窥探更高的维度

研究高维度系统的好处之一是，可以发现一些无法从简单场景里看出的模式。例如在下一章，我们将讨论：在一个被巨大海洋覆盖的球形行星上，洋流不可能在任何点都朝同一个方向流动（例如全部从西流向东）。事实上一定会发生的是：一定存在着某些点，海水是静止不动的。虽然这条规则适用于二维曲面，但我们只有从更高维的系统观察，也就是考虑水分子在曲面上所有可能运动的情况，才能导出这个规则。这是为何我们不断向更高维度推进的原因，希望看看这样能把我们带到什么方向并学习到什么。

很自然的，考虑更高维度的结果之一是更大的复杂度。例如所谓“拓扑学”（Topology）是一门将物体依最广义的形状加以分类的学问。根据拓扑学，一维空间只有两种：直线（或两端无端点的曲线）和圆圈（没有端点的封闭曲线），此外再无其他可能性。你或许会说，线也可以是弯弯曲曲的，或者封闭曲线也可能是长方形的，但这些是几何学的问题，不属于拓扑学的范畴。说到几何学和拓扑学的差别，前者就像拿着放大镜研究地球表面，而后者则像搭上太空船，从外太空观察整个地球。选择何者，要视底下的问题而定：你是坚持要知道所有细节，比方说地表上的每一峰脊、起伏和沟壑，抑或只要大致的全貌（“一个巨大圆球”）便已足够？几何学家所关切的通常是物体精确的形状和曲率，而拓扑学家只在乎整体形貌。就这层意义而言，拓扑学是一门整体性的学问，这和数学的其他领域恰恰形成明显对比，因为后者的进展，通常是借由把复杂的物件分割成较小较简单的部分而达成。

也许你会问：这些和维度的讨论有何关系？如上所述，拓扑学中只有两种基本的一维图形，但直线和歪歪扭扭的线是“相同”的，正圆也和任何你想象得出的“闭圈”，不论是如何弯的，多边形、长方形，乃至于正方形都是相同的。

二维空间同样也只有两种基本形态：不是球面就是甜甜圈面。拓扑学家把任何没有洞的二维曲面都视为球面，这包括常见的几何形体，像立方体、角柱、角锥的表面，甚至形状像西瓜的椭球面。在此，一切的差别就在于甜甜圈有洞，而球面没有洞：无论你怎样把球面扭曲变形（当然不包括在它中间剪洞），都不可能弄出一个甜甜圈来，反之亦然。换句话说，如果不改变物体的拓扑形态，你就无法在它上面产生新的洞或是撕裂它。反过来说，假如一个形体借由挤压或拉扯，但非撕裂（假设它是由玩具黏土做成的），变成另一个形体，拓扑学家就把这两个形体看成是相同的。

只有一个洞的甜甜圈，术语称为“环面”（torus），但是一般甜甜圈可以有任意数目的洞。“紧致”（compact，封闭且范围有限）且“可赋向”（orientable，有内外两面）的二维曲面可以依洞的数目来分类，这个数目称为“亏格”（genus）。外观回异的二维物体，如果亏格相同，在拓扑上被视为是相同的。

先前提到二维形体只有球面与洞数不同的甜甜圈面两大类，这只有在可赋向曲面的情况才成立，本书所讨论的通常都是可赋向曲面。比方说，海滩球有两个面，即里面和外面，轮胎的内胎也有两个面。然而，对于比较复杂的情况，例如单面或“不可赋向”的曲面如“克莱因瓶”（Klein bottle）和“莫比乌斯带”（Möbius strip），上述说法并不成立。

图1.1 在拓扑学中，一维的空间只有两种：线与圆，两者有着根本的不同，你可以把圆转变成各式各样的闭圈，但是不能变成线，除非你将它剪开。

可赋向的二维空间像海滩球，有里外两个面，不像莫比乌斯带只有一个面。可赋向二维空间可以用亏格来区分，亏格可以简单想成洞的数目。例如，球面没有洞，亏格是0；普通甜甜圈（环面）有一个洞，亏格是1；两者有根本的不同。如同线和图的情况一样，不在球面上开个洞，是不可能将球面转变成甜甜圈的

如果是三维以上，可能的形体数就会急剧增加。当考虑高维空间时，必须容许我们往难以想象的方向移动。在此所指的可不是介于向北和向西之间的西北方，或是“北西北”的这类方向，而是完全跑出三维网格之外，这个方向落在一个我们还没画出的坐标系里面。

图1.2 在拓扑学中，球、正方体、四角锥（金字塔）、正四面体的表面被认为是等价的，因为只要通过弯曲、伸展、压缩，它们就可以互相转换，并不需要撕裂或剪开。

图1.3 亏格为0、1、2、3（从左到石）的曲面，亏格指的是其中的洞数