三大成就之二：庞加莱猜想

几何分析的第二项重大成就（许多人会把它放在最顶点）是关于庞加莱猜想的证明。这个1904年提出的著名猜想在长达一个世纪的时光里，一直是三维拓扑的中心问题。我觉得它非常优美，原因之一在于猜想本身用一句话即可概括，但它却让数学家忙碌了百年之久。简言之，庞加莱猜想说的是：如果在一个紧致的三维空间上，所能画出的每一个可能的闭圈，都可在不撕裂闭圈或空间的要求下收缩成一个点，那么这个空间与球面是拓扑等价的。如本章稍前所述，满足这项要求的空间具有平庸的基本群。

庞加莱猜想描述起来很简短，其意义却不是那么明显易懂。虽然真正而且最难解的问题是在三维的情况，但现在且让我们以二维的类比来说明。假设有一个球面，我们把一条橡皮筋套在它的赤道上。然后我们把橡皮筋轻轻往北极方向推，在此过程中一直让橡皮筋贴着球面。如果橡皮筋的弹性够好，当被推到北极的极点时，它就会缩小成一个点。但若是形如甜甜圈的环面则不然。假如有一条橡皮筋穿绕过它中间的洞，除非把甜甜圈切开，否则没办法把橡皮筋缩成一个点；而如果把橡皮筋套在甜甜圈的最外侧，我们可以把它推到甜甜圈的顶端，如果再继续推，橡皮筋就会往另一边下移到甜甜圈的内侧，只要继续贴着甜甜圈，橡皮筋就不可能缩成一个点。所以对拓扑学家而言，球面和甜甜圈或是任何有一个或数个洞的曲面有着根本的不同。因此庞加莱猜想基本上就是关于球面在拓扑学里究竟如何刻画的问题。

在谈到证明之前，我要回溯30多年前，来到1979年我还在高等研究院的时候。我在当时邀请全世界从事几何分析研究的十余名学者前来普林斯顿，试着为我们的领域奠定基础。我列出了120个几何学的重要问题，其中大约半数后来都彻底解决了。但庞加莱猜想并不在我所列的名单上，一方面因为它可说是整个数学界最著名的问题，没有必要再特别指出，同时也因为我所寻找的是范围较小较明确，我觉得最终可以得到解答的问题（而且最好在合理的时间范围内）。虽然数学家通常是在艰苦奋斗的过程中学习，但最大的进步都是从解决问题得来的，解题对数学家的指导作用，比其他任何事都大得多。但是在当时，没有人明确知道对于庞加莱猜想该如何着手。

一位没有来参加我们讨论的数学家是汉米尔顿（Richard Hamilton，当时他任职于康奈尔大学，目前则在哥伦比亚大学）。那个时候，汉米尔顿才刚展开一个雄心勃勃的计划，试图找出一个良好的动态方法，将复杂、不光滑的流形度量转换成光滑许多的度量。没有任何迹象显示这个计划可以在短期之内取得成果，而显然这正是吸引他的主因。他对于一组和“黎奇流”（Ricci flow）有关的极困难方程非常感兴趣。（黎奇流是本章稍早提到的几何流问题的一例。）基本上，这是一种把凹凸不平和其他不规则修整成光滑的技巧，借此可让弯缠起伏的空间转变得到较均匀的曲率和几何性质，以便更容易地辨识出它们的基本型态。汉米尔顿的计划同样也不在我的一百二十个几何重要问题里，因为他当时还没发表任何成果，只是泛泛地玩味着这个想法，还没真的一头栽入。

我初次得知他的研究，是在1979年稍晚到康奈尔大学演讲的时候。汉米尔顿并没想到他的方程可以拿来解庞加莱猜想，他只是觉得这是个值得探索的有趣东西。我必须承认，当我初次看到他的方程时，也对它们的用途有所怀疑，这些方程看起来太难处理，但汉米尔顿还是坚持下去。1983年，他发表了一篇论文，揭示现在称为汉米尔顿方程的方程解。在那篇论文里，汉米尔顿证明了庞加莱猜想的一个特殊情形，亦即黎奇曲率为正时的情形。（黎奇曲率和物理有密切关系，第4章会再进一步讨论。）

起初的存疑使得我不肯轻易相信，于是我一行行仔细阅读汉米尔顿的论文。但他的论证立即说服了我，它的说服力强到我要求我在普林斯顿的三名研究生立刻去研究汉米尔顿方程。我随即跟汉米尔顿提议，他的方法可以用于证明关于三维空间分类的瑟斯顿几何化猜想，如果能成功，也将完整证明庞加莱猜想。在当时，我还不知道有其他任何工具能够胜任此任务。令我敬佩的是，汉米尔顿以莫大的毅力对付此问题，在此后的二十年里持续不懈地探索黎奇流，其间除了和我及我的研究生有些互动之外，大部分时间都是独力进行研究。

