段的教学，几乎都是加深、拓展，企图一步到位，事实是事与愿违，该掌握的没学好，一时没学好的内容全忘掉；重视新课程标准、新教材的特点、变化与要求，不要一味地用一些陈旧、艰深、抽象的问题让学生去体会符号感。一方面学生在这些问题面前很难体会符号感；另一方面因这些问题牵扯学生过多的精力，反而把一些生动、丰富的情境忽略了。
总之，学生的符号感的发展不是一朝一夕就可以完成的，而是应该贯穿于数学学习的全过程，伴随着学生数学思维的提高逐步发展。要尽可能在实际问题情境中帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，在解决实际问题中发展学生的符号感。对符号演算的处理应尽量避免让学生机械地练习和记忆，而应增加实际背景、探索过程、几何解释等，以帮助学生理解。
三、空间观念
（一）什么是空间观念
空间观念是由长度、宽度、高度表现出来的客观事物在人脑里留下的概括的形象。空间与人类的生存和居住紧密相关，了解、探索和把握空间，能使学生更好地生存、活动和成长。空间观念是创新精神所需的基本要素，没有空间观念，几乎谈不上任何发明创造。因为，许许多多的发明创造都是以实物的形态呈现的，作为设计者要先从自己的想象出发画出设计图，然后根据设计图做出实物模型，再根据模型修改设计，直至最终完善成型。这是一个充满丰富想象力和创造性的探求过程，这个过程也是人的思维不断在二维和三维空间之间转换、利用直观进行思考的过程。空间观念在这个过程中起着至关重要的作用。
（二）《标准1》中对空间观念的要求
《标准1》中描述了对空间观念的具体要求，其中包括：能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能从比较复杂的图形中分解出基本的图形；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的相互关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观进行思考。
（三）怎样培养学生的空间观念
（1）关注学生的生活经验，提供丰富的感性材料。促进学生空间观念的发展是“空间与图形”教学的重要任务。学生的生活世界里所接触过的与空间图形有关的生活经验是发展其空间观念的宝贵资源。在“空间与图形”的教学中，教师要注重学生已有的生活经验，将视野从课堂拓展到生活中去，从现实世界中发现有关空间与图形的问题。
（2）注重实践活动，突出探究过程。在“空间与图形”的教学中，教师应当根据学生的特点，给予学生充分的时间和空间从事数学活动，让学生在经历一个个“数学问题是怎样提出来的、数学概念是怎样形成的、数学模型是怎样获得和应用的”过程中，把已经存在于自己头脑中的那些不那么正规的数学知识和具有“数学色彩”的生活经验上升为数学的科学结论，逐步建立起空间观念，从中体验数学发现的乐趣，增进学好数学的信心，培养自己的数学素养。
（3）留给学生足够的空间与时间，让学生独立思考、动手操作、合作与交流。没有思考的时间和空间，就没有思考问题的存在。学生的动手操作，学生与学生之间的合作交流，共同对问题的探讨，实现对教学内容的深入理解，都需要一定的时间。而教师是课堂教学的组织者，是学生学习活动的参与者，教学中要创造学生合作学习、共同探索与交流的机会，留给学生足够的时间，让学生探索与交流；还要为学生提供动手操作的机会，留有足够的时间，让学生在操作、合作交流中体会一些计算公式的含义，归纳推导出计算公式，经历数学发现的过程，以此提高学生的探索能力和体会探索过程中的数学方法。
（4）发展空间观念的途径应多样化。空间观念是从显示生活中积累的丰富几何知识体验出发，在经验活动的过程中逐步建立起来的，发展学生空间观念的基本途径应该多种多样。无论何种途径，都是以学生的经验为基础。这些可能的途径包括：生活经验的回忆、实物观察、动手操作、想象、描述和表示、联想、模拟、分析和推理等。通过这些途径，学生感知和体验空间与图形的现实意义，初步体验二维平面与三维空间相互转换的关系，逐步发展空间观念。
四、统计观念
（一）为什么要培养统计观念
在以信息和技术为基础的现代社会里，人们面临着更多的机会与选择。一个普通公民要在现代社会更好地生存与发展，有时需要在不确定的情形中，根据大量无组织的数据，做出合理的决策，那么具备一定的统计素养就必不可少。
（二）《标准1》中对统计观念的要求
《标准1》中描述了对统计观念的具体要求，其中包括：认识统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集、描述、分析数据的过程，做出合理的决策；能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑。
（三）怎样培养学生的统计观念
（1）使学生经历统计活动的全过程。要使学生逐步建立统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计活动的全过程中：提出问题，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流、评价与改进等。为此，《标准1》在各个学段都将“投入统计活动的全过程”作为本学段统计学习的首要目标，并根据学生的身心发展规律提出了不同程度的要求，从“有所体验”、“经历”到“从事”。从另一个角度看，数学的发现往往也经历了这样一个过程：首先是问题的提出；然后是收集与这个问题相关的信息并进行整理；再根据这些信息做出一些判断以解释或解决开始提出的问题。爱因斯坦曾经说过：纯逻辑的思维不可能告诉我们任何经验世界的知识，现实世界的一切知识是始于经验并终于经验的。经验性的观察积累了数据，然后从数据做出某种判断，这种活动将有利于发展学生的发现能力和创新精神。要鼓励学生积极投入到统计活动中，就要留给他们足够的动手实践和独立思考的时间与空间，并在此基础上加强与同伴的合作与交流。
