从苍蝇的世界看维度的意义

我们都很熟悉三个基本方向上的移动：东西、南北、上下（或者也可以说是左右、前后、上下）。不管我们去哪里——不论是开车上杂货店或是飞到大溪地——我们的运动都是这三个独立方向的某种基本组合。我们对这三个维度太过熟悉，以至于要设想另一个维度，并且指明它确切指向哪里，似乎是不可能的。长久以来，似乎我们所见的即是宇宙的一切。事实上，早在两千多年前，亚里士多德在《论天》（On the Heavens）中就论称：“可在一个方向上分割的量，称为线；如果可在两个方向上分割的量，称为面；如果可在三个方向上分割的量，则称为体。除此之外，再无其他量。因为维度只有三个。”[2]公元150年时，天文学家、数学家托勒密尝试证明不可能有四个维度，坚持认为不可能画出四条相互垂直的直线。他主张，第四条垂直线“根本无法量度，也无法描述”。[3]然而，与其说他的论点是严格的证明，还不如说是反映了人们没有能力看到并描绘四维空间的事实。

对数学家而言，维度指的是一种“自由度”（degree of freedom）也就是在空间中运动的独立程度。在我们头上飞来飞去的苍蝇可以向任何方向自由移动，只要没有碰到障碍，它就拥有三个自由度。现在假设这只苍蝇降落到一个停车场，而被一小块新鲜柏油黏住。当它动弹不得时，这只苍蝇只有零个自由度，实质上被限制在单一点上，亦即身处于一个零维的世界。但这小东西努力不懈，经过一番奋斗后从柏油中挣脱出来，只可惜不幸翅膀受了点伤。不能飞翔之后，它拥有两个自由度，可以在停车场的地面上随意漫步。然后，我们的主角察觉到有掠食者（或许是一只食虫的青蛙），因此逃进一根丢弃在停车场的生锈排气管，苍蝇此时只有一个自由度，暂时陷入这根细长管子的一维，亦即线状的世界。

但维度是不是就只有那么多？一只苍蝇在天上飞，被柏油黏住，在地上爬，逃进一根管子里——这是否就囊括了一切可能性？亚里士多德或托勒密应该会回答“是”，对一只没有高度冒险精神的苍蝇而言，或许也确是如此，但是对当代数学家来说，故事并没有就此结束，因为他们通常不认为有什么明显理由只停留在三个维度。我们反而相信，想要真正理解几何学的观念，像是曲率或距离，需要从所有可能的维度，从零维到n维来理解它（其中n可以是非常大的数）。如果只停留在三维，我们对这个概念的掌握就不算完整，理由是：比起只在某些特定情境才适用的断言，如果大自然的定律或法则在任何维度的空间中都有效，那么它的理论威力更大，也可能更基本。

甚至即使你所要对付的问题仅限于二维或三维，也可能借由在各种维度中研究该问题而得到有利的线索。再回到我们那只在三维空间里嗡嗡飞的苍蝇，它可以在三个方向移动，亦即具有三个自由度。然而，假设还有另一只苍蝇在同一空间里自由移动；它同样也有三个自由度，整个系统就突然从三维变成六维的系统，具有六个独立的移动方向。随着更多的苍蝇在空间里穿梭，每一只都独立飞行而不与他者相关，那么系统的复杂度及其维度，也随之增加。