预备知识——凯勒流形的内在对称性

我们花了点时间来讨论度规，是为了要对凯勒度规和具备这种度规的凯勒流形能够稍微有点概念。一个度规是否为凯勒，和在空间上移动时，度规如何变化有关。凯勒流形是一组叫作“厄米特流形”（Hermitian manifold）的复流形的子类。在厄米特流形上，你可以把复数坐标的原点放在任何一点上，它在该点上的度规看起来像是标准的欧氏几何度规。但当你离开该点时，它的度规就愈来愈不像欧氏的。更明确地说，当移动到与原点的距离为ε时，度规系数本身的改变差异大致是ε倍。我们将这样的流形称为“一阶欧氏空间”。所以如果ε是0.001英寸（1英寸=2.54厘米），当我们离开ε距离时，厄米特度规的系数与原先的差距会维持在约0.001英寸的误差内。至于凯勒流形则是“二阶欧氏空间”，这表示它的度规会更加稳定。当与原点的距离为ε时，凯勒流形的度规系数的改变大致是ε2倍。沿用前面的例子，当ε=0.001英寸时，度规的变化误差只有0.000001英寸。

为何卡拉比要特别重视凯勒流形呢？要回答这个问题，我们得先考虑可能的选择范围。比方说，如果真的想要严格限制，你可以坚持流形必须是完全平坦的。但只要是二维以上的任何维度，唯一完全平坦的紧致流形就只有环面或它的近亲。就流形而言，环面其实相当简单，因而也相当受限。我们希望能够更多样，看到更多可能性。至于厄米特流形，则又嫌限制太少，它的可能性太多太多了。于是介于厄米特和平坦之间的凯勒流形，正具有几何学家经常寻找的那种特质：它们具有足够多的结构，因此不会难以操作，但是结构又不会多到限制过多，以至于根本找不到符合你的明确条件的流形。

关注凯勒流形的另一原因，是我们可以使用黎曼发明的工具来研究这些流形。早在爱因斯坦的时代，他就利用其中一些工具来研究物理问题。这些工具可以用于属于厄米特流形子类的凯勒流形，但并不适用于全部的厄米特流形。我们之所以想使用这些工具，是因为自黎曼发展之始，它们就已相当强大，而数学家又花了一个世纪继续加以磨砺。因此，既然我们已掌握了探索它们的工具，这就使得凯勒流形成为特别诱人的选择了。

不过原因尚不仅止于此。卡拉比还对这些流形所具有的几种对称性感兴趣，这些对称性和流形的切空间（tangent space）有关。切空间就像曲线各点的切线、曲面各点的切面一样，是由（切）向量所构成的。凯勒流形和所有厄米特流形一样，可以将流形上的向量乘以虚数单位i，因此具有某种旋转对称性。在复一维时，切空间相当于复数平面，复数a+bi可用点（a, b）来表示。假定（a, b）定义了一个以原点为起点的向量，当我们把这个向量乘以i时，它的长度不变，方向则旋转了90度。我们不妨以点（a, b）即a+bi为例。a+bi乘以i得到ai-b，或写成-b+ai，对应到复数平面上新的一点（-b, a），这点所定义的向量与原向量垂直且长度相同。如果把点（a, b）和（-b, a）画在普通的笛卡儿坐标上，然后测量连到这两点的向量的夹角，两向量确实垂直。这种把x坐标值换成-y，并且把y坐标值换成x的运算，称为“J变换”（J transformation），它就像是乘以i这个作用的实数版本。做两次J变换（可记成J2）和乘以-1的结果是相同的。在接下来的讨论，我们改用J变换来代替i，因为不管是在脑海里或在纸上描绘时，用实坐标都比用复平面来得容易。再强调一次，请记得J变换在复一维时，是将i的复数乘法解释成二维空间的一种变换。

所有厄米特流形都有这种对称性：J变换把向量旋转90度，但维持其长度不变。凯勒流形既然是一种厄米特流形，当然也具备这种对称性。除此之外，凯勒流形还具有一种“内在对称性”（internal symmetry），这是一种当你在空间中的两点移动时，仍须保持不变的微妙对称性，否则它就不是凯勒流形。我们在自然界中看到的对称，许多都和“旋转群”（rotation group）有关。以球面为例，有一种显然的对称性就是“旋转不变性”（rotational invariance），意思是，不管你把球面怎样旋转，它看起来总是一样不变的。这样的对称属于“整体对称性”（global symmetry），因为它同时作用在球面上的每一点。至于凯勒流形的内在对称则比较局部，因为它仅适用于度规的一阶导数。然而，运用微分几何的技巧，包括对整个流形做积分，我们可以看到凯勒条件及其相关的对称性确实指向了不同点之间有着特定的关系。如此一来，原先说是局部的对称性，借由微积分，就有了更广、更整体的适用范围，为流形上的各点之间建立联系。

这种对称的关键，在于J变换所造成的旋转，以及某种叫作“平行移动”（parallel translation或transport）的操作。平行移动就像J变换，也是一种线性变换：它将向量沿着曲面或流形上的路径移动，移动前后不但向量的长度不变，而且任两向量的夹角也维持不变。当遇到不容易画图观察平行移动的情形时，我们可以解微分方程，借由度规来精确决定向量平行移动的方式。

