3.3　政府补贴对低碳扩散影响的随机演化博弈模型

确定性演化博弈模型存在如下问题：一是由企业群体和消费者群体构成的系统为复杂系统，其演化的动力学机制具有不确定性，受到一些不确定性因素的影响，如企业的风险偏好、预期收益水平等。同时，企业所处的政治、经济、文化环境也会对其决策产生影响，进而影响低碳策略扩散过程的稳定性。二是消费者的策略选择会受到一些不确定性因素的影响，如消费者收入水平的变化以及周围人的消费意识等。因此，政府、企业和消费者所处的环境具有不确定性，其演化过程也会表现为不确定性。为此，本书在式（3.7）和式（3.9）中引入了白噪声，反映随机扰动对主体决策的影响，由此建立了随机演化博弈模型，如式（3.10）和式（3.11）所示。

其中，w（t）服从标准的一维布朗运动；dw（t）为高斯白噪声；当t>0，h>0时，其增量Δw（t）=w（t＋h）-w（t）服从正态分布；σ表示随机扰动的强度，且σ>0。式（3.10）为企业群体受到随机扰动的复制动态方程；式（3.11）为消费者群体受到随机扰动的复制动态方程。

3.3.1　模型分析

假设初始时刻t=0，当λ（t）=λ（0）=0，μ（t）=μ（0）=0是随机微分方程组的解。本书将初始状态记作λ₀和μ₀，即当没有受到外界干扰时，系统永远停留在该状态。此时，企业全部采用低碳策略，消费者全部是低碳消费者。但是这种情况几乎不存在，因为系统总会受到内外部环境变化的影响，进而影响系统的稳定性。因此，需要考虑随机因素作用下，系统的稳定状态。根据文献（胡适耕等，2008），有如下引理。

引理给定一个随机微分方程：

设存在V（t，x）∈C1，2（R_＋×Rd）与正常数c₁，c₂，使得c₁|x|p≤V（t，x）≤c₂|x|p，则

（1）若存在正常数γ，使得LV（t，x）≤-γV（t，x），则方程（3.12）的零解P阶矩指数稳定，且E|x（t，x₀）|p≤（c₂/c₁）|x₀|pe-γt。

（2）若存在正常数γ，使得LV（t，x）≥γV（t，x），则方程（3.12）的零解P阶矩指数不稳定，且E|x（t，x₀）|p≥（c₂/c₁）|x₀|pe-γt。

根据上述引理，得出如下结论，用以判断企业和消费者行为的演化稳定性。

命题1　针对式（3.10），取V[t，x（t）]=λ（t），λ（t）∈[0，1]，c₁= c₂=1，p=1，γ=1，则LV[t，x（t）]=f[t，λ（t）]。于是有：当μ（t）≤，且c_n＋p_c-c_c＋w₁≥1时，方程（3.10）的零解矩指数稳定；当，且p_n-c_n＋c_c-w₁≥1时，方程（3.10）的零解矩指数不稳定。

证明：对于式（3.10），取c₁=c₂=1，p=1，γ=1，V[t，x（t）]= λ（t）时，LV[t，x（t）]=f[t，λ（t）]=λ（t）[（p_c＋p_n）μ（t）＋（-c_n-p_c＋c_c-w₁）]。

条件1　当式（3.10）零解矩指数稳定时，需满足λ（t）[（p_c＋p_n）μ（t）＋（-c_n-p_c＋c_c-w₁）]≤-λ（t），由于λ（t）∈[0，1]，故（p_c＋p_n）μ（t）＋（-c_n-p_c＋c_c-w₁）＋1≤0。求得，且满足0，可得方程（3.10）的零解矩指数稳定条件为，且c_n＋p_c-c_c＋w₁≥1。

条件2　当式（3.10）零解矩指数不稳定时，需满足λ（t）[（p_c＋p_n）μ（t）＋（-c_n-p_c＋c_c-w₁）]≥λ（t），故（p_c＋p_n）μ（t）＋（-c_n-p_c＋c_c-w₁）≥1。计算可得，且满足，可得方程（3.10）的零解矩指数不稳定条件为，且p_n-c_n＋c_c-w₁≥1。

命题1表明：在存在政府补贴的前提下，当采取非低碳消费的消费者比例满足条件1时，企业群体最终将选择低碳策略；当该比例满足条件2时，企业群体倾向于采取非低碳策略。该结论为政府在实践中如何制定针对企业的补贴措施，引导企业群体进行低碳生产提供理论依据。

