马克思经济增长模型中的静态最高与最低增长率

陶为群 陶川

(中国人民银行南京分行，北京大学光华管理学院)

一 各个部类以及全社会的经济增长率与某一部类积累率之间的单调函数关系

马克思扩大再生产模型以劳动价值论作为理论基础，把资本划分为不变资本和可变资本两个部分，它们的价值实现在实物上分别对应生产资料和消费资料两个部类。设定各部类的资本有机构成和剩余价值率不变，也就是设定在全社会扩大再生产过程中，每个部类的边际资本有机构成和边际剩余价值率分别等于资本有机构成和剩余价值率。这样，就构建了一个特别的两部类经济增长模型。这个模型的结构，是由两个部类的资本有机构成和剩余价值率参数以及两个部类之间的比例关系确定的。下面分别用下标Ⅰ、Ⅱ表示生产资料部类和消费资料部类，以C和V分别表示不变资本、可变资本，以h = C/V表示资本有机构成，M表示剩余价值，Y表示新创造价值，e, μ分别表示剩余价值率、剩余价值积累率。那么在每个部类内部，不变资本、可变资本、剩余价值、新创造价值之间具有确定的关系式，部类内部相互关系被这些参数固定，因而两个部类之间任一个对应部分之间的比例关系，都足以表现整个部类之间的比例关系。为了便于和现代经济增长模型比较，下面用新创造价值Y = V+M表示社会产出，两个部类产出之比例关系表示为φ = YⅡ/YⅠ。这样，所有参数就共同完整地反映了马克思两部类经济增长模型的结构。其中，各部类内部不变资本、可变资本、剩余价值与新创造价值之间的关系式是：

在静态分析的范畴，Ⅰ、Ⅱ部类的新创造价值YⅠ, YⅡ都是已经确定的，因而两个部类的比例参数φ取值也是已经确定的。对确定了含义的字母前面加符号Δ表示增量。由于每个部类的边际有机构成与有机构成相同，j部类的积累μjMj分解为ΔCj和ΔVj两个部分时，两者间的关系与式 (1) 表明的Cj和Vj关系相同，即ΔCj= hjΔVj，新增可变资本占μjMj当中1/(1 +hj)的份额 (j =Ⅰ, Ⅱ)。再根据ΔYj= (1 +ej)ΔVj和式 (1)，就得出：ΔYj= ejμjYj/(1 +hj)。于是j部类经济增长率的表达式是：

由此式看出，第j部类的经济增长率是本部类剩余价值积累率变量μj( j = Ⅰ, Ⅱ)的单调增函数。而全社会的经济增长率是：

将式 (2) 和φ的表达式代入上式，就能看出，全社会的经济增长率是两个部类增长率加权平均的结果。

由于马克思两部类经济增长模型中设不变资本的周转周期为1年，因而固定资产折旧已经计入生产资料消耗之中，当年新创造价值对应统计上的国内生产净值。第Ⅰ部类的总产值(CⅠ+VⅠ+MⅠ) 实物构成是生产资料，扣除补偿本部类和第Ⅱ部类的生产资料消耗CⅠ和CⅡ，剩余的VⅠ+MⅠ-CⅡ都必然用于本部类和第Ⅱ部类新增生产资料ΔCⅠ和ΔCⅡ，因此就存在关系式：

将ΔCj= hjΔVj, ΔVj= μjMj/(1 +hj)代入式 (4)，得出两个部类的积累率μⅠ, μⅡ互相依赖、互为约束的关系式：

将φ及式 (1) 代入式 (5)，可将μⅠ作为变量μⅡ的函数解出：

此式代入式 (3)，得到全社会的经济增长率与第Ⅱ部类积累率变量μⅡ之间的函数关系式：

观察式 (7)，可以发现这一函数关系具有单调性：在hⅠ/(1 +eⅠ)≤hⅡ/(1 +eⅡ)条件下，全社会经济增长率是μⅡ的单调减函数；而在hⅠ/(1 +eⅠ) > hⅡ/(1 +eⅡ)/hⅡ条件下，全社会经济增长率是μⅡ的单调增函数。

