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2-2-1 向量
向量是一维的张量,它与线段的差别是除了长度(Magnitude)以外,还有方向(Direction),其数学表示法为
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P28_914857.jpg?sign=1734474055-1ahK4LZ8XsP49OJSszdYBYMrFEZtIjOq-0-3a56b29dd4201fce3b57bbbf4df8bc56)
图形表示如图2.3所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P28_625069.jpg?sign=1734474055-yO25jTlGOcRQ6CaV8VHawRf5xUuIeqRW-0-f28781c1bfffad92aaf5991f50f847cc)
图2.3 向量长度与方向
下面使用程序计算向量的长度与方向,请参阅02_01_线性代数_向量.ipynb。
1.长度
计算公式为欧几里得距离(Euclidean Distance),即
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P29_914858.jpg?sign=1734474055-pNAgYS1mH59HmmNkVPfnJ1Z6NrMmilFv-0-ff412e0cf9a2e37e2d2c925b6e6a3dd9)
程序代码如下:
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P29_625535.jpg?sign=1734474055-qG4KkwYS4Eplb8z61FE3UOsopaZNBSnp-0-1efd4fe2b2cb4e8ac1e885f5d5a08fbc)
也可以使用np.linalg.norm()计算向量长度,程序代码如下:
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P29_625542.jpg?sign=1734474055-H7qw3bDS4oD9ByJnuxPjAuON0rKTkWhu-0-1d05cee31cab31de65bdac73a819eb94)
2.方向
使用tan-1()函数计算
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P29_914859.jpg?sign=1734474055-sIY5koW28sfMF0FLMwgsFrnRNzkKw0MT-0-28380e72cffd6567e4b583ea93a6f833)
移项为
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P29_914860.jpg?sign=1734474055-yBOoELqPoVC0dVa8AI6NqnEQ2EdY6Fd1-0-a6d68a0ce1a421f0f975c9719e631cd5)
程序代码如下:
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P29_625561.jpg?sign=1734474055-0Etqwe0OIwZ6gb4yNvNMuiz4j1oIbquZ-0-684d8eda13cb15e46f4b8b9a75980421)
3.向量四则运算规则
(1)加减乘除一个常数:常数直接对每个元素作加减乘除。
(2)加减乘除另一个向量:两个向量相同位置的元素作加减乘除,所以两个向量的元素个数必须相等。
4.向量加减法
向量加减一个常数,长度、方向均改变。
(1)程序代码如下:
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P30_625998.jpg?sign=1734474055-yeouEKe5VKBA2n0iqCh7qC0O9qwgbhDz-0-93c4ff55c5af9083e0db79a86cd2ae24)
(2)执行结果:如图2.4所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P30_626005.jpg?sign=1734474055-SS5zL0Ty8Qll9yIt5sujoSmrthwMrw20-0-cfd18ae590f69f77f4fc5f581a6e71c4)
图2.4 向量加减一个常数,长度、方向均改变
5.向量乘除法
向量乘除一个常数,长度改变、方向不改变。
(1)程序代码如下:
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P30_626009.jpg?sign=1734474055-5Vg0gzPW7IXUmIUDYcr3K5eZEaaPm0kl-0-919e179eb2db071a3cd636124050ed72)
(2)执行结果:如图2.5所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P31_626450.jpg?sign=1734474055-rSveT3T7I18wQQOYxDZsAPwGHtTOMoBm-0-5f6f35e17864bdbc9403165596a3a7e9)
图2.5 向量乘除一个常数,长度改变、方向不改变
6.向量加减乘除另一个向量
两个向量的相同位置的元素作加减乘除。
(1)程序代码如下:
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P31_626454.jpg?sign=1734474055-9u5KSxOEmuxPrjPAmgoqN5Bz7AKUsTq8-0-061cd7010be83ec9d25c3f906342745f)
(2)执行结果:如图2.6所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P31_626461.jpg?sign=1734474055-qLAHAWdcSJbvywND8HwCWvTvpZwLI8vf-0-2547603739ff52db51097f3978d206ac)
图2.6 向量加另一个向量
7.“内积”或称“点积”(Dot Product)
公式为
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P32_914861.jpg?sign=1734474055-5i4LaazVcmmGOHZEWHkyX33mgz70CJyR-0-47c8d52a975e0900daf63afb264d005f)
numpy是以@作为内积的运算符号,而非*。程序代码如下:
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P32_626906.jpg?sign=1734474055-4w2VOlH0osgo3NNnv0uYtouS9WaZ1Syh-0-dea058771994b6fe9c4c3b46436c1f70)
8.计算两个向量的夹角
公式为
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P32_914862.jpg?sign=1734474055-TQfp5LUPtsaZ20t3WQlQXknkkOjxFlPn-0-b3da187d0ede1aafdddca3788e212f7b)
移项,得
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P32_914863.jpg?sign=1734474055-E2FqUKebu7OJlMzdMhho4znGnH8kGGKN-0-c74c9538c0f3416dde5842a5f5ab6ad8)
再利用cos-1()计算夹角θ。程序代码如下:
![](https://epubservercos.yuewen.com/E1A109/26581885501428906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P32_626931.jpg?sign=1734474055-cj2CGTShIe4gTnQJPqflXI5ZDd5tx1FJ-0-cdfdb7adc97e621f790a05c06ebd2ed8)