（2）使学生在现实情境中体会统计对决策的影响。要培养学生从统计的角度思考问题的意识，重要的途径就是要在课程和教学中着力展示统计的广泛应用，使学生在亲身经历解决实际问题的过程中体会统计对决策的作用。为此，《标准1》在各个学段都提出，要注重所学内容与日常生活、社会环境和其他学科的密切联系。在第三学段，《标准1》明确要求使学生认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题。对此还用下面的例子加以说明：统计某商店一个月内几种商品的销售情况，以对这个商店的进货提出你的建议。《标准1》还要求学生能根据统计结果做出合理的判断，以体会统计对决策的作用。例如要求：能根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，并能和同伴交换自己的想法；能解释统计结果，根据结果做出简单的判断和预测，并能进行交流；能根据统计结果做出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，并能比较清晰地表达自己的观点和进行交流。
总之，统计的学习应使学生体会统计的基本思想，认识统计的作用，既能有意识地、正确地运用统计来解决一些问题，又能理智地分析他人的统计数据，以做出合理的判断和预测。
五、应用意识
（一）为什么要培养应用意识
人类已经进入了数学工程技术的时代。如今数学不仅在各门自然科学和制造业、信息业、服务业等各种行业中有广泛的应用，而且在国民经济的规划和预测，自然资源的开发和保护，交通和物资调配，气象预报和各种灾害的预报、防治以及医学和社会科学的许多领域中乃至日常生活中都显示出来举足轻重的作用。著名数学家华罗庚对数学的各种应用有着精彩描述：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日常之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献。中学生必须具备数学应用意识这一重要的数学素养。
（二）《标准1》中对应用意识的要求
《标准1》中描述了对应用意识的具体要求，其中包括：认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。
（三）如何培养学生的应用意识
（1）在数学教学中和对学生数学学习的指导中，应该重视介绍数学知识的来龙去脉。一般地说，数学知识的产生源于两个方面：实际的需要和数学内部的需要。在义务教育阶段，所学的知识大都是来源于实际的生活，当然包括学生的实际生活经验。例如：在日常生活中存在着丰富的“具有相反意义的量”、“不同形式的等量关系和不等量关系”以及“变量与变量之间的对应关系”等，这些正是我们在数学中引入“正、负数”、“方程”、“不等式”、“函数”等的实际背景。在义务教育阶段的许多数学知识，有具体和直接的应用，应该让学生充分地实践和体验这些知识直接的应用，并在此基础上让学生感受和体验数学的应用价值。了解数学知识的来龙去脉是形成数学的应用意识的重要组成部分。
（2）学会运用数学语言去描述周围世界出现的数学现象，是培养学生应用意识的另一个重要方面。数学是一种“世界的通用语言”，它可以简洁、清楚、准确地刻画和描述日常生活中的许多现象。让学生养成乐意运用数学语言进行交流的习惯，既可以增强学生数学的应用意识，也可以提高学生运用数学的能力。
（3）应该在数学教学和课外活动中鼓励和支持学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。教师还应该主动地向学生展示现实生活中的数学信息和数学的广泛应用。比如向学生介绍数学在CT、核磁共振、高清晰度彩电、飞机的设计、天气预报等这些重要技术中发挥的核心作用。
（4）创造应用机会，开展实践活动。实践对于知识的理解、掌握和熟练运用起着重要的作用，只有亲身体验过的知识才能更深刻的理解和熟练的运用。培养学生应用意识的最有效的办法应该是让学生有机会亲身实践。创造动手、动脑的机会，引导学生尝试、体验生活，设计开放化的实践活动，使得学生在实践中获取广泛的数学经验，学以致用，在感受成功的同时也感受到自身价值的存在。
综上所述，教师在教学中要把数学知识和生活实际结合起来，引导学生从现实生活中学习数学，再把学到的数学应用到现实中去，培养和发展学生的数学应用意识，形成初步的实践能力。
六、推理能力
（一）为什么要培养推理能力
在当今和未来社会中，人们面对纷繁复杂的信息经常要做出选择和判断，进而进行推理和做出抉择，而在日常的生活、学习和工作中，人们也经常要对各种各样的事物的是与非、对与错进行判断，这也是我们强调培养学生推理能力的出发点。
（二）《标准1》中对推理能力的要求
《标准1》中对推理能力的要求做了如下的描述：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，做出证明或寻求反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和置疑。
（三）如何培养学生的推理能力
（1）把推理能力的培养有机地融合在数学教学的各个过程中。数学教学过程中必须给学生提供探索交流的空间与时间，组织引导学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，并把推理能力的培养有机地融合在这样的过程中。
（2）把推理能力的培养落实到数学课程中的各个领域。“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”各领域的课程内容都为发展学生的推理能力提供了丰富的素材。在“数与代数”的教学中，计算要依据一些公式、法则等，因而计算中有推理；现实生活中数量关系有其自身的规律，用代数式、方程、不等式、函数刻画此种数量关系的过程中，不乏分析、判断和推理，因此在“实践与综合应用”的教学中要重视推理能力的培养。在“空间与图形”的教学中，既要重视演绎推理，又要重视合情推理。“统计与概率”中的推理叫做统计推理，是一种可能性的推理。与其他推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑的方法验证，只有靠实践来验证。
（3）通过学生熟悉的生活发展学生的推理能力。除学校教育外，在生活中，有很多活动也能有效地发展学生推理能力。要进一步拓宽发展学生推理能力的渠道，使其养成善于观察，勤于思考的习惯。
（4）培养学生的推理能力要注意层次性和差异性。推理能力的培养必须充分考虑学生的身心特征与认知水平，注意其层次性。一般来说合情推理贯穿于初中数学活动的始终。初中数学教学中，在培养学生的演绎推理能力时应更好的体现层次性。培养学生的演绎推理能力时，还要关注学生的差异，使每一个学生都能体会到证明的必要性，从而使学生学习演绎推理成为学生的自觉要求。