预备知识——复流形

在讨论证明之前，我们得先介绍一下其中涉及的几个观念。卡拉比猜想所讨论的是复流形的问题，前面已经说过，复流形是一种曲面或空间，但和我们熟悉的二维曲面不同的是，这些“曲面”并不仅限于二维，而可以是任何偶数维度。（只有复流形才有偶数维度的限制，一般的流形可以是任何维度，不论奇偶。）根据定义，流形在小规模或局部的尺度时，和欧氏空间很相像，但在大尺度或所谓的整体尺度时则可能极为不同。举例来说，圆是一维流形，在圆上任意选择一点，它的“邻近区域”看起来都像是线段。但如果整体来看，圆和直线就完全不同了。再往上一个维度，我们所居住的地球表面（球面）是一个二维流形，尽管我们深知地球表面整体是弯曲的，和欧氏平面完全不同，但是如果你只看地表上一片够小的面积，却像是完全平坦的，看起来就像平面的一部分或圆盘。我们得要看到大很多的区域，与欧氏空间的差别才会明显呈现出来，此时就得用曲率加以校正。

流形的一项重要性质是“光滑性”（smoothness），这是依照流形定义本来就具备的。如果某一空间的任何一小块局部区域看起来都像欧氏空间，那么它整体就必须是光滑的。不过，即使一个空间在某些点出现奇怪的现象，局部上不像欧氏空间，但有时几何学家仍会推而广之，称之为光滑的流形。例如，一个线状形体如果局部上出现两线相交的情况，那无论你围着相交点圈出的邻近区域再怎么小，两线相交所形成的十字永远都存在。这样的点永远没办法真正变得光滑，因此我们称之为“拓扑奇点”（topological singularity）。同理，在二维时，你也可以想象奇点长得像两平面相交于一线的情形。

这种情形在黎曼几何是司空见惯的。假设从一个已知如何处理的光滑形体开始，当我们逐渐往极限的状况推进时，例如把一个形体捏得愈来愈尖，或是把一道弯痕折得愈来愈锐利，就会产生奇点。几何学家并不是顽固保守的人，即使一个空间有无穷多个奇点，在我们眼中有时仍然可以算是一种流形，称为奇点空间或奇点流形，这些空间经常出现在正常光滑流形的极限情况。

以上是流形的简单说明，接下来我们要解释复空间的“复”是怎么回事。所谓复流形是以复数表示的曲面或空间。复数是形如a+bi的数，其中a, b为实数；i是虚数单位，定义为-1的平方根。就像写成（x, y）的数对可以画在有x, y两坐标轴的平面上，写成a+bi的复数也可以画在有实轴和虚轴的平面上。

复数是一种很有用的数。原因之一是有时候需要对负数开平方。一旦有了复数，二次方程式ax2+bx+c=0，不管a, b, c值为何，都必定有解。利用中学学过的公式，可以得到：

如果允许有复数，当遇到b2-4 ac为负数时，你就不会束手无策，方程式仍然可解。在解多项式方程式（也就是涉及一个或多个变数和常数的方程式）的时候，复数不但很重要，有时甚至是不可或缺的。许多问题的目标是求方程式的根，也就是找出多项式等于零的点。如果没有复数，有些求根问题就没有解，最简单的例子是x2+1=0，这个方程式没有实数解。只有在允许复数时，我们才能得到x=i和x=-i这两个解。

复数对于理解波动行为，尤其是波的相位时十分重要。两个振幅和频率相同的波，可以是同相的，此时波形叠合，波的振幅会加大，产生建设性干涉；或者当两个波是异相时，振幅会部分或全部抵消，因此产生破坏性干涉。而当把波表成复数时，我们只要把这些复数相加或相乘，就可以看到干涉时相位和振幅所发生的变化。（当然不用复数也仍然能做计算，但是会麻烦很多。这就像以地球为中心来计算太阳系各行星的运动，虽然可以计算，但如果以太阳作为参考系的中心，式子不但大幅简化，而且优美多了。）因此，复数能够描述波的价值，使得它在物理学中十分重要。在量子力学里，自然界的粒子都可以被描述成波，而量子论本身又是任何量子引力论（一种试图包纳一切的万有理论）的基本构成要素。对于这样的目标，以复数来描述波的做法显然大有裨益。

