三大成就之一：四维拓扑

尽管有这些理论的成功，我希望并没让你以为几何分析所涵盖的就是这些而已。以上我先集中介绍我最清楚的学术进展，也就是我直接或间接参与过的研究。但是几何分析的范围远不止于此，它涉及了来自全世界百余位顶尖学者的集体努力，以上所述仅是其整体成就的一斑。而且某些几何分析最卓越的成就，本章到此为止仍尚未提及。这些成就我无法一一描述，在2006年我所写的一篇概述性质的文章，就已长达密密麻麻的75页。不过接下来我要讨论其中三项我认为最重要的成就。

第一项里程碑属于四维拓扑的领域。拓扑学家的主要任务，和生物学的分类学家极为相似：将给定维度里，所有可能的空间或流形加以分类。拓扑学家把基本结构相同的物体归为同类，而不理会它们的外观或者细部结构是否差异极大。二维曲面，只要它们是紧致（compact，有界而且非无穷的）、可赋向的（orientable，有内外两面的），就可以用它们的洞数（也就是第1章曾提到的亏格）来分类，如环面，亦即形状像甜甜圈的曲面，至少有一个洞；而球面则没有洞。如果两个二维曲面有相同数目的洞，不管它们的外观多么不同，在拓扑学家的眼中它们是等价的。因此，咖啡杯和浸到咖啡杯里的甜甜圈都是亏格1的环面。而如果你喜欢用牛奶配甜甜圈，装牛奶的玻璃杯和球面是等价的，原则上，你可以把球面的顶端往底端按下去，再把形状稍加修饰，就可以“做出”玻璃杆的形状。

虽然我们早在一百多年前就已厘清二维曲面的情形，三维以上可就没那么简单。英国华威（Warwick）大学的数学家琼斯（John D. S. Jones）说：“奇特的是，三维和四维是最困难的，五维以上的分类反倒容易些。”[12]而三维、四维在物理学中恰巧是最重要的维度。瑟斯顿在1982年时提出一个分类系统，把三维空间切割成八种基本几何型态的组合。这个称为“瑟斯顿几何化猜想”（geometrization conjecture）的假说，在二十年后才得到证明（后文立刻会介绍）。

四维空间的研究大致也是在瑟斯顿提出他大胆的命题时展开的。四维空间不仅更难用肉眼观察，也更难以用数学描述。四维物体的一个例子是随时间而变形的三维物体，像是一个弹跳的篮球，当它砸向地面再弹起时，会被压缩又再胀大。即使用最保守的说法，这类形体的几何细节也相当令人困惑，但如果要真正理解我们身处的四维时空，研究它们无疑是非常重要的。

四维拓扑的一些线索出现于1982年。当时还是牛津大学二年级研究生的多纳森，发表了一系列关于四维空间结构的第一篇论文。为了一窥四维空间的奥秘，多纳森援引了物理学家杨振宁和米尔斯（Robert Mills）在20世纪50年代提出的非线性偏微分方程。杨—米尔斯方程是在四维空间中运作的，它描述了在原子核内结合夸克和胶子的强核力、与放射性衰变有关的弱核力，以及作用于带电粒子的电磁力。一般人通常会试着利用所在空间的几何和拓扑性质去求解杨—米尔斯方程，但多纳森将整个问题反转过来，他认为这些方程的解，应该会透露所在四维空间的讯息。更明确说，杨—米尔斯方程的解应该和数学家称之为“不变量”（invariant）的概念有关，也就是可以判定四维形体是否相同的关键识别特征。

多纳森的研究厘清了他希望找到的不变量，但也出现了意料之外的神秘现象，一种只在四维空间才出现的新型“怪异”空间。要解释何谓“怪异”（exotic），必须先理解当我们说两个曲面或流形相等时的意思。数学家有不同的方法来比较流形。一种是拓扑等价的观念，把本章先前用过的两个篮球拿出来，一个灌满空气，另一个泄了气，这两个篮球实质上仍是拓扑相同的。若一个物体经由折叠、弯曲、挤压或拉扯（但不可切割），变成另一个物体，我们就说这两个物体是拓扑等价的，亦即所谓的“同胚”（homeomorphic）。两物体同胚表示它们彼此之间有着一对一对应，意思是说，曲面上只能有一点对应到另一曲面上的一点，反之亦然；而且同胚是“连续映射”（continuous mapping），这表示一个曲面上彼此靠近的两点，对应到另一曲面时，仍然是彼此靠近的。

另一种比较流形的方法则较微妙，条件也更严格。在此，关键在于能否从一个流形“光滑地”（smoothly）变成另一个流形，过程中不会出现数学家所称的奇点，像是在曲面上出现的折角或尖刺。这种意义下等价的流形称为“微分同胚”（diffeomorphic）。要符合这个条件，从一个流形映射到另一个流形的函数（它会将一空间的坐标，映射到另一空间的另一组坐标），必须是可微分的平滑函数，亦即这个函数在任何点都可以求任何多次的导数。这类函数的函数图形不会有任何锯齿，没有锐利的转折或陡峭的升降。

