二、误差理论_物理学实验（全国中医药行业高等教育“十四五”规划教材配套用书）-QQ阅读男生玄幻网

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二、误差理论

（一）测量的误差及误差的计算

1.物理量的测量与测量误差　在物理实验过程中，不仅要对物理现象的变化过程作定性的观察，而且还要对一系列物理量进行定量的测定，从而探索寻找物理量之间的关系，从这个意义上来说，物理实验首先碰到的就是测量问题。测量某一物理量，实际上就是用一个确定标准单位的物理量和待测的未知量进行比较，所得的倍数就是该未知量的测量值。

测量方法可分为直接测量和间接测量。直接测量是将待测量与标准量作比较而直接得出结果的测量。例如，用米尺测量长度，用秒表测量时间等，就属于这一类，都是用基本测量仪器就可直接测出结果的。间接测量是依靠直接测量的结果，再经过物理公式的计算，才能得出的物理量。例如，要测量圆柱体的体积，首先要测量其直径和高度，然后再用公式计算才能得出结果。大多数测量都属于这一类。

测量的目的是力图得到真值X0。所谓真值，就是反映物质自身各种特性的物理量所具有的客观真实数值。严格来讲，由于仪器精度、测量方法、测量程序、实验环境、实验者的观察力等原因，测量都不可能绝对准确。这就导致了所测得的值X与真值X0之间有一个差值ΔX=X-X0，这个ΔX就是误差。

在测量中，误差总是存在的，同时又是可以而且应当努力降低的。

误差来源的分析、误差大小的估算对实验工作十分重要，它将直接影响到测量水平的高低。

2.测量误差的分类　任何一个物理量的测量都不可避免地存在误差。根据误差产生的性质及导致误差产生的原因，我们可以把它分为系统误差、偶然误差和过失误差。

（1）系统误差　系统误差是由于测量理论本身不严密、测量方法不尽完善、测量设备的缺陷、周围环境（温度、湿度、气压、电磁场等）变化的影响或测量者自身的习惯等因素所引起的误差。例如，测物体的重量时没有考虑到空气浮力的影响，测时间时秒表走时不准确，测高度时尺子没调到铅直，测量者读数时习惯于将头侧偏，等等。系统误差的特点是测得的数值总是朝一个方向偏离，或总是偏大，或总是偏小。其特征是偏离的确定性，增加测量次数也不能有所改善。但如果根据其产生原因分别加以校正，例如，修正仪器、改进测量方法、对影响实验的有关因素加以周密考虑等，系统误差是能够尽量减小或消除的。

系统误差的发现是比较困难的，它需要测量者有较为丰富的实践经验和一定的理论知识。从实验方法的角度上考虑，可以采取扩大实验范围，即用不同的实验方法或同一种方法改变实验条件，对测量过程进行细致的观察、对比，分析各种实验手段或各种状态下所测到的结果，找出它们之间的差异等，这些将有助于进一步分析产生系统误差的因素，并尽可能将其降低到最低程度。

（2）偶然误差　偶然误差亦称随机误差，是由一些无法控制，纯属偶然的因素所引起的误差。例如测量者感官分辨能力的限制、电压的不稳定、温度的不均匀、仪表设备受震动等偶然因素。其发生纯属偶然，其大小和分布受或然率支配。由于这类偶然性无法消除，所以偶然误差是不可避免的。然而偶然误差有一个特征：各次测量的误差是随机出现的，时而偏大，时而偏小，时正时负，方向不一定，但从统计意义上讲，在重复多次测量过程中，出现测量值偏离真值的大小与偏离方向的机会是均等的，而且随着测量次数的增多，这一规律表现得愈为明显。正是由于这一点，在客观上要求我们对待测物体进行尽可能多的重复测量。将重复测量所得到的一系列测量值经过适当的数据处理之后，就可能使偶然误差大大降低，即减小偶然误差发生的方法，是进行多次重复测量后进行误差处理。

（3）过失误差　过失误差是人为的误差，实验者的粗心大意、实验方法的不当、使用仪器不准确、读错数据、数据记录的笔误等，均可造成过失误差。因此，实验者必须要有严肃认真的态度，实事求是和一丝不苟的科学作风，以避免过失误差。

3.测量结果的表示

（1）测量结果的最佳值（近真值）

1）算术平均值：对某一物理量在相同条件下进行k次测量，各次结果分别为X1、X2、X3、…、Xk，则它们的算术平均值为

根据偶然误差的抵偿性，随着测量次数的无限增加，偶然误差的算术平均值趋近于零，那么此测量值的算术平均值也将趋近于真值。这个算术平均值可认为是被测物理量的最佳值或近真值。为了减小偶然误差，在可能的情况下，总是采用多次测量，并将其算术平均值作为被测物理量的真值。