我们目前知道的第一个涉及复数的计算，出现在意大利数学家卡达诺（Girolamo Cardano）出版于1545年的著作中。但是直到三百年之后，复几何才成为一门重要的领域。真正把复几何推上舞台的是黎曼，他是最早认真检视复流形的数学家，而他所研究的复流形现在就被称为“黎曼面”。附带一提，在黎曼去世一个世纪后出现的弦论中，黎曼面变得很重要。当弦论的基本单位，一小圈的弦，在高维时空中移动时，它所扫过的就是黎曼面。在弦论的计算中黎曼面确实非常有用，因而成为现今理论物理学里研究得最透彻的曲面。而从物理得出的方程式又激发了数学的进展，因而黎曼面的理论本身，也从它和物理学的关系获益良多。

黎曼面和一般二维流形一样，也是光滑的，但因为它是能以复数描述的曲面（复数一维），所以还多了一些内在的结构。一个实曲面不见得有、但在黎曼面会自动出现的性质是，曲面的每一个小范围都会以特定方式和它的邻近区域相关。如果你取一小块弯曲的黎曼面把它投影到平坦面上，并且对邻近的小块曲面也做同样的投影，结果就是一幅地图，就如同用二维的世界地图来呈现地球表面一样。当制作出这幅黎曼面的地图时，地图上各点间的距离会被扭曲，但两线之间的夹角却可以维持不变。源自于16世纪的麦卡托投影地图，就是依据相同的想法，把地表看成是一个圆柱面，而非球面。这种维持角度不变的特征称为“保角映射”（conformal mapping），它能帮助船只维持在正确航线上，所以对数世纪前的航海非常重要。保角映射有助于简化黎曼面的计算，使得我们能够证明这些曲面的一些性质，而这是在一般实曲面上无法证明的。最后，黎曼面和一般曲面不同，一定是可赋向的，意思是不管在空间何处，测量方向的方式，亦即选择的参考坐标，都能保持方向的一致性。（这和莫比乌斯带的情形不同。莫比乌斯带是典型的不可赋向曲面，当你绕行一圈回到出发点时，方向会颠倒，上变成下或者左变成右；顺时针的方向变成逆时针的方向。）

图4.2 这些二维曲面，兔子、大卫雕像、公牛和马，都是黎曼面的例子。黎曼面在数学和弦论里都非常重要。我们可以把黑白网格套到这些曲面上，方法是取网格上任何一点的坐标，通过某个数学“函数”，映射到兔子身上（或其他曲面上）的一点。但是这种映射不可能是完美的，因为除非这个二维曲面是环面，否则在任何欧拉示性数不为零的曲面上，这样的映射都会有奇点存在，就像球面上的南、北极一样。

然而这个过程仍然是“保角”的，意思是在这样从黑白网格映射到另一曲面时，包括网格直角在内的所有角度关系，在映射后都会保持不变。虽然区域——例如黑白方格——的大小，在映射到曲面后会有所扭曲，但方格四个顶点的直角在映射后，仍然会保持90度。这种保持角度的性质是黎曼面的一个特色

当你在黎曼面上，任何一点只有在很小的邻近区域时才像是欧氏空间，因此从一点移动到另一点时，不可避免地必须变动所取的坐标系。但是这些小块区域必须以正确的方式整合起来，才能使得移动时能保持角度不变。这正是这样的运动或者“变换”称为“保角”的原因。当然，复流形可以有更高的维度，黎曼面只是其中的复一维版本而已。但不管维度的多寡，流形上的各个小块区域仍然必须以适当的方式拼接起来，才能符合复流形的条件。只是，对于高维的复流形，从一块区域移动到另一块区域，或是从一个坐标系移动到另一坐标系的时候，变换并不一定能保持角度。因此严格来说，这些变换并不是保角变换，但仍然是一维情形的推广。