第三节 传递函数的框图

一、框图的四要素

传递函数的框图是把元件或环节的传递函数写在相应的方框中，并用箭头把框图连接起来，表明信号的传递方向。传递函数的框图给控制系统的分析带来了极大的方便。

传递函数的框图的四要素如图1-6所示。

1.信号线

信号线用箭头表示信号单向传递的方向，在线上写出信号的时间函数或它的象函数。如图1-6a所示。

2.引出点

即信号线的分叉点。如图1-6b所示。同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。

3.汇合点

汇合点也称比较点，用符号“⊗”表示。汇合点只有一个输出信号，但可以有两个或两个以上的输入信号，并在输入信号旁边标注“+”或者“-”号，表示信号相加或者相减。其输出信号等于各个输入信号的代数和。如图1-6c所示。

4.环节

每一个方框表示一个环节或一个系统，方框内要填写环节或系统的传递函数。图1-6d中，X_i(s)为环节的输入信号，X_o(s)为环节的输出信号，G(s)为环节的传递函数。显然X_o(s)=G(s)X_i(s)。

二、框图的等效变换法则

传递函数的框图有三种基本连接方式，即串联、并联和反馈。系统框图在进行等效变换时有以下几种变换法则。

1.串联连接的等效变换

环节与环节首尾相连，前一个环节的输出，作为后一个环节的输入。这种结构形式称为串联连接，如图1-7a所示。

从图1-7a可得

X₁(s)=G₁(s)X_i(s)

X_o(s)=G₂(s)X₁(s)

所以

X_o(s)=G₁(s)G₂(s)X_i(s)=G(s)X_i(s)

因而

G(s)=G₁(s)G₂(s)

可见串联连接的等效传递函数等于各传递函数的乘积。图1-7b是图1-7a的等效框图。

同理，若有几个环节串联，其等效传递函数为各传递函数之积。

2.并联连接的等效变换

两个或多个环节，如果它们有相同的输入量，而输出量等于各个环节输出量的代数和，这种结构形式称为并联连接。如图1-8a所示，由图可知

X₁(s)=G₁(s)X_i(s)

X₂(s)=G₂(s)X_i(s)

X_o(s)=X₁(s)±X₂(s)

从而得到

X_o(s)=[G₁(s)±G₂(s)]X_i(s)=G(s)X_i(s)

因而

G(s)=G₁(s)±G₂(s)

可见并联连接的等效传递函数等于各环节传递函数的代数和。图1-8b是图1-8a的等效框图。

同理，若有几个环节相并联，其等效传递函数等于各传递函数的代数和。

3.反馈连接的等效变换

图1-9a所示为具有反馈连接的框图。图中G₁(s)为前向传递函数，H(s)为反馈传递函数。图1-9a中可以看到反馈连接的特点是一个环节的输出，输入到另一个环节，得到的输出再返回到前一个环节的输入端。

从图1-9a中可以看到

X_o(s)=G₁(s)X₁(s)

X_f(s)=H(s)X_o(s)

X₁(s)=X_i(s)±X_f(s)

经整理，消去中间变量X₁(s)和X_f(s)可得

X_o(s)[1±G₁(s)H(s)]=G₁(s)X_i(s)

于是，等效传递函数为

上式中，取“+”号为负反馈；取“-”号为正反馈。G₁(s)H(s)称为开环传递函数，而G(s)称为闭环传递函数。如果H(s)=1，则称为单位反馈。

反馈连接的等效框图如图1-9b所示。

4.信号引出点的移动

为了对框图进行简化，有时需要对信号引出点进行前后移动。引出点的移动必须遵守移动前后引出点所引出的信号保持不变的原则。

若将引出点从某一函数方框后面移到其前面时，必须在移动的支路中串入具有相同传递函数的函数方框，如图1-10所示。

若将引出点从某一函数前面移到其后面时，则必须在移动的支路中串入具有相同传递函数的倒数的函数方框，如图1-11所示。

5.信号汇合点的移动

信号汇合点的移动要保证移动前后总的信号不变。具体如下：

相邻的两个汇合点可以任意变换位置。如图1-12所示，移动前后X₄(s)保持不变。

从图1-13可以看到，汇合点从某一函数方框之前移至其后时，必须在移动的汇合支路中串入具有相同传递函数的函数方框。

从图1-14可以看到，汇合点从某一函数方框之后移至其前时，必须在移动的汇合支路中串入具有相同传递函数的倒数的函数方框。

三、用变换法则化简框图

前面讲述了五种框图的等效变换法则。框图变换的目的是为了方便地从框图求得整个自动控制系统的传递函数。下面举例说明如何用变换法则化简框图。

图1-15a是一个多回路系统，为了求得系统的传递函数G(S)，进行如下的变换：

1）将包含H₂(s)的负反馈回路的加减点前移到包含正反馈回路外边，如图1-15b所示。

2）利用反馈规则消去包含H₁(s)的正反馈回路，变为如图1-15c所示。

3）利用反馈规则消去包含H₂(s)/G₁(s)的负反馈回路，得到如图1-15d所示的框图。

4）利用单位反馈规则得到该系统的等效框图1-15e，从而求得该系统的等效传递函数为

这样可以看到，图1-15a所示的多回路系统最后可以简化成如图1-15e所示的系统。由于X_o(S)=G(S)X_i(S)，若已知系统的输入信号x_i(t)，通过拉氏变换和拉氏逆变换可求得输出的时间表达式x_o(t)。