2）我们还经常遇到一些被测量已经有公认值（或理论值），这时，可用公认值（或理论值）作为真值。

3）在实验中，由于条件限制使测量不能重复，或者对测量准确度要求不高等原因，而对一个物理量只进行一次直接测量，这时就以这一次测量值作为近真值。

（2）绝对误差和相对误差　测量值与真值之差ΔX=是以误差的绝对值来表示测量的误差，它反映测量值偏离真值的大小，具有和测量值相同的单位，通常称为绝对误差。本书所涉及的算术平均误差、标准误差都是指绝对误差。

绝对误差与真值的比值定义为相对误差，相对误差通常用百分率来表示，记做E，即

（3）测量结果的表示　通常把测量结果表示为以下形式。

这样测量的结果及测量误差就完整地表示了。

4.测量误差（绝对误差）的处理方法

（1）直接测量值的误差　直接测量值的误差常用以下几种方法表示：

1）算术平均误差（平均绝对误差）：各次测量值Xi与算术平均值差值的绝对值反映了各次测量的误差，我们把它叫作各次测量的绝对误差。各次测量的绝对误差的平均值定义为算术平均误差：

因为它是以误差的平均值表示测量值的绝对误差，故又称为平均绝对误差，它表明被测物理量的平均值的误差范围，也就是说，被测物理量的值的大部分在和之间，因而测量结果应表示为X=

2）标准误差：求各次测量值Xi与算术平均值的差，再取其平方的平均值，然后开方，称为标准误差，记作σ，即

标准误差在正式的误差分析和计算中，常作为偶然误差大小的量度。被测物理量的结果可表示为

对只进行一次直接测量的物理量，其误差可根据实际情况进行合理的估算。通常可按仪器上标明的仪器误差作为单次测量的误差。如果没有注明，可取仪器最小刻度的一半作为单次测量的绝对误差。

当被测量已经有公认值（或理论值）时，绝对误差就取我们所得到的测量值与公认值（或理论值）之差的平均绝对值。

（2）间接测量值的误差　在物理学实验中，大多数测量是间接测量。被测量值是由多个直接测量值通过一定的函数计算得出的结果。例如，要测一个均匀小球的密度ρ，先用游标卡尺测出它的直径d，利用体积公式算出其体积再用托盘天平测出它的质量m，根据密度公式求得其密度直接测量值d、m的误差必然对间接测量值ρ的误差有所影响，这一问题可应用误差传递公式来进行处理。

设A、B为直接测量值，其测量值可表示为A=X为间接测量值，X=f（A，B）。那么，间接测量误差结果的表示如下。

1）和的误差

若

X=A+B

则

于是算术平均值为

平均绝对误差为

相对误差为

2）差的误差

若

X=A-B

则

于是算术平均值为

考虑到可能产生的最大误差，差的平均绝对误差为

相对误差为

由此可见，和差运算中的平均绝对误差，等于各直接测量值的平均绝对误差之和。

3）积的误差

若

X=A·B

则

于是得算术平均值为

略去带有因子的项（因其值较小），考虑到可能产生的最大误差，则平均绝对误差为

相对误差为

4）商的误差

若

则

略去带有因子的项，考虑到可能产生的最大误差，则算术平均值为

平均绝对误差为

相对误差为

由此可见，乘除运算的相对误差等于各直接测量值的相对误差之和。

5）方次与根的误差

由乘除运算的相对误差公式，可以证明

若X=An，

若X=

上述各种运算，虽然是由A、B两个直接测量值所得的结果，但可推广到有任意多个直接测量值计算间接误差的情况。从以上结论可看到，当间接测量值的计算式中只含加减运算时，先计算绝对误差，后计算相对误差比较方便；当计算式中含有乘、除、乘方或开方运算时，先计算相对误差，后计算绝对误差较为方便。

其他函数的误差传递公式，我们不一一证明，将常用公式列于表0-1中，以备查阅。

表0-1　常用误差计算公式

续表

（二）有效数字及其运算法则

1.测量仪器的精密度　对某一物理量，例如长度、时间、温度、压强、电流等进行测量，必须使用相应的仪器。但每种仪器由于其结构及生产技术条件等各方面因素的限制，都有一定的精密度。使用不同精密度的仪器，测量结果的精确度也就各不相同。

一般定义最小分格所代表的量为该仪器的精密度。例如，米尺的最小分格是1mm，其精密度就是1mm。有的仪器有特殊标记，例如某一天平的感量是0.01g，其精密度也就是0.01g，此时就不能用最小分格来代表精密度。电子仪表的精密度是以级数标记的，例如某电表是2.5级，表示测量误差为2.5%。级数越小，精密度就越高。

