总序[1]
[1] 本文作者张景中，计算机科学家、数学家和数学教育家，中国科学院院士，曾任第四届中国科普作家协会理事长、第一届中国高等教育学会教育数学专业委员会理事长。
这套小书的作者刘治平教授在回顾退休前后多年的经历时这样说：“我喜欢小孩，更喜欢教小孩。回想起来，自大学教书退休前至今，教小孩学数学有30多个年头了。其间，我倾注心血，边学边教。在做这件事上确实有一点点成绩，自己也获得了莫大的愉悦。”
说“一点点成绩”，当然是刘教授自谦。在此期间，他教过北京海淀区的中关村第一小学、中关村第二小学、北京科技大学附属小学、北京理工大学附属小学、清华大学附属小学、北京大学附属小学等十几所小学的课外数学班；受著名教育家、人民大学附属中学校长刘彭芝之邀，在北京市华罗庚学校教过超常儿童奥数班，参与编写了被广泛采用的教材；参加过第十一届世界天才儿童教育大会，所撰写的文章发表于英国伦敦发行的专刊；还曾应世界天才儿童协会时任主席、台湾师范大学教授吴武典（1940—）之邀，赴台参加1999年资优教育研究学术研讨会并发表文章。他创办了北京幼幼培训学校和北京吉福超常启蒙教育研究所，发表了教研文章30多篇，受到了孩子、家长、学校老师和有关领导的欢迎和赞赏，被评为海淀区教育系统优秀教师。他曾荣获教学征文一等奖、中国科教创新贡献奖及中国当代思想成就奖等。这就是一位退休老人的“一点点成绩”！
我们自然要问，这位老教授是如何教孩子们学数学的呢？中小学数学里几何最难，他又是如何教孩子们学几何的呢？
这套小书总称“少儿几何启蒙”，顺次分为“认识图形”“学会推理”“立体图形”和“图形变换”四个分册。作者在书中开门见山、直来直去、生动详尽地展示了自己教小孩的具体过程和核心思路，并结合近年来中小学数学教学中有效的新思路做了若干补充。
讲几何离不开几何图形，几何图形的基本元素无非是点、直线、线段和圆等。刘教授用生动直白的话语向孩子们介绍这些基本图形，直来直去地指着黑板说：“这叫什么？这叫‘点’。用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在纸上占一个位置。”
在这里，他不说“这是‘点’”，而说“这叫‘点’”，其背后有深刻的道理。自19世纪以来，数学家开始明白，数学研究的对象（如数、点等）并非客观的实体，它们“实际上”是什么，不可能也不需要在数学上讨论和解决。数学关心的只是这些研究对象组成的结构和关系。柯朗等在名著《什么是数学》中说：“基本的数学概念必须抽象化，这一见解是近代公理化发展中最重要和最丰富的成果之一。”这里，刘教授采用“这叫‘点’”的用语，体现了数学概念抽象化的深刻思想，在孩子们的心里播下数学思维的种子。在讲解相关内容时，刘教授为此加了一节“写给家长和老师的话”，有助于家长和老师在孩子们成长的过程中帮助其深化这方面的认识。
在语言文字生动简明的基础上，刘教授在书中对几何逻辑推理的起点也进行了简化梳理，并且提出了“信息几何”这一新概念，不仅关心几何图形中几何性质的逻辑关系，也关心图形中的组合计量信息。孩子们可以通过“点连线”“线交点”“种树成行”“摆小棍”“破密码”“数图形个数”“连线游戏”等一系列有趣的活动，在玩中学，在学中玩。这些活动贯穿着观察与猜想，通过归纳找规律，开放思维，放飞想象。例如，引导孩子们观察、计算11条直线最多能交出多少个点，由少到多，让孩子们发现其中的规律。又如，在观赏行、列和均为34的四阶幻方后，启发孩子们找寻其中还有哪些和为34的数组，它们组成什么样的四边形。结果，大家在课堂上就找出了几十个这样的“数字四边形”，让孩子们产生“震撼感”！这样把几何图形和组合计数联系起来，不仅引出了著名的欧拉网络公式“交点数+区域数-连线数=1”，还介绍了“二人点连线”“画图形画”等游戏性质的活动，其中一些内容还被英国的《国际天才教育》选为专刊的封面图（Gifted Education International，Volume 12，No 2，1997）。
在认识了常见的几何图形的基础上，自然要引导孩子们学点推理。书中不仅介绍了实际的教学过程和宝贵的经验，还引进了有力的初等几何的新方法，特别是以三共定理为代表的面积法。
传统的几何推理方法以全等三角形和相似三角形为基础。如果图中没有现成的全等三角形或相似三角形，就要作辅助线，这就增加了解题的难度。此外，三角形全等要满足三个条件，三角形相似要满足两个条件，这样从三个或两个条件推出一个结论，给初学者带来了困难。
以三角形面积公式为基础的三共定理学起来容易（都是三角形面积公式的简单推论），用起来方便（一个条件一个结论，还不用作辅助线），解题效果显著，而且能够串通几何、代数和三角的知识，沟通孩子们学过的知识和将来要学的知识。许多重要的几何事实用三共定理来证明，立刻就变简单了。回忆自己在初中学三角形中线的性质，那时要作辅助线，用上平行四边形对角线的性质等知识；现在有了共边定理，将两个面积一比，马上就看出结果来了。这种方法具有一般性，把中点换成三分点或四分点，也能够算出相应的结果。书中除了这个例子，还举出了塞瓦定理等著名结论的简单推导，很有说服力。
在三共定理中，共高定理和共角定理早就有了，但共边定理在传统的教材和教参中未见提到。近年出版的一本高校用的初等几何教材提到过一个有趣的例子：大数学家华罗庚（1910—1985）用初中数学知识给出了射影几何的一条基本定理的证明，用了一页篇幅，但作者后来发现，用基于小学知识的共边定理，仅一行就推导出来了。实际上，共边定理的本质是确定两条直线交点的位置，代数意义就是求解二元一次方程组。这样一来，平面射影几何里所有涉及直线相交的定理用共边定理就都能证明。
另一方面，共角定理的发展直观而自然地引出了三角函数中的正弦，而且不用坐标就给出了涵盖钝角的正弦定义，实现了荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔（1905—1990）提出的“提前两年学正弦”的设想。我国首创的这种“重建三角”的想法在初中阶段进入教学实验已有十几年，显示出了提升学生学习兴趣和解题能力的明显效果。这套小书向小学生讲正弦，也是一个大胆尝试。我国著名数学教育家张奠宙（1933—2018）在他的著作中写道：“如果能从小学就开始熟悉sin A，当然是一次重大的思想解放……如果三角学真的有一天会下放到小学的话，这大约是一个历史起点。”
综观这套小书，由浅入深，从观察到计算再到推理，从平面画图到制作立体模型，从生动有趣的游戏到大师的著名贡献（如七桥问题和欧拉公式），刘教授总是用浅显通俗的语言引入问题，启发孩子们去想象，诱导孩子们去思考和发现，让孩子们在快乐、惊奇甚至震撼中进入数学的新天地。
我没有教过小学，更没有对小学数学教学做过深入的考察研究。看了这套小书，我感到这样教孩子们学数学必然有好的效果，能够让孩子们爱上数学。当然，孩子们的具体情形各不相同，书中的具体内容也有需要进一步探讨、改进之处。但我希望并相信，千千万万的孩子会在老师或家长的关怀下从书中获益，从书中体会到数学是多么好玩，多么值得思考和探索。
2023年12月25日