高斯与黎曼的几何研究

除了微分几何，高斯对于数学和物理还有许多重大的贡献。对我们的主题而言，高斯影响最深远的贡献或许是他这个惊人的看法：空间中的物体并不是唯一可以弯曲的东西，空间本身也可以是弯曲的。高斯的观点直接挑战了欧氏几何平坦空间的概念，这个概念不仅适用于直觉上平坦的二维平面，同时也适用于三维空间，平坦概念的结果是：即使在很大的尺度时，平行线仍然永远不相交，而且三角形的内角和必定是180度。

这些原理是欧氏几何的基本性质，但在弯曲的空间里却不成立。若以像地球表面的球面空间为例，在赤道上观察时，地球的经线全都垂直于赤道，看来似乎是彼此平行的。但若沿着经线往两端走，它们最后会在南、北极相交。这在平坦的欧氏空间里是不可能发生的，例如在一般的地图上，垂直于同一直线的两直线就必定平行，而且永远不相交。

图2.4 一个甜甜圈形的曲面可以是完全“平坦”的（高斯曲率为0），因为原则上，我们可以把一张纸卷成筒状，然后再把纸筒的两端接起来

在非欧空间里，三角形的内角和可以大于180度或是小于180度，视空间的弯曲情形而定。如果是像球面之类的“正”曲率曲面，三角形的内角和会大于180度。反之，如果空间像马鞍的中间部分，曲率是“负”的，则三角形的内角和就会小于180度。反过来说，我们可以借由三角形内角和与180度的偏差程度来测量空间的曲率。

高斯同时也提出了“内禀几何”（intrinsic geometry）的概念，其想法是：物体或曲面有它自己的曲率（所谓的“高斯曲率”），和它在空间中摆放的方式无关。以一张纸为例，你会猜测它的曲率是0，确实如此没错。但如果把这张纸卷成一个圆柱面，根据高斯曲率，像这样的二维曲面有两个方向彼此垂直的“主曲率”（principal curvature），在本例中，一个是圆的曲率，其值为1/r，其中r为圆半径（如果r=1，则此曲率是1）；另一个是沿着柱向的曲率，圆柱面的柱向是直线，而直线根本不弯曲，所以它的曲率显然是0。但是二维曲面（包括这个圆柱面）的高斯曲率（曲面的内禀曲率）等于主曲率的乘积，在本例就是1×0=0。由内禀曲率来看，一张纸和由它所卷成的圆柱面是相同的，内禀曲率都是完全平坦。因为一张纸不需要拉扯或扭曲就可以卷成圆柱面，所以圆柱面的内禀曲率是0。换个方式来说，假如有一张纸，不管我们把它摆在桌上或把它卷成筒状，纸上任意两点之间的距离并不会改变。这表示这张纸的几何及其内禀曲率，不会因为它是平坦或卷曲而改变。

与此类似，假如我们能把圆柱面的两端接合起来而做成一个环面，而且在接合时未发生拉扯或变形，这个环面的内禀曲率会和原来的圆柱面相同，也就是0。但是实际上，至少住在三维空间中的我们不可能造出像这样的平坦环面，因为无可避免必会出现弯扭和皱褶。但我们可以在理论上构造这样的物体（称为抽象曲面），而且在数学领域里，抽象曲面的重要性绝不亚于所谓的真实物体。

至于球面，则和圆柱面与环面大不相同。半径为r的球面的高斯曲率是1/r2，在球面上任何点的曲率都是一个正的常数。如此一来，球面上的任何方向看起来都一样，而这在圆柱面和环面上显然不成立。而且不管我们在三维空间中如何摆放这个球面，球的这个性质都不会改变。倘若有只小虫住在球面上，不管球面在三维空间中如何摆放，想必它会无动于衷，它所关心且能经验到的，是它所在的局部、二维区域的几何。