1984年，汉米尔顿和我同时到加州大学圣地亚哥分校任职，他就在我的研究室的隔壁，我们互动的频率因此大幅提高。我带的学生全都去上他开的黎奇流讨论班。我们从他那里学到了许多，而我也希望或许曾给他一两个有用的建议。当我在1987年转职到哈佛大学时，最令我遗憾的，就是不能再和汉米尔顿紧密共事。

不论在他身边的是谁，汉米尔顿总是以坚强的毅力持续贯注在他的计划上。总计他发表了大约六篇重要的长篇论文，每篇都在90页左右。他的论证全都没有白费，所有成果最终都在攀登庞加莱高峰时用上了。

例如，汉米尔顿阐明了当空间在黎奇流的影响下变形时，圆凸状的几何物体总是会演变成球面，这和庞加莱的猜测是一致的。但他了解到，更复杂的物体无可避免会遇到障碍，产生折叠或其他奇点。这是没办法回避的，所以他需要准确知道会发生哪些奇点。为了罗列所有可能出现的奇点，汉米尔顿援引了我和李伟光以前做过的研究（我在此之前几年曾对汉米尔顿提过），把我们的结果做了令人印象深刻的推广。

我对这项工作的贡献可回溯至1973年，当时我正开始应用我为“调和分析”（harmonic analysis）发展出来的一种新技术。（调和分析用于描述平衡状态，是一门有数百年历史的数学领域。）我的方法是根据一种称为“最大值原理”（maximum principle）的研究策略，基本上就是去检视最糟的状况。举例来说，假设你想证明不等式A小于0，你可以问：“A的最大值是多少？”如果你能证明即使在最糟的情形，亦即A达到最大值时，最大值仍然小于零，那么你就完成这个证明，可以放心地提早下班回家了。我把最大值原理用于各种非线性问题，其中有些是和在中国香港时就认识的同学郑绍远（S. Y. Cheng）合作的。我们的研究在数学上是归类为“椭圆型”（elliptic）的几何和物理问题。虽然这类问题有可能极为困难，但因为它们并未涉及时间的变化，因而可以被视为是静态不变的，从而可以被简化。

1978年，李伟光（Peter Li）和我开始对付更复杂的、涉及时间的“动态”状况。特别是，我们研究了描述热在物体或流形中如何传导的方程。我们考虑某些特定变数随时间变化的情形。“李伟光—丘成桐不等式”（Li-Yau inequality）是我们在这个领域最为人知的贡献，它为热能之类的变数如何依时间变化提供了数学描述。汉米尔顿观察的是另一个变数，“熵”（entropy，用于测量系统的混乱度）的变化。李—丘关系式之所以被称为不等式，是因为某些东西（在此是某一时间点上的热或熵）会大于或小于另外的东西，像是另一时间点的热或熵值。

我们的研究提供了观察如何在非线性系统中发展出奇点的定量73方法，其做法是追踪两点距离如何随时间变化。如果这两点发生碰撞，亦即两点间距离缩小至零，那就是奇点了。了解奇点几乎是了解任何与热流动相关问题的关键。尤其是，我们的技巧提供了“尽可能逼近奇点”的方法，显示了在碰撞发生之前瞬间的情形，例如各点移动的速度等，就好像鉴识人员要重建车祸的事故现场一样。

为了获得奇点的特写镜头（数学家称之为“解开奇点”, resolve singularity），我们发展出一种特殊的“放大镜”。基本上，我们把视野拉近到空间被挤压成一点的区域，然后将该区域放大，并在放大过程中将皱痕或挤压点抚平。这种操作不是只做一两下，而是无穷多次。我们不但放大空间以便看到全部细节，而且也拉长了时间轴，形同把时间放慢下来。下一步骤则是比较奇点的形貌（亦即放大无穷多次后的极限状态）和两点碰撞之前的系统描述。李—丘不等式对于“事前”和“事后”快照的变动，提供了实际的度量。

汉米尔顿利用我们的方法得到黎奇流更详细的面貌，得以探测黎奇流可能形成的奇点结构。但因为汉米尔顿方程的架构比我们的还要更非线性（因此更复杂），要把我们的不等式结合进他的黎奇流，是一项非常艰难的工作，结果花费了他将近五年的时间。

