毕达哥拉斯学派

毕达哥拉斯（约公元前582年—公元前500年）坚持认为数学中的证据应当是公开的，因为他的同行们应有权利去检查推理的步骤。但毕达哥拉斯实际上禁止他的弟子们将他的证明（甚至定理本身）传播给学派之外的人。毕达哥拉斯的数学与他的神秘教派的其他学说一样，都是神圣的秘密。

由于这种保密性，我们很难探究毕达哥拉斯对于证明的仪式性坚持的基础。从泄露出来的内容看，我们可以推断毕达哥拉斯是出于精神完美主义而要求严格的演绎证明的。毕达哥拉斯教导说，我们的灵魂受到惩罚被束缚在我们的肉体里。我们的灵魂渴望升入它们产生的地方——神圣的天体中。死亡并不会使不死的灵魂从肉体中得到解脱，因为它会转世到正要出生的动物当中。在经过栖息在陆地、海洋和空中的各种动物之后，灵魂将最终再次进入人体。因此，人类吃任何动物的肉都是在同类相食。

人生的目的是按照我们心灵之中的最高标准来生活。我们如果要尊重自身的神圣本源的话，就必须遵守一系列的禁忌，例如戒除肉食、酒精和性交。就更积极的一面而言，我们则通过追求智慧来表达我们对纯洁性的渴望。毕达哥拉斯是第一个称自己为哲学家（也即“爱智者”）的人。

形式最纯粹的研究是数学。在这里，人们可以摆脱自己对感官的依赖。人们可以无视质料世界的束缚，从自明的真理中推断出结果。经验领域中的不确定性在此可以被人类所超越。

毕达哥拉斯用以研究自然的数学路径取得了惊人的成功。他通过发明单弦琴（monochord）——一种带有可移动琴桥的单弦乐器——而发现了音程。这些协和的声响之间的比率似乎与天体的位置相对应。除了在自然现象中发现的这些数学关系，毕达哥拉斯也相信它们存在于伦理学中。数学通过相互性（reciprocity）、相等（equality）和平衡（balance）等概念在道德中获得立足点。毕达哥拉斯用几何方式来表示数字，这使人们自然而然地认为世界是由数字生成的。毕达哥拉斯学派通过在平面上排布鹅卵石的方式来表示数字。他们通过在一枚鹅卵石周围摆满晷阵（gnomons）来构建平方数。晷阵是一组类似于木工直角尺的装置（图2.1）。这种表示方法可能有助于毕达哥拉斯解决在寻找那些一边的平方等于另外两边的平方和的三角形时所遇到的算数问题。但它也表明了一种将越来越多的实在纳入数字控制之下的方法。通过添加越来越大的晷阵，我们可以让环绕最初的“一”的区域变得越来越大。

图2.1

数字是这整个图形，包括由这些鹅卵石或圆点组织而成的空间。如果圆点之间不存在空间，那么就只会存在一个大点。毕达哥拉斯认为数字越大，则其占据的空间越大。因此，所有的实在都包含在自然数中。

毕达哥拉斯形而上学化的数学理论体现了他对于漂亮论证的美学理解。不少毕达哥拉斯学派的精美论证都被记载于欧几里得的《几何原本》之中永垂不朽。

归于毕达哥拉斯名下的最著名的结论是毕达哥拉斯定理。《绿野仙踪》结尾部分甚至提到了这一定理：在稻草人发现他拥有大脑后，他获得了一份文凭。为了向人们展示他新发现的聪明才智，稻草人向他们指出了等腰三角形任意两边的平方根之和等于第三边的平方根。

稻草人其实没有获得聪明才智。实际上，毕达哥拉斯定理的内容是，在一个直角三角形中，斜边长的平方等于两个直角边长的平方和。

然而当我们精确地规定物体的形状时，毕达哥拉斯定理却常常不太好用。例如，少年棒球联盟（Little League baseball）的官方规则手册将本垒板规定为一个不规则的五边形（图2.2）。但是这种形状是不可能的，因为它要求一个三边长各为（12，12，17）的直角三角形的存在（布拉德利，1996）。根据毕达哥拉斯定理，直角三角形两直角边边长的平方之和必须等于斜边长的平方：a2 + b2 = c2。但是122 + 122 = 288≠289 = 172。

图2.2

这样的规则手册是否使少年联盟棒球这项运动成为不可能的呢？棒球中的许多关键术语（譬如击球、跑动等）都是基于本垒板来定义的。少年儿童们似乎是实实在在在打棒球。然而，如果我们一定要坚持官方对于本垒板的定义的话，那么他们只是在从事一项类似于少年联盟棒球的运动（就像一个圆角方块类似于圆的方）。

与此相反，我们将这本规则手册中的定义理解为一种描述一个我们已经理解的词汇的努力，而且这努力是有缺陷的。给出定义的目的在于达到统一的比赛条件。一个东西之所以被称为本垒板，本质上是因为它在棒球运动中发挥着某种作用。即使没有任何人为之给出一个精确的定义，本垒板也可以并且已经成功发挥了这种作用。

毕达哥拉斯定理并不会使得少年棒球联盟比赛无法开展。但是，毕达哥拉斯定理确实会破坏毕达哥拉斯主义。当梅塔蓬图姆的希帕索斯（Hiappasus of Metapontum）将毕达哥拉斯定理应用于直角边长为1的等腰直角三角形时，麻烦就开始了。根据毕达哥拉斯定理，斜边长等于。如果有一个比例等于的话，那么它应该是大小介于1和2之间的一个分数p/q。这个数可能是什么？不可能是3/2，因为（3/2）2 = 9/4，大于2。也不是5/4，因为（5/4）2 = 25/16，小于2。希帕索斯从存在一对符合条件的数字这个前提导出了矛盾。与毕达哥拉斯学说相悖的是，有些事物并不能由自然数来表示。