三大成就之三
几何分析这项新利器的第三项重大成就，是关于“卡拉比猜想”。这个猜想是由数学家卡拉比（Eugenio Calabi，自1964年起任职于宾州大学）在1953年提出的。往后的发展证明，卡拉比猜想对于几何分析以及对于我个人影响都极为深远。我认为自己能够巧遇，或者该说是一头撞上卡拉比的想法，是我莫大的幸运。（更何况那年头还不时兴戴安全帽，哈。）任何有足够才智和训练的数学家，都有可能对这个领域有所贡献，但要找到特别适合你的才智和思考风格的研究课题，就得依靠运气了。虽然我在数学上有过几次幸运的遭遇，但是遇见卡拉比猜想无疑是一个亮点。卡拉比猜想的问题形式，是要证明“复空间”（complex space，随后会解释）的拓扑性质以及其几何性质（或曲率）之间的联系。基本想法是以某个单纯的拓扑空间为起点，建立起某种几何结构，以便稍后再以各种方式处理。卡拉比所问的问题虽然在细节上极有原创性，但在形式上则是常见的几何学问题：给定一个一般的拓扑空间，或说粗糙的形体，究竟上面容许哪些几何结构？
图4.1 意大利裔美国几何学家卡拉比（照片提供：Dirk Ferus）
这么说来，卡拉比猜想并不像是饱含物理意义的问题。且让我换种方式重述一次。卡拉比猜想所讨论的是具有一种特殊曲率（称为“黎奇曲率”，稍后会解释）的空间，而一个空间的黎奇曲率和该空间的物质分布有关，如果我们说一个空间是“黎奇平坦”的，意思是它的黎奇曲率为零，亦即空间中没有物质。从这个角度来看，卡拉比所问的问题其实密切联系到爱因斯坦的广义相对论：假如我们的宇宙全无任何物质，它还会有引力吗？如果卡拉比是对的，曲率可以让空无一物的空间仍然有引力。不过他的表述更普遍，涉及的不仅是广义相对论所设定的四维时空，还包括任何偶数维度的空间。然而对我而言，把这个猜想放在这样的物理架构中来理解，是最令人兴奋的表达方式。它和我的信念起了强烈的共鸣：数学中最深刻的理念，只要证明为真，几乎总是有重要的物理意义，并展现于大自然之中。
卡拉比表示，当他初次获得此构想时，“它纯粹是几何的，和物理毫无关系”。[1]我并不怀疑他的说法。因为就算爱因斯坦不曾提出广义相对论，卡拉比猜想仍能以完全相同的方式表述，而且现有的证明也不必有一丝一毫的改变。但是话说回来，当卡拉比构思这个问题时，距爱因斯坦发表他的革命性论文已接近四十年，当时，爱因斯坦的理论已经广为流传。我相信，即使不是出自刻意，但我们在思考数学时，难免会不自觉想到爱因斯坦的物理理论。那时候，爱因斯坦的方程式已经把曲率和引力永远绑在一起，也已经牢牢地嵌入到数学里。我们甚至可以说，广义相对论已经成为整体意识的一部分。（或者，套用荣格的说法，是“集体潜意识”。）
无论卡拉比是否有意识地思及物理学，他的几何猜想与引力之间的联系，是促使我着手研究的主要动机。我体认到，证明卡拉比猜想可能是发现某些深刻奥秘的重大步骤。
像卡拉比猜想之类的问题，通常是以空间上的度量来表述。度量是用来决定几何空间中任意路径长度的一组函数，因此决定了空间的几何形状。一个拓扑空间可以有许多可能的形状，因此具有很多可能的度量。比方说，同一个拓扑空间，可以包含立方体、球体、角锥体或正十面体等形体，这些都是拓扑等价的，但度量都不相同。所以，关于一个空间可以“支持”怎样的度量，卡拉比猜想所问的，也可以说成：给定一个空间的拓扑形态，它容许怎样的几何形状？
当然，这并不是一字不差地引用卡拉比的语句。他想要知道的是，某一种紧致（亦即范围有限）的复流形（称为“凯勒”空间），如果满足特定的拓扑条件（关于一种称为“第一陈氏类等于零”的内禀性质，“陈氏”即陈省身），是否同样也能满足具备黎奇平坦度量的几何条件。坦白说，这个猜想所用的术语都很不容易理解，要替这些观念（复流形、凯勒几何、凯勒度量、第一陈氏类、黎奇曲率）下定义，得花好些工夫。我们接下来会一项项慢慢解释。总之，猜想的要旨在于，合乎上述这些复杂要求的空间，在数学上和几何上是可能存在的。
对我而言，这样的空间犹如钻石般稀有，而卡拉比猜想提供了找到它们的地图。如果你知道如何在一流形上解出该方程，而且能了解该方程的整体结构，那么你就可以在合乎该条件的“所有”凯勒流形上，使用相同方法来解出此方程。卡拉比猜想提供了普遍的法则，告诉我们“钻石”的确在那儿，我们寻找的特殊度量确实存在。即使看不到它璀璨的全貌，仍然可以确信它是真品。所以在数学理论中，这个问题犹如珍贵的宝石，或者也可说是未琢的璞玉。
从这里产生出我最为人熟知的成果，这甚至可说是我的天职。不论大家的工作岗位是什么，每个人都希望能找到真正的人生使命，自己来到这世上的真正目的。对演员来说，那可能是饰演《欲望街车》（A Streetcar Named Desire）里的史丹利·科瓦斯基，或是《哈姆雷特》中的主角。对于消防员，那可能是扑灭一场超级大火。如果是执法人员，那可能是逮捕头号人民公敌。而在数学里，则可能是找出那个你命中注定要研究的问题。又或许，跟宿命毫无关系，只是找到一个你够幸运能解决的重大题目。
坦白说，我是一个比较务实的人，当我选择研究课题时，从来不曾想过“宿命”。我或者是去寻找新方向，希望能够带出一些日后证明具有重要意义的数学问题；又或者是挑选现有的问题，以期在更深刻地理解它之后，能引导我们见到另一个新视野。
存在已有一二十年的卡拉比猜想属于后者。我在进研究所的第一年就紧抓住这个题目，不过有时候，反倒像是问题缠上了我。在此之前，以及从此之后，都不曾有其他题目这么强烈引起我的兴趣，我感觉到它可以开启一门新的数学分支。虽然卡拉比猜想隐约与庞加莱的经典猜想相关，但我觉得它的意义还要更加深远，因为如果卡拉比的预感是对的，它将会得出一大类我们当时仍一无所知的几何空间，甚至还可能带来对于时空的新认识。对我而言，这个猜想几乎是无法逃脱的，在我早期的曲率研究工作中，不管哪一条路最后都指向卡拉比猜想。