命题2　针对式（3.11），取V[t，y（t）]=μ（t），μ（t）∈[0，1]，c₁= c₂=1，p=1，γ=1，则LV[t，y（t）]=f[t，μ（t）]。于是有：

条件1　当时，零解矩指数稳定。

条件2　当时，零解矩指数不稳定。

命题2的证明过程同命题1。

命题2表明：在存在政府补贴的前提下，当采取非低碳策略的企业比例满足条件1时，消费者群体最终会选择低碳消费；当该比例满足条件2时，消费者群体则会倾向于选择非低碳消费。该结论为政府在实践中如何制定针对消费者的补贴措施，引导消费者群体进行低碳消费提供理论依据。

同时，由于，两个稳定性状态的边界并不重合，存在中间区域没有被覆盖，且该区域为。在本书中，我们称该区域为混沌区域，此时政府发挥重要作用。该区域是一个关键区域，如果在该阶段，政府采取了合适的补贴措施，低碳就可以成功扩散，且前期的政府补贴没有被浪费；否则，政府补贴可能会前功尽弃。

综上可知，政府补贴与低碳扩散之间的关系存有三种情形：

情形1：，其中，U_cc′≥1，c_n＋p_c-c_c＋w₁≥1。

当采取非低碳策略的企业和采取非低碳消费的消费者比例满足上述条件时，系统存在唯一演化稳定策略ESS（0，0），即企业群体和消费者群体最终分别采取低碳策略和低碳消费，这是一种有效率的低碳扩散状态。此时，政府补贴能使低碳在企业和消费者中成功扩散。因此，当采取低碳策略的企业比例和采取低碳消费的消费者比例均较高时，政府补贴可以使低碳成功扩散，此时政府补贴对低碳扩散发挥显著作用。

情形2：，其中，p_n-c_n＋c_c-w₁≥1，U_nn≥1。

当采取非低碳策略的企业和采取非低碳消费的消费者比例满足上述条件时，系统存在唯一演化稳定策略ESS（1，1），即企业群体和消费者群体最终分别采取非低碳策略和非低碳消费，这是一种无效率的低碳扩散状态。因此，当采取低碳策略的企业比例和采取低碳消费的消费者比例均较低时，政府补贴最终没有使低碳扩散至有效状态。

值得注意的是，这种状态存在于一定强度噪声前提下。当噪声强度增大到一定值时，仍然有很大概率稳定于（0，0）点，即很有可能向有效率状态发展，这是在该条件下零解矩指数不稳定的体现。说明噪声不一定全是坏事，政府要学会利用不确定性，把握机遇。

情形3：，其中，p_n-c_n＋c_c-w₁≥1，U_nn≥1。

当采取非低碳策略的企业和采取非低碳消费的消费者比例满足上述条件时，系统既有可能向（0，0）演化，也有可能向（1，1）演化，即企业最终既有可能选择低碳策略，也有可能选择非低碳策略；而消费者最终既有可能选择低碳消费，也有可能选择非低碳消费，这是一种混沌状态。这种状态可以理解为一个过渡期，政府需要在该阶段把握机会，为低碳扩散创造有利环境，进而确保企业和消费者的策略分别向低碳策略和低碳消费方向演化。

3.3.2　不同有效扩散概率下的噪声强度的量化

为了分析不同噪声强度对政府补贴与低碳扩散关系的影响，本节量化了有效扩散概率下的噪声强度。首先，对随机演化博弈模型进行泰勒级数展开，得

令λ=1，μ=1，并将式（3.13）和式（3.14）中的Δw_n视为待求变量。对于式（3.13），有

将上式记为

则需要噪声σ满足以下条件：

其中，normcdf函数是Matlab中的累计正态分布函数。运用Matlab计算实现稳定状态的概率，为了简化起见，此处用normcdf函数表达实现不同稳定概率下的噪声强度。

同理，对于式（3.14），有

将上式记为

则需要噪声σ满足以下条件：

当Prob_λ=Prob_μ=0.0001时，表示在政府补贴措施下，系统可以实现绝对稳定；当Prob_λ=Prob_μ=0.05时，表示在政府补贴措施下，系统实现有效稳定状态的概率为95%；当Prob_λ=Prob_μ=0.10时，表示在政府补贴措施下，系统实现有效稳定状态的概率为90%，以此类推。

因此，根据式（3.15）和式（3.16），可以得到不同有效扩散概率下的噪声强度。