汉米尔顿的研究理路之一是专注于一类特殊解，它们在特定参考系中看起来是静止的。这就像是在广义相对论中，你可以找到一个旋转参考系，使得位于某个旋转木马上的人与物看起来没有在移动，如此一来，情况分析起来就会容易得多。借由选择较易理解的静态解，汉米尔顿找到了把李—丘估计结合到他的方程里的最佳办法。这又让他能够更清楚地观察黎奇流的变化，也就是系统如何移动和演变。他特别想知道的是，奇点如何从时空的复杂变动中产生出来。最终，对于所有可能出现的奇点，汉米尔顿都能描述其结构（不过他还不能证明所有这些奇点真的都会出现）。在汉米尔顿所列出的奇点中，除了一种之外，其余的他都有办法处理，可以用拓扑“手术”（surgery）消除。拓扑手术是汉米尔顿引入并在四维中广泛运用的概念。手术的程序非常复杂，但若能顺利执行，就可以证明所研究的空间，正如庞加莱的猜测确实和球面等价。

汉米尔顿始终无法以手术消除的奇点，是雪茄形的突起。所以假如他能论证雪茄型奇点根本不会出现，就能更清楚地理解奇点问题，从而大幅逼近庞加莱和瑟斯顿两大猜想的解决。汉米尔顿的结论是，要这么做的关键，是把李—丘估计推广到曲率不必为正的普遍情形。汉米尔顿立刻找我和他一起研究这个问题。结果这问题出奇顽强，然而我们还是有相当的进展，觉得达到目标只是迟早的事而已。

出乎我们意料的是，2002年11月时，一位圣彼得堡的几何学家帕瑞尔曼（Grisha Perelman）在因特网上，发表了一篇关于黎奇流技巧的几何学应用的论文。不到一年之内，他又在网上发表了另外两篇。帕瑞尔曼旨在以这三篇论文“实现汉米尔顿计划的某些细节”，以及“为几何化猜想的证明给出简短的说明”。[17]他同样也使用李—丘不等式来控制奇点的行为，不过他结合这些方程的手法与汉米尔顿不同，同时还加入了许多他自己的创见。

就某种意义而言，帕瑞尔曼的论文真可说是晴天霹雳，因为没有人知道他在做与黎奇流相关的问题。在此之前，大家比较熟悉的，是他在另一个完全不同、称为“度量几何”（metric geometry）的领域的贡献，他因为证明了几何学家契格（Jeff Cheeger）和格罗莫尔（Detlef Gromoll）的著名猜想而奠定了名声。在2002年网上的论文出现之前，帕瑞尔曼几乎已经不和数学界往来，除了偶尔会有数学家收到他的电子邮件，询问关于黎奇流的文献。但既然帕瑞尔曼不太跟别人提起，或许根本没和任何人说他究竟在做什么，没有人会想到他正认真研究黎奇流，以解决庞加莱猜想。事实上，他的行为低调到甚至许多同行都不清楚他是不是还在做数学呢。

同样令人震惊的是论文本身，三篇论文总计仅仅68页，这表示将需要很多人花很长时间才能消化它们的内容，并把论文中只概略描述的关键论证补充完整。在帕瑞尔曼的许多研究结果中，他说明如何回避雪茄型奇点，从而化解了汉米尔顿不能解决的问题。事实上，现在普遍认为这项肇始于汉米尔顿、完成于帕瑞尔曼的计划，已经解决了百年难题庞加莱猜想，以及较晚出现的瑟斯顿几何化猜想了。

如果这项共识是正确的，汉米尔顿和帕瑞尔曼的整体努力，正可以代表数学的伟大胜利，同时也可说是几何分析的至高成就。他们的贡献远超过菲尔兹奖的得奖标准，帕瑞尔曼因此获奖。同样值得奖励的汉米尔顿，则因为菲尔兹奖得主年纪须少于40岁的规定，而失去获奖资格。谈及几何分析，依我估计，这个领域在此之前三十年所发展出来的定理、引理和其他各种工具，大约半数都被用于汉米尔顿和帕瑞尔曼的研究，最后终于道出庞加莱猜想与瑟斯顿几何化猜想的证明。

以上所述是几何分析这支大榔头所打进的几根钉子。但你可能还记得，我答应要介绍的是几何分析的三大成就。四维拓扑的进展，以及庞加莱猜想和导致其证明的黎奇流方法，构成了前两项。还没交代的第三项，则是我曾钻研多时的问题，让我们在下一章细说分明。