二 马克思经济增长模型中的静态全社会最高、最低经济增长率

根据经济增长率与某一部类积累率之间的单调函数关系，可以分析当该积累率取最大值或最小值的情形下，全社会经济增长率相应获得最大或最小值。

陶为群 (2011) 根据式 (6) 和0≤μj≤1(j=Ⅰ, Ⅱ)，指出了静态意义下的结构参数φ的取值区间：

其中，

已经确定的YⅠ, YⅡ取值必须使结构参数φ取值处于该区间，才能够并且就能够使0≤μj≤1(j=Ⅰ, Ⅱ)，而且使μⅠ, μⅡ形成满足约束关系式 (5) 的某个匹配。还给出了静态意义下的第Ⅱ部类积累率μⅡ的最大值Max(μⅡ) 和最小值Min(μⅡ) 的表达式：

因为第j部类的资本利润率是Mj/(Cj+Vj) = ejVj/(hjVj+Vj) = ej/(1 +hj) (j =Ⅰ,Ⅱ)，所以这里φ取值的下限与两个部类的资本利润率高低比较有关。

根据式 (7)，当hⅠ/(1 +eⅠ)≤hⅡ/(1 +eⅡ)时，全社会经济增长率是μⅡ的单调减函数。将式 (7) 中的μⅡ换成用式 (10) 表示的Min(μⅡ) 代入，并根据式 (1) 表示的各部类内部不变资本、可变资本、剩余价值与新创造价值之间的关系式，就得到下一年相对于当年经济增长率的最大值Max(ΔY/Y)的表达式。

由于第Ⅱ部类的经济增长率是本部类积累率μⅡ的单调增函数，所以这种情形下伴随着ΔYⅡ/YⅡ取得最小值；而第Ⅰ部类的积累率μⅠ是μⅡ的单调减函数，该部类的经济增长率又是μⅠ的单调增函数，所以这种情形下伴随着ΔYⅠ/YⅠ取得最大值。

同样根据式 (7)，当hⅠ/(1+eⅠ) > hⅡ/(1+eⅡ)/hⅡ时，全社会经济增长率是μⅡ的单调增函数。μⅡ取值越大，经济增长率越高。将式 (7) 中的μⅡ换成用式 (9) 表示的Max(μⅡ) 代入，并根据式 (1) 表示的各部类内部不变资本、可变资本、剩余价值与新创造价值之间的关系式，就得到经济增长率的最大值Max(ΔY/Y)的表达式。

这种情形下伴随着ΔYⅡ/YⅡ取得最大值并且ΔYⅠ/YⅠ取得最小值。

根据全社会经济增长率与μⅡ分别在hⅠ/(1+eⅠ)≤hⅡ/(1+eⅡ)和hⅠ/(1+eⅠ)>hⅡ/(1+eⅡ)/hⅡ条件下的单调减函数和增函数关系，式 (11) 右端又可以成为hⅠ/(1+eⅠ)> hⅡ/(1+ eⅡ)/hⅡ条件下的经济增长率最小值Min(ΔY/Y)的表达式；同理，式(12) 右端又可以成为在hⅠ/ (1+eⅠ) ≤hⅡ/(1+eⅡ) 条件下的全社会经济增长率最小值Min(ΔY/Y)表达式。从以上分析可以看出，由于各个部类以及全社会经济增长率与μⅠ,μⅡ存在着单调函数关系，必然是在第Ⅰ或第Ⅱ部类取得最高 (最低) 经济增长率的情形下，全社会取得最高 (最低) 经济增长率。

