1　绪论

1.1　研究的背景和意义

地球重力场作为大地测量学领域一个重要的物理量，对研究地球形状及其内部构造有重要意义。地球重力场是地球系统质量空间分布的综合反映，提供地球表面及其外部空间一切运动物体力学行为的先验约束，决定着地球的物理形状以及外部空间的物质运动状态，因此历来是大地测量学研究的核心问题和热点问题（宁津生，2001）。

确定地球重力场，主要是建立重力场模型和确定大地水准面，特别是确定区域性高分辨率和高精度的大地水准面模型（李建成等，2003）。大地水准面作为一个最接近平均海平面的重力等位面，是正高的起算基准面。一方面，高精度的大地水准面为确定地球几何形状提供了重要保障，借助于精确的大地水准面信息，GPS（全球定位系统）椭球高便能转化为正高，在一定程度上取代传统耗时、费力的水准测量方法；另一方面，大地水准面的分布及其变化与地球内部物质的密度异常密切相关。大地水准面的长波信息主要反映地球深部或下地幔的密度异常分布；而中短波信息与岩石圈内部负荷及地形有很强的相关性。密度异常对大地水准面起伏造成的影响如图1-1所示。

图1-1　密度异常对大地水准面起伏造成的影响

从图1-1可以看到，在质量过剩的区域，大地水准面在椭球面之上，对应的重力异常为正值；而在质量亏损的区域，大地水准面在椭球面之下，对应的重力异常为负值。除此之外，大地水准面还可用于研究岩石圈的热演化过程和弹性厚度、地幔对流、造山运动、火山热点、大洋中脊等地球动力学问题（见图1-2）。因此，精确的大地水准面信息对地球物理学、大地构造学等地球相关学科的研究具有十分重要的意义。

近几十年，空间观测技术和地面观测手段都得到了显著改善，地球局部地区累积了越来越多的重力观测数据，如地面重力数据、卫星重力数据、航空重力数据和测高重力数据等，重力场数据的观测精度和分辨率都得到了前所未有的提高。但是，随着固体地球物理学、海洋学和冰川学等地球相关学科研究的不断深入，对重力场数据的观测精度和分辨率的需求也达到了新的高度，重力场模型的发展依然相对滞后。

目前，国际上公认的地球重力场模型EGM2008和EIGEN-6C的大地水准面整体精度仅为±24cm（与GPS/水准比较）；世界各国单独构建的大地水准面模型，即使是欧美等发达国家，在复杂地区的精度也在±5cm之外。上述这些情况不仅难以满足现代大地测量厘米级的大地水准面精度要求，也与地球相关学科对重力场模型精度和分辨率的需求相去甚远（见表1-1）。因此，如何充分有效地融合各类重力数据，弥补彼此间的不足，构建高于2000阶、大地水准面精度优于1cm和重力异常精度优于1mGal的地球重力场模型的任务依然艰巨。

图1-2　地球重力场与地球相关学科之间的关联

表1-1　地球相关学科对重力场模型精度及分辨率的需求

资料来源：部分数据来自ESA，1999。

地球重力场模型通常用球谐函数进行表达，如EGM2008和EIGEN-6C等，但由于大气、海洋潮汐等背景场以及球谐函数本身固有特性的影响，球谐函数重力场模型的精度仍有较大的提升空间。一方面，球谐系数的解算需要全球范围足够均匀的重力观测值，以便进行数值积分（调和分析法），实际上，上述条件很难满足，因此必须对原始数据进行格网化，但在格网化的同时会引入插值误差。另一方面，球谐函数难以顾及重力场信号分布的不均匀性，进而会造成局部有用信号的严重浪费。例如，若要恢复复杂地区的重力场信号（高山、陆海交界区等），则必须采用高阶或超高阶球谐函数建模，这不仅会导致平滑信号区域的过度参数化，大量的球谐函数系数还会给计算机性能带来严峻的挑战；相反，若仅考虑稀缺区和平坦区域（这些区域的重力场模型阶次无须太高），虽然不会出现过度参数化和数值不稳定现象，但复杂地区的高频信号将不能恢复。

实际上，造成球谐函数重力场模型劣势的原因是其全局紧支撑特性，或者说其缺乏空间“局部化”特性。这里的“局部化”，指的是一个函数在某特定的域（空域或频域）内非零范围的大小，范围越小，该函数的局部化特性越好（Eicker，2008）。Heisenberg的不确定性理论指出，一个函数可以同时拥有频率局部化特性和空间局部化特性，但两种局部化特性不可能同时达到最优化效果，即一个函数的空间局部化特性越好，其频率局部化特性必然越差；反之亦然。图1-3清晰地展示了函数局部化特性的变化规律。

从图1-3可以看到，球谐函数具有最佳的频率局部化特性，每个固定的阶次都有一个单一的频率与之对应，但是不具备任何的空间局部化特性，即任意一个球谐函数在球面上的几乎所有区域都不等于零。因此，球谐函数又被称为“全局支撑函数”，即任何一个球谐系数的改变都会导致整个重力场发生变化；反之，局部地区任何重力场变化也会影响整套的球谐函数系数。所以，虽然球谐函数在构建全球重力场方面取得了非常丰硕的成果，但在局部重力场的表示方面，显得无能为力。

与球谐函数对应的另一个极端是狄拉克（Dirac）函数（见图1-3），它的特点是只有一个球面点值不为零，因而具有最好的空间局部化特性，但也失去了频率局部化特性。

径向基函数是球谐函数和Dirac函数的折中（见图1-3），兼具优良的空间局部化特性和频率局部化特性，近年来在模型化局部重力场方面受到越来越多的青睐。一般地，径向基函数分为带限与非带限两种类型，非带限型径向基函数可以用闭合公式表达，空间局部化特性显著，但不如带限型径向基函数在表示观测数据时那样灵活。利用径向基函数的球面展开，可将重力场信号表达为多个依赖频率的细节信号，进而逼近局部大地水准面。径向基函数还能顾及观测数据不同的频谱特性、空间分布和精度差异，非常适合融合多种类型的重力观测数据共同建模。径向基函数的数量由建模区域和观测数据的分布等因素共同决定，不过数量一般不会太大，这使得径向基函数较球谐函数在数值计算方面存在优势。此外，径向基函数系数与球谐系数还可以互相转换，现有的球谐分析工具仍然可以继续使用。总之，径向基函数方法在融合多源重力数据、构建高精度高分辨率重力场模型方面有巨大的发展潜力，因此本书重点挖掘其在上述两个方面的能力。

图1-3　函数局部化特性的变化规律

资料来源：Freeden，1999。