预备知识——陈氏类

我们的最后两片拼图，陈氏类和黎奇曲率，是彼此相关的，它们是源自于几何学家尝试将黎曼面从复一维推广到多维，并从数学上刻画这些推广结果之间差别的努力。这把我们带到一个重要定理：高斯—博内定理，它适用于紧致黎曼曲面，以及其他任何无边界的紧致曲面。（“边界”在拓扑中的定义很直观：圆盘是有边界的，亦即有明确界定的边缘，而球面则没有。在球面上，不管你朝哪个方向走，而且不管走多远，都不会碰到或接近任何边缘。）这个定理是在19世纪时由高斯和法国数学家博内（Pierre Bonnet）所提出的，它建立了曲面的几何性质及其拓扑性质之间的关系。高斯—博内公式是说，上述曲面的总高斯曲率（或高斯曲率的积分）等于2π乘以该曲面的“欧拉示性数”（Euler characteristic）。而欧拉示性数χ（希腊字母chi）则又等于2-2g，其中g是曲面的亏格（也就是曲面的“洞”数或“把手”数）。举例来说，二维球面没有洞，所以它的欧拉示性数是2。在此之前，欧拉提出了另一条求任何多面体欧拉示性数的公式：χ=V-E+F，其中V是顶点数，E是边数，F是面数。以四面体为例，χ=4-6+4=2，与球面的χ值相同。一个立方体有8个顶点、12个边和6个面，所以χ=8-12+6=2，再次和球面相同。因为欧拉示性数只和物体的拓扑，而非几何形状有关，那么这些几何相异，但拓扑相同的物体有着相同的χ值当然很合理。欧拉示性数χ是空间的第一个主要的“拓扑不变量”，也就是在拓扑等价但外观可能极为不同的各个空间上（例如球面、四面体和立方体），都能维持不变的性质。再回到高斯—博内公式。由此，二维球面的总高斯曲率是2π× 2=4π。至于二维环面，因为它的χ是0（2-2g=2-2=0），所以环面的总高斯曲率是0。把高斯—博内的原理推广到更高维，就会把我们带到陈氏类。

图4.5 一个可赋向（或是有两面）的曲面，拓扑上可由其欧拉示性数来描述。计算多面体的欧拉示性数有一条简单的公式（多面体即是由平坦的面和直线的边所构成的形体）。欧拉示性数χ等于顶点数减边数，再加上面数。对于本图所示的长方体，其值为2。四面体的欧拉示性数也是2（=4-6+4），四角锥也同样是2（=5-8+5）。因为这些物体都是拓扑等价的，所以它们理所当然有着相同的欧拉示性数2

陈氏类是由我的指导老师陈省身所发展的理论，是一种在数学上刻画不同复流形的概略方法。简单来说，如果两个流形的陈氏类不同，它们就不可能相同；反之却不一定成立：两个不同的流形可能具有相同的陈氏类。

复一维的黎曼面只有一个陈氏类，即第一陈氏类，而对于这个情况，正好等于欧拉示性数。一个流形的陈氏类数目，视其维数而定，例如复二维的流形具有第一和第二陈氏类。至于弦论所关心的复三维（或实六维）流形，则有三个陈氏类。它的第一陈氏类为六维空间中的实二维子空间（子流形）各对应到一整数，其中所谓子空间是原空间的一部分形体，就像纸张（二维）可以摆在办公室（三维）里一样。类似地，第二陈氏类为空间中的实四维子流形各对应一整数。第二陈氏类则为这个复三维（或实六维）的流形本身指定一个数字，也就是欧拉示性数χ。事实上，对于任何复n维的流形，它的最后一个，亦即第n个陈氏类必定对应到流形的欧拉示性数。

但陈氏类究竟告诉了我们什么？或者说，指定这些数字的目的何在？其实这些数对于子流形本身并没提供多少信息，但是对于整个流形，它们却透露出许多重要的讯息。这在拓扑学是很常见的：当要了解复杂、高维的物体结构时，我们经常检视此物体中的子物体的数目和类型。

打个比方，假设你给身在美国的每个人都编上不同编号。那么，为个人指定的数字丝毫无助于理解他或她本人，但若把这些数字汇总起来，就可以呈现出更大的“物体”——美国本身——的重要情报，例如人口规模、人口成长率等。

我们还可以再举一个具体实例，来解释这个相当抽象的概念。让我们依照惯例，从很简单的物体开始。球面是一个复一维或实二维的曲面，它只有一个陈氏类，在这个情况等于欧拉示性数。回想一下，我们在第2章讨论过，居住在球形行星上时，关于气象学和流体力学的一些影响。例如风有没有可能在地表上的每一点都是由西向东吹？在赤道以及赤道之外的任何纬度线，都很容易想象风如何向东吹。但是在南极和北极的极点（这两点可以被视为奇点），却根本没有风，这是球面几何的必然结果。对于这种有着明显例外的特殊点的曲面，它的第一陈氏类不等于零。

图4.6 第一陈氏类（对于本图中的二维曲面来说，正好等于欧拉示性数）与向量场中流动停滞的地方有关。在像地球的球面上，我们可以看到两个这样的点。如果流动是从北极往南极流（左上图），在两个极点上，所有表示流动的向量会彼此抵消，因此净流动为零。同理，如果流动是由西向东（右上图）还是会有两个根本没有流动的停滞点，同样又是出现在北极点和南极点，因为在此根本没有西向、东向可言。

如果是环面，情形就不同了。在此，流动可以是铅直的（左下图）或水平的（右下图），都不会遇到停滞点。由于环面上的流动没有奇点，所以它的第一陈氏类是零，而球面的则不是零

接着再考虑环面。环面上的风可以往任何方向吹，不管是绕着中间的洞吹，由内环往外环吹，或是更复杂的螺旋模式，都不会碰到气流静止的地方，也就是没有奇点。风可以一直吹、一直吹，不会有所阻碍。像这样的曲面，它的第一陈氏类等于零。

再举一个例子。复二维（或实四维）的“K3曲面”的第一陈氏类等于零（第6章会进一步讨论K3曲面）。根据卡拉比猜想，这表示K3曲面就像环面一样，可以支持黎奇平坦度规。但是和欧拉示性数为零的二维环面不同，K 3曲面的欧拉示性数是24。这里的重点是，虽然在复一维时，欧拉示性数等于第一陈氏类，但在较高维度时，两者间可能有极大差异。

图4.7 判定一个物体的第一陈氏类，可以检视向量场的流动会停止的地方。例如像台风眼之类的气旋中心，风眼是一片风平浪静的圆形区域，直径可能在3～300千米之间，围绕在风眼之外的则是风暴最恶劣的地方。照片所示是1996年的飓风弗兰（Hurricane Fran）即将肆虐美国东部时的情景，它造成了数十亿美元的损失。（照片来源：NASA Goddard太空飞行中心大气实验室：由Hasler, Chesters, Griswold, Pierce, Palaniappan, Manyin, Summey, Starr, Kenitzer, de La Beaujardière等拍摄制作）