三 在部类间比例参数所有取值情形下的静态全社会最高经济增长率

在式 (11)、式 (12) 中，[(YⅠ- CⅡ)/(YⅠ+ YⅡ)] 等与参数φ的关系，都以φ代入，最高、最低经济增长率又都可以看做是参数φ的函数，并且它们在φ的各个取值区间上都是单调减函数。当φ按照式 (8) 取上限值φmax时，最低经济增长率Min(ΔY/Y)获得在φ取值区间上的最小值0，按φ的定义恰好VⅠ+MⅠ= CⅡ，这就是马克思给出的简单再生产条件，也就是只能维持简单再生产状态。而当φ按照式 (8) 取下限值φmin的时候，分别代入hⅠ/(1 +eⅠ) > hⅡ/(1 +eⅡ)条件下和hⅠ/(1 +eⅠ)≤hⅡ/(1 +eⅡ)条件下的最高经济增长率Max(ΔY/Y)表达式 (11) 和式 (12)，得到的结果完全相同。也就是说，无论hⅠ/(1 +eⅠ) > hⅡ/(1 +eⅡ)或相反，在部类间比例参数取所有值情形下的静态全社会的最高经济增长率Max(ΔY/Y)是唯一存在的。

上式揭示的在部类间比例参数所有取值情形下的静态全社会最高经济增长率，与部类间比例参数φ已经没有关系，完全被模型中固有的两个部类资本有机构成和剩余价值率参数所决定，并且该静态最高经济增长率的表达式具有较规整的结构。需要说明，这与前面指出的静态最高、最低经济增长率可以看做是φ的函数，并不矛盾。其缘由在于，在φ所有取值情形下的静态全社会最高经济增长率，是当φ恰好取下限值φmin的条件下获得的结果。取值为φmin就是参数φ发生了作用，只不过φmin又是被模型中固有的两个部类资本有机构成和剩余价值率参数所决定，恰好体现出要实现扩大再生产因而模型本身对φ取值下限的制约。φ取值为φmin的影响和φmin被模型中固有结构参数决定的影响复合在一起，最终使得在部类间比例参数所有取值情形下的静态全社会最高经济增长率完全被模型中固有结构参数决定。

四 静态全社会最高经济增长率对于动态分析的意义

如果进入动态分析的范畴，根据式 (2), Ⅰ、Ⅱ部类的新创造价值都是本部类上一年剩余价值积累率变量的函数，因而两个部类的比例参数也成为某一部类上一年剩余价值积累率变量的函数，不再是一个已经确定的参数。而对于任何一个年份，两个部类的剩余价值积累率之间仍然满足约束关系式式 (5)，并且各自取值仍然必须处于0到1的区间内，所以，Ⅰ、Ⅱ部类的剩余价值积累率变量取值区间都不会超出在静态分析范畴的取值区间；Ⅰ、Ⅱ部类的新创造价值增长率作为本部类剩余价值积累率变量的单调增函数，取值也不会超出在静态分析范畴的取值区间；全社会新创造价值增长率作为某个部类剩余价值积累率变量的单调增或减函数，取值同样也不会超出在静态分析范畴的取值区间。所以，马克思经济增长模型在部类间比例参数所有取值情形下的静态全社会最高经济增长率，是动态全社会最高经济增长率的一个上限。

五 引用和借鉴《资本论》的算例验证

下面引用和借鉴马克思《资本论》第二卷第二十一章中的举例，对以上论述与推导的关系式进行算例验证 (见表1)。马克思在《资本论》第二卷第二十一章中所举的第一例，设定两个部类结构参数hⅠ= 4, hⅡ= 2, eⅠ= eⅡ= 1，来说明一般情形下两个部类的扩大再生产过程。该例是第Ⅰ部类的不变资本—产出比率高即hⅠ/(1+eⅠ) > hⅡ/(1+eⅡ)/hⅡ的情形。完全引用该例中的第1年数据，并按照本文给出的使经济增长取得最低、最高增长率算式，计算出对应的两个部类的积累率μⅠ, μⅡ值，以及最低、最高经济增长率，列在表1作为对比。对该例的引用和借鉴计算结果，验证了本文所给出的算式正确。另外，根据式 (13) 计算出：对于《资本论》第二卷第二十一章中第一例的两个部类资本有机构成和剩余价值率参数，在部类间比例参数所有取值情形下的静态全社会最高经济增长率是24.14%。