2.有效数字的概念　仪器的精密度限制了测量的精确度。例如，我们用最小刻度为毫米的米尺测量某一物体的长度，测得值是在3.2cm和3.3cm之间，3.2cm为可靠数字，读数3.2和3.3之间的数字要由测量者估计得出，比如说，估计得3.26cm。显然，最后一位数字“6”是不准确的，对不同的实验者所估计出来的数不一定相同，这个数字叫可疑数字。我们把测量结果的数字记录到开始可疑的那一位为止，组成这个数值的数字，即可靠数字加上可疑数字，称为测量结果的有效数字。

有效数字位数的多少取决于所使用仪器的精密度，不能随意增减。所以，有效数字不但指出了测量值的大小，还可以用以粗略地估计测量的精确程度。测量数据的有效数字愈多，结果愈为精确。

3.有效数字的运算法则

（1）加法与减法　对各数进行加减运算时，所得结果的有效数字位数，应与各数中有效数字数位最高的那个数相同。也就是说，有效数字写到开始可疑的那一位为止，后面的数字按舍入法处理。在以下的举例运算中，我们在可疑数字下面加一横线，以便和可靠数字相区别。

例1　42.1+3.276=45.3 7 6=45.4

例2　22.4-2.756=19.6 4 4=19.6

（2）乘法和除法　对各数进行乘法和除法运算时，所得结果的有效数字位数，以参与运算的诸数中相对误差最大的那个数的位数来决定。也就是和参与运算的各数中有效数字位数最少的那个数相同。

例3　1.323×1.3=1.7 1 9 9=1.7

例4　148.83÷1.23=121

（3）乘方和开方　乘方和开方结果的有效数字与其底的有效数字位数相同。

例5　

例6　（4.21）2=17.7

（4）三角函数　三角函数的有效数字位数与角度的位数相同。

例7　cos32.7°=0.842

（5）对数　对数的有效数字位数与真数的位数相同。

例8　lg11.17=1.048

关于有效数字，应注意以下几点。

1）有效数字的位数与小数点的位置无关。例如，2.668m与266.8cm，都是四位有效数字，其精确程度都相同。如果我们注意到2.668m=266.8cm，就可以明白，有效数字的位数与单位变换无关。

2）有效数字与“0”的关系。这要从两个方面来讨论：第一，数字前面的“0”不算有效数字。例如，263.8cm和0.002638km，它们的精确度都一样，显然数字前面的“0”并不影响测量结果的精确度，这两组数都是四位有效数字。第二，数字后面的“0”应算为有效数字。例如，266.8cm和266.800cm，从数字上看，它们是相等的量，但是在测量上的意义却完全不同，它们有不同的精确度。所以数字后面的“0”不能随意增加或删去。

3）有效数字与自然数或常数的关系。在运算中常遇到一些自然数或常数，例如，π、e、8等，这些数不是测量值，其有效数字可以取任意多位。但取多少位合适呢？根据运算法则可知，自然数或常数在运算中所取位数与测量值的位数一样就可以了。

4）有效数字与科学表示法。实验数据很大或很小时，要用科学表示法，即用10的幂来表示，但小数点前一律取一位数字。例如，光速为2.997×108m·s-1，是四位有效数字；光谱中D线波长为5.89×10-7m，是三位有效数字。

5）尾数的舍入法则——尾数凑成偶数。通常所用的尾数舍入法是四舍五入，对于大量尾数分布几率相同的数据来说，这样舍入不是很合理，因为入的几率大于舍的几率。现在通用的做法是“4舍6入5凑偶”：尾数小于5则舍，大于5则入，等于5则凑成偶数。例如，1.635取三位有效数字为1.64；12.605取四位有效数字为12.60；6.036取二位有效数字为6.0；0.076取一位有效数字为0.08。

6）为避免由于舍入过多带来的较大误差，在运算过程中可多保留一位数字，但最后结果只能有一位可疑数字。在乘除运算时，有效数字第一位是8或9，可看成多一位有效数字来处理。例如，92可看成92.0。

下面我们举例说明，如何根据有效数字运算法则进行误差计算。

例9　用米尺分别对圆柱体的高和直径做三次测量，结果如下。

h1=20.1mm，h2=20.4mm，h3=20.5mm

D1=5.1mm，D2=5.3mm，D3=5.3mm

求圆柱体的高、直径和体积测量结果的平均值、平均绝对误差、相对误差并做出结果表示。

解：直接测量的平均值为