在平坦的欧氏平面做平行移动是很简单的：你只要维持每个向量的方向和长度不变即可。但在弯曲的曲面或一般的流形上，即使你想犹如欧氏空间一样，希望尽量维持向量的方向不变，但结果要远远复杂许多。

凯勒流形的特殊之处在于，如果在点P取一个向量V，把它沿着既定路径平行移动到点Q，在点Q会得到一个新向量W1；接着对W1做J变换，把它旋转90度，可得到另一向量JW1。另一方面，我们也可以在点P就先对向量V做J变换，产生仍在P点上的新向量JV，然后沿着相同的路径把JV平行移动到点Q，从而得到W2。如果这个流形是凯勒流形，那么不管你从点P到点Q采取什么路径来移动，分别依照这两种步骤平行移动后的向量JW1和W2永远都相等。换句话说，在凯勒流形上，J变换在经过平行移动后仍维持不变。这对一般的复流形并不一定成立。再换用另一种说法则是，在凯勒流形上，向量先平行移动再做J变换，或者先做J变换再平行移动，其结果相同。这两种作用是可交换的，先做哪个都无所谓，然而作用可交换这回事并不是在任何场合都成立的，正如罗勃·格林恩曾生动地比喻道：“就像是先开门然后走到室外的动作，并不等同于走到室外（或试着如此做！）然后再开门。”[2]我们用图4.3来说明平行移动的基本观念。图中所示是实二维或复一维的例子，因为在纸面上只能呈现这种简单的维度。如此一来，使得这个例子相当乏味，因为旋转的方式很有限：只有向左转、向右转两种。

但是在复二维或实四维上，与某一个向量垂直并具有给定长度的向量有无穷多个。如果用三维来类比，你可以想象有一片巨大的三夹板平放在一个篮球上，板上各方向的向量都和圆心到切点的向量垂直。在此情形时，知道某一向量与现有的一个向量垂直，并不太能缩小可能性的范围，除非所在的刚好是凯勒流形。在这种情况下，如果你知道在某一点上做J变换的结果，就可以知道在远处的另一点做J变换时，会得到什么向量，因为你可以把在第一点的变换结果平行移动到第二点。

图4.3 在图左，我们把向量V从点P平行移动到点Q，成为新向量W1。然后我们对W 1做J变换，把它旋转90度，得到的向量称为JW 1。在图右，我们先在点P对向量V做J变换，得到一个转了90度的向量JV。然后把JV平行移动到点Q，成为新向量W2。这两种情形最终所得到的向量JW1和W2是相同的。这是凯勒流形的一个显著特征：不管先对向量做J变换再做平行移动，或是先做平行移动再做J变换，其结果相同。这两种运算的顺序可以交换

还有一种方式可以显示变换这种简单作用和对称性的关系。每做一次J变换可将向量旋转90度，因此如果执行四次，亦即旋转360度，向量正好转完一圈回到原位；这种情形称为“四阶对称”（fourfold symmetry）。或者换另一种方式来看，做两次J变换等于将向量乘以-1，做四次J变换等于（-1）×（-1）=1。这是我们所谓的回到恒等变换。

由于这种四阶对称性仅适用于一点的切空间，它若要能有用处，就必须能在空间中移动时表现出一致的行为。这种一致性是内部对称性的一个重要性质。我们不妨把它和指南针来比较。指南针只会指着两个方向，北和南，就此而言，可以说它具有二阶对称性。假如你拿着指南针走动时，它竟然没道理地乱指方向，你只能认为你所在的空间并不是对称的，或者它的磁场弱得不起作用（也可能是你该买个新的指南针）。类似情形，如果J变换的结果视你在流形中的位置或移动方式而有不同，它就缺乏对称性通常赋予的秩序和可预测性。不仅如此，事实上你还知道这个空间根本不是凯勒流形。

图4.4 正方形对于其中心点具有四阶对称性。也就是说，如果把正方形连续旋转四次，每次转90度，即可回到原始状态。因为J变换同样也是转90度，所以它也具有四阶对称性，操作四次即可回到原状。（技术上来说，J变换是施于切向量的，所以它只是和旋转正方形之类的物体大致相似而已。）我们在正文中已说过，J变换是乘以虚数单位i的实数类比。乘以i四次等于乘以1，其情形如同做四次J变换，结果是回到原状

以各种表现方式定义出凯勒流形的内部对称性，仅作用于流形的切空间。这算是一项优点，因为在切空间上，作用的结果不会受你所选的坐标系影响。一般来说，这正是我们在几何和物理上所寻求的特性，希望作用的结果与所选择的坐标系无关。简言之，我们不希望任意决定的坐标轴方向或是所选择的原点，会造成答案有所不同。

这个对称性为卡拉比所思考的数学世界加上了一组限制，大幅简化了问题，从而使得证明它的前景露出了一线曙光。然而，内部对称性也有卡拉比始料未及的其他影响，他所提出的这种对称其实是超对称的一个特例，而日后发展证明，超对称对于弦论是极其重要的观念。