高斯、罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）和波雅伊（János Bolyai）三人极大推进了我们对抽象空间的理解，特别是二维的情况，然而高斯本人也承认对此领域有些困惑。最终，把我们的空间概念完全从欧氏几何架构解放出来的，既不是高斯，也不是他的同辈人。高斯在1817年写给天文学家奥伯斯（Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers）的一封信里表达了他的迷惑：“我愈来愈相信，我们的几何的必然性是无法证明的，至少无法借由人类理性来证明，或者其证明无益于人类理性。或许在下辈子，我们会对目前无法触及的空间本质有所理解。”[5]

其中有些解答，并不像高斯所写的得等到“下辈子”，而是在下一代经由他的学生黎曼的卓越才智和努力所达成。黎曼多病而早逝，年仅四十岁。但在这段短暂的时间里，他协助推翻了几何学的传统看法，而且在此过程中，也翻转了人们原先认知的宇宙图像。黎曼引入了一种特殊的度规方式，指派给空间或“流形”（manifold）中每一点一组数字（流形是任何维度的空间或曲面，我们将这些词汇当成同义词交替使用，第4章会再细述），这些数字可揭露连接两点间任何路径的距离。而借由此信息，则可决定空间的弯曲程度。

测量空间在一维的情况中最为容易。例如要测量直线之类的一维空间，只要一把尺就够了。如果是二维空间，例如舞池的地板，通常需要两把互相垂直的尺（一个称为x轴，一个称为y轴），你可以以想要测量的两点为斜边画出直角三角形，再用毕氏定理算出距离。三维的情形与此相仿，不过得要三把互相垂直的尺x, y和z。

但如果在弯曲的非欧空间，事情就变得十分复杂有趣了。相互垂直又有适当刻度的尺在此不再适用，我们得依赖黎曼几何的想法来计算距离。计算弯曲流形上一条曲线长度的方法听起来会很熟悉：我们把曲线分割成一段段无穷小的“切向量”（tangent vector），再用积分把整条曲线积起来，便可得到曲线的全长。

棘手之处在于弯曲空间中，当我们在流形上逐点移动时，每段切向量的测量方式也会随之改变。为了处理这种情形，黎曼引入了度规张量，借此来计算每一点上切向量的长度。在二维的情况，度规张量是一个2 × 2矩阵，而在n维时，度规张量是一个n×n矩阵。值得一提的是，尽管这种测量的新方法是黎曼的伟大创见，它仍然极为仰赖毕氏定理，只是把它推广到非欧几何的情形而已。

具有“黎曼度规”（Riemannian metric）的空间称为“黎曼流形”（Riemannian manifold）。有了黎曼度规，我们就可以测量任意维度的流形上任何曲线的长度。但我们能做的并不仅限于测量曲线长度，我们也可以测量该空间里某一曲面的面积，在此所指的“曲面”并不仅限于一般所指的二维曲面，“面积”也不仅止于一般的二维面积。

借由黎曼度规的发明，原先只能模糊界定的空间，就可被赋予明确描述的几何；曲率不再只是个笼统的概念，而是可以给空间中的每一点都标上精确的数字。而且，黎曼证明了这种想法可以应用到所有维度的空间。

在黎曼之前，弯曲的物体仅能从“外部”来研究，就像从远处来测量山脉，或是从太空船来观察地球表面那样。一旦接近，一切看起来似乎都是平坦的。黎曼演示了，即使别无他物以资比较，我们仍有办法察觉我们是否活在弯曲的空间之中。[6]这带给物理学家和天文学家一个重大问题：如果黎曼是对的，而且我们就只有一个空间，而无法跳脱到一个更上层的结构来观察，这表示我们必须重新调整心目中万事万物的图像：它意味着在最大尺度上，宇宙未必得遵守欧氏几何。空间可以四处游荡，空间可以自由弯曲，空间随便想怎样都可以。正因为如此，天文学家和宇宙学家如今正进行精密的测量，以期得知我们的宇宙是否是弯曲的。多亏了黎曼，我们不必跑到宇宙之外来做这些测量，这是无论如何都难以办到的！现在，我们可以待在原地来找答案，宇宙学家和喜欢窝在沙发上的懒骨头必定都会放心不少。