让我们来看一个例子。在一个椭面（比方说，形如西瓜的曲面）里放入一个球面，并使两者的中心重合。假如从中心向各个方向画辐射状的直线，就可以让球面上任何一点都对应到椭面上的一点。而且，球面和椭面上的任何一点都可以进行此项操作。这里所做的映射不止是连续和一对一，而且还是光滑的。将这两个物体对应起来的函数并没有特别奇怪之处，因为它用来对应的只是直线，没有锯齿、急转弯或任何不正常之处。因此，本例中的两个物体，球面和椭面，既是同胚，又是微分同胚。

而所谓的“怪球”（exotic sphere）则不然。（七维）怪球是一个处处光滑的七维流形，虽然它可以连续地变形成正常的（圆球状）的七维球面，但却不能光滑地变形成正常的七维球面。因此怪球和正常球面是同胚，但不是微分同胚。本章一开始提到的数学家米尔诺，他在1962年获得菲尔兹奖，主要就是因为证明了怪球确实存在。在此之前，人们根本不相信会有这种空间，所以才会被称为“怪异的”。

在二维时，平坦的欧氏空间是你能想象得到最简单的空间，它是像桌面一样的光滑平面，并且向各个方向无限延伸。一个平坦的二维圆盘放在欧氏平面里面，它是否和欧氏平面既是同胚，又是微分同胚？是的。你可以想象有一群人在平面上围着圆盘站着，他们拉住圆盘的边缘，然后一直不停地往外走。当他们朝向无穷远前进时，圆盘可以渐渐覆盖住平面，使得两者最后形成良好、连续的一对一对应。因此两者在拓扑上是相同的。我们也很容易想见，这个把点沿着半径方向移动的延展过程是光滑的。同样的基本结果，在三维或任何维度都成立，圆盘和平面是同胚，而且也是微分同胚的。

类似的，一个光滑的流形如果和平坦的欧氏空间同胚，也一定是微分同胚，这在任何维度都成立，唯独四维除外。在四维的情形，可以有流形与平坦的四维欧氏空间同胚，但却不是微分同胚。事实上，有无穷多种四维流形和四维欧氏空间同胚，但彼此却都不微分同胚。

这是四维空间一个奇特又令人困惑的事实。例如多纳森曾说过，在3+1维时空（三维空间加上一维时间）, “电场和磁场看起来很相似。但在其他维度，它们在几何上是不同的物件。一个是张量（矩阵的一种），另一个是向量，两者无从比较。但四维是特例，两者同时为向量。任此出现了其他维度看下到的对称性。”[13]

多纳森承认，还没有人能在根本的层次上确切明白四维为何如此特别。在他着手研究之前，我们对四维的“光滑等价”（即微分同胚）几乎一无所知，尽管数学家弗利曼（Michael Freeman，当时在加州大学圣地亚哥分校）已经提供了关于四维拓扑等价（同胚）的洞见。事实上，在凯森（Andrew Casson，现任职于耶鲁大学）的既有成果上，弗利德曼已经完成四维流形的拓扑分类。

多纳森所提供的新颖洞见，可用于将光滑的四维流形加以分类（微分同胚）此一极其困难的问题，因而开启了一道深锁已久的大门。在此之前，这些流形几乎是完全无法深入理解的。虽然这个谜团大多仍然未解，但至少现在我们知道应该从何处着手。不过多纳森的方法非常难实际操作。哈佛大学的几何学家陶布思（Clifford Taubes）说：“我们就像狗一样辛勤工作，努力从中汲取讯息。”[14]

1994年，威滕和他的物理学家同事赛柏格（Nathan Seiberg），想出更远为简单的方法来研究四维几何，他们的解决方案是来自于粒子物理学一个称为“超对称”（supersymmetry）的理论，而多纳森的技巧则来自于几何学本身。陶布思说：“新方程含有旧方程的所有讯息，但用它来取出所有讯息大概比用旧方程容易一千倍。”[15]陶布思以及其他许多人，已经运用赛柏格—威滕方法推进了我们对四维几何结构的理解，虽然这些理解距离定论仍然言之过早，然而却是思索广义相对论中的时空问题时所不可或缺的。

对于大多数的四维流形，威滕证明了赛柏格—威滕方程解的数目仅由该流形的拓扑所决定。接着陶布思证明了这些方程解的数目，与某一类型或“族”（family）可以置入此流形的子空间（或曲线）数目是相同的。知道有多少可以置入流形里的这类曲线，就可以推导出此流形的几何性质，以及其他一些讯息。所以我们可以说，陶布思的定理大幅推进了这类流形的研究。

由物理学家杨振宁和米尔斯在20世纪50年代的研究所引发，这一整个四维领域的探索历程代表了一段仍在进行中的奇特插曲。在其中，物理影响了数学，而数学又影响了物理。源自于物理的杨—米尔斯理论，自得到几何学的帮助之后，更有助于我们理解结合基本粒子的作用力。而这个过程又被几何学家多纳森倒转过来，利用杨—米尔斯理论来取得四维空间拓扑和几何的洞识。这个物理和几何之间交换想法的同样模式，又由物理学家赛柏格、威滕及其后的学者延续下去。陶布思如此总结这段两者互动的历史：“很久很久以前，有个火星人降临，送给我们杨—米尔斯方程后就飞走了。我们研究杨—米尔斯方程后得出了多纳森理论。多年之后，那个火星人回来，又送给我们赛柏格—威滕方程。”[16]虽然我不能保证陶布思是对的，但这大概是我听过最合理的说法。