三体问题

简化：平面限制性三体问题

如果你遇到一个短时间解决不了的难题，你会怎么做呢？

科学家通常的做法是：先考虑这个难题相对最简单的特殊情况。“相对最简单”的意思是：这种特殊情况不能太简单，以至于和这个难题的本质毫无关系（比如上一小节提到，多体问题里面，研究一体和两体问题就太简单了）；在“不要太简单”的情况下，研究最简单的情况。

像太阳系稳定性这种多体问题，它相对最简单的情况是什么呢？我们可以研究“三体问题”，因为三比“更多”简单一些。除此之外，我们还可以如何简化这个问题呢？

我们可以假设：三个物体中，一个物体的质量远远小于另外两个物体。这样我们就可以先计算两个较重物体的运动——上文提到过，它们围绕它们的质心做椭圆运动。在知道这两个比较重的物体的运动轨迹之后，我们再研究那个比较轻的物体受到这两个比较重物体的引力后如何运动。这就是“限制性三体问题”。前面我们提到的南门二A、南门二B两颗恒星再加上一颗很轻的行星的运动，就是限制性三体问题。

我们还可以进一步简化这个问题，在限制性三体问题中，让三个物体都在同一个平面内运动。这就是平面限制性三体问题。

台球：平面限制性三体问题有多难？

你可能认为在经过上述简化之后，三体问题已经变得很简单了。但实际上，即使在这么强的简化条件下，三体问题仍然很难。这个平面限制性三体问题有多难呢？在《三体》中，丁仪用台球来解释物理定律。在打台球的时候，你会注意到三体问题比两体问题难很多[15]。假如你需要用白球碰撞灰球，再用灰球碰撞黑球，那么这比直接用白球碰撞黑球复杂多了。特别是在灰球和黑球离得特别近的情况下，如果它俩的位置稍稍改变一点，最后碰撞的结果差别会非常大。举个最简单的例子：假如白球、灰球和黑球在同一条直线上，灰球和黑球离得很近。这时，交换灰球和黑球的位置。虽然灰球和黑球的位置都只改变了一点，但是碰撞的结果发生了很大的改变，改变之前是灰球静止、黑球飞出去，改变之后是黑球静止、灰球飞出去。这种“差之毫厘，谬以千里”的结果，说明三个台球的情况比两个台球的情况复杂得多。

奥斯卡国王奖

为了更仔细地解释三体问题有多难，让我们回到1887年，两年后，瑞典和挪威的国王奥斯卡二世就要过60岁生日了，准备庆祝一番。一个国王的生日和一个科学问题有什么关系呢？奥斯卡二世可不是一般的国王。做国王前，他在大学里学的是数学专业[16]。做国王之后，他也大力支持科学特别是数学的发展。所以，在数学家们的倡导下，他决定设立一个数学奖，来庆祝自己的60岁生日。

据说数学家米塔格-列夫勒向奥斯卡二世提出设立数学奖的建议时，是建议每4年颁发一次。最终，奥斯卡二世答应的方案是一个一次性的奖项，没有同意每4年颁发一次的建议。看到这里，你或许会联想到数学界的最高奖——1936年设立的、自1950年开始每4年颁发一次的菲尔兹奖。假如奥斯卡二世知道菲尔兹奖在今天的盛名，会不会为自己没有同意每4年颁发一次而后悔呢？后来得知诺贝尔奖不包括数学，1902年，奥斯卡二世曾经同意资助一个多次颁发的数学奖，但是由于随后的政治变动，挪威-瑞典联盟解体，这个奖项也就没有了下文。如果当年奥斯卡二世早点下决心，或许世界上最好的数学家就可以拿奥斯卡奖了[17]。

与当时很多其他的科学奖一样，奥斯卡国王奖没有让学者自由发挥，而是选择了几个题目，让学者们提交论文，再由评委评出谁的论文获奖。这有点儿像悬赏，让这些数学家缉拿数学中的“逃犯”问题。当时，奥斯卡国王奖给出4个题目，其中的一个题目是[18]：

具有任意多个质点的系统，其中两点间的作用力满足牛顿定律，在任意两个质点不发生碰撞的条件下，试给出每个点的坐标以时间的某个已知函数作为变量的级数表示，并且对于所有的取值，该级数是一致收敛的。

如果你没学过微积分，这段话看起来会有难度。简单来说，上面这段话就是悬赏“求解三体问题”[19]。但我还是整段引用了原文，这是因为在《三体》中，第192号文明证明了“三体问题不可解”[20]，这是《三体》整个故事的基石。一个微分方程“不可解”到底是什么含义呢？在数学里有一大串概念与可解性相关：没有算术解、没有多项式解、没有代数解、没有闭式解、没有解析解、没有数学表达式解。“不可解”指的是这其中的哪个，还是解根本就不存在？[21]为此我特地请教了一位研究微分方程颇有建树的数学家朋友，他也不清楚“不可解”在微分方程里到底指其中哪一个概念，因为现代微分方程理论已经不再提这个词了。所以，我们引述1885年悬赏解题的原文，这里用数学的语言问三体问题是否可解，基本对应现代数学里问三体问题有没有“解析解”。我们要研究一个问题，首先是要搞清楚这个问题的精确定义是什么。[22]

三体问题的特解

在奥斯卡国王奖的题目里，请注意“在任意……条件下”这个附加条件。在数学上，这意味着：我们需要找到系统的通解（任意条件下的所有解），而不是特解（一些特殊情况）。事实上，对于三体问题，人类已经找到了很多很多的特解。大家可能还记得《三体》中程心与云天明会面的地点——地球与太阳的拉格朗日点。拉格朗日点就是平面限制性三体问题的特解：把一个足够轻的物体放在两个重物体所决定的拉格朗日点上，在这种特殊情况下，3个物体满足三体问题的方程。下图中展示了太阳-地球系统中的5个拉格朗日点。这些拉格朗日点不仅为科幻小说提供情节，更为科学实验的仪器提供可预测的稳定性。例如，哈勃望远镜的继任者、人类最强大的空间望远镜詹姆斯·韦布空间望远镜，就被放置在太阳-地球的第二拉格朗日点上。

除了拉格朗日点，人们也找到了三体问题很多其他的特解。为三体问题找特殊解的努力，从欧拉和拉格朗日的时代就开始了，当时找到的解数量十分有限。近年来，天文学家、物理学家和数学家对三体问题有了更多的了解。2017—2018年，李晓明、景益鹏、廖世俊为三体问题找到了数千个特解。下图是他们找到的一些解，3个天体分别沿着黑线、蓝线和红线运动。

不过，特解毕竟是特解，并不能对任意初始条件的三体问题做出预测。所以，就算存在再多特解，我们也不能说三体问题是“可解的”。我们仍然想要知道三体问题是否有通解以及它的通解具有什么性质。