1.1.2 n阶行列式

在上面的讨论中，是将三阶行列式转化为二阶行列式来计算的。下面，循此思路给出n阶行列式的递归法定义。

定义1.1 将n2个数aij（i，j=1，2，…，n）排列成n行n列（横的称行，竖的称列），并在左、右两边各加一竖线的算式，即

称为n阶行列式，它代表一个由确定的运算关系所得到的数值。例如，当n=2时

当n＞2时，定义为

其中数a1j为第1行第j列的元素；A1j=（-1）1+jM1j称为a1j的代数余子式；M1j为由Dn划去第1行和第j列后余下元素构成的n-1阶行列式。

从定义1.1可以知道一个n阶行列式代表一个数值，并且这个数值由第1行所有元素与其相应的代数余子式乘积之和而得到。我们常将此定义简称为n阶行列式按第1行展开。

对于一般场合下，Mij为由Dn划去第i行和第j列后余下元素构成的n-1阶行列式，即

称为元素aij的余子式；元素aij的代数余子式为Aij=（-1）i+jMij。

例如四阶行列式

中，元素a23的余子式即为划去第2行和第3列元素后的三阶行列式

元素a23的代数余子式为余子式M23前再加一符号因子，即

例1.3 计算三阶行列式

解 由定义

例1.4 计算四阶行列式

解 由定义

通过本例的计算，可以体会到第1行的零元素越多，则由定义按第1行展开时计算越简便。以后将会看到，一个行列式可以按任意一行或任意一列展开。