3.3.3 温度壁函数和壁面传热

可以通过给定壁面温度T_w或壁面传热量q_w而确定刚性壁面上的温度边界条件，对于绝热壁面，q_w为零。对于自由滑动或无滑动的定温壁面，壁面温度预先设定。对于使用湍流壁函数模型的固定温度壁面，q_w由以下方程式确定。

温度壁函数为计算壁面单元内的气体温度提供了一种公式，并给出了计算壁面传热量的表达式。在此我们首先推导温度壁函数[28]，然后讨论壁面传热问题。

在内燃机中缸内流动的近壁区，在前面给出的流体假设下，式（3-11）的一般能量守恒方程可以简化为

式中，c_p是比定压热容；传热量为

式中，λ_t是湍流导热系数。式（3-38）右侧的第一项是非定常项，说明了控制容积中能量随时间的变化；第二项是压力做功项；第三项是化学反应的放热项。

众所周知，内燃机壁面传热在本质上是非定常的，如式（3-38）所述。但是，我们可以通过借用准定常假设来近似这个过程。在壁面（y=0）处，对式（3-38）积分得到

式中，是平均化学放热量；普朗特常数为Pr=c_pμ/λ，湍流普朗特常数为Pr_t=c_pμ_t/λ_t，μ_t是湍流黏度。我们引入无量纲量如下：

接着，我们得到

对式（3-42）从0到y+积分。式（3-42）的左侧变成

为了对式（3-42）的右侧积分，需要有描述Pr_t和ν_t（ν_t=μ_t/ρ）变化的相关表达式。基于对文献中许多关系式的分析，韩志玉和Reitz[28]提出了一种曲线拟合关系式，如下所示：

式中，常数a、b、c和m分别为0.1、0.025、0.012和0.4767，从数学上考虑，把设为40。将式（3-44）代入式（3-42），并将积分分成两部分，则有

其中积分的第二部分忽略了Pr-1，因此假设湍流效应在边界层区域占主导地位。最后，给出壁面温度函数：

并给出对应的壁面传热通量公式为

如果源项G可以忽略，公式（3-47）就变成

对于不可压缩流体，式（3-46）依旧成立，但是式（3-43）变成

相应的，我们得到

如果不考虑燃烧，式（3-50）简化为

比较式（3-48）中的可压缩流体传热和式（3-51）中的不可压缩流体传热，可以立即看出，由于气体的可压缩性，气体温度对传热计算的影响是完全不同的。

现在我们讨论壁面传热模型。内燃机传热是内燃机研究的经典课题。它很重要，因为它影响内燃机热效率、污染物排放和部件热应力。准确预测壁面传热不仅有助于更好地理解传热损失机理，而且有助于提高内燃机燃烧模拟的整体精度。通过燃烧室壁面的传热量主要是由于气相对流、燃油油膜传导以及高温气体和碳烟辐射。在许多情况下，例如在预混发动机和无喷雾碰壁的柴油机壁面上，气相对流传热是主要问题。

数十年来，人们对内燃机传热现象进行了广泛的研究。前人已经提出了许多数学模型。从整体分析的角度来看，基于量纲分析的传统模型（关系式）是有用的[29]。但是，它们不能提供空间变化率。此外，这些模型缺乏可靠的理论基础，当应用范围超过其经验常数对应的条件时，其预测结果往往不准确。

由于相对于实际计算网格尺寸而言，内燃机缸内流体的边界层很薄，因此在内燃机多维计算中，通常使用速度和温度壁函数（或温度曲线）来求解壁面剪切应力和传热。一些模型是基于湍流边界层理论和不可压缩流体假设提出的[5，27]。然而，这些模型的预测效果不尽人意，研究表明，壁面传热量被严重低估了[30]。

内燃机流动的不可压缩性假设是值得怀疑的，因为气体密度会因活塞运动和燃烧而发生显著变化。从壁面传热方程的推导可以看出，气体压缩性的影响是显著的。韩志玉和Reitz[28]建立了内燃机可压缩流体的温度壁函数模型，如式（3-46）～式（3-48）所示，该模型显著提高了内燃机传热的预测精度。

为了评估传热模型，将预混点燃式发动机的计算结果与试验数据进行比较，如图3-2所示。发动机在1500r·min-1，中等负荷工况下运转。使用KIVA2程序进行模拟。图3-2中，计算的监测点位置与在HT-1至HT-5标记的测量位置相同。HT-1到HT-4的四个径向位置位于发动机缸盖上，HT-5位于缸套上。有关测量的更多信息，请参见文献[31]。如图3-2所示，就传热量的相位和数量而言，得到了令人满意的预测结果。还可以看出，当火焰在燃烧室中传播时，传热量峰值从HT-1到HT-5的曲轴转角逐步后移。

如图3-3所示，气体压缩性显著影响壁面传热预测。其中采用式（3-48）的模型称为可压缩模型，采用式（3-51）的模型称为不可压缩模型。此外，还用Launder和Spalding提出的不可压缩流体的L-S模型[27]进行了比较。L-S模型如下所示为

式中，T+由式（3-49）定义；范德里斯常数A为26。

图3-3中的结果清楚地表明，不考虑气体压缩性的模型明显低估了发动机中的传热，而可压缩模型很好地再现了试验测量结果。

在当前传热模型的推导过程中，引用了准稳态假设，如式（3-40）所示。因此，该模型不包含能量方程中的瞬态温度项和压力做功项。非定常性的影响通过在传热量中加入一个近似项q_ss来检验[28]，结果如图3-4所示。从图3-4a可以看出，非定常性的影响是微不足道的。模型中考虑了化学放热的影响。图3-4b比较了式（3-47）（考虑放热）和式（3-48）（不考虑放热），结果表明能量方程中忽略放热源项不会导致壁面传热量预测出现较大误差。

对卡特彼勒一款柴油机的传热也进行了模拟[28]。在模拟中，选择气缸盖上的三个位置来监测壁面传热量计算，它们分别位于距气缸轴线15mm、45mm和60mm处，标记为HT-1～HT-3。HT-1位于喷油器附近，HT-2位于靠近活塞凹坑边缘的上方，HT-3位于缸套挤流区最近的上方。在卡特彼勒柴油机中，喷油后不久，喷雾油滴会碰撞到活塞凹坑表面，但在气缸盖上喷雾与壁面的相互作用忽略不计。因此，在现有的传热模型中忽略喷雾影响对分析缸盖传热过程是有效的。

计算的壁面传热量如图3-5所示，同时也给出了燃烧放热率以供参考。可以看出，与图3-2中讨论的均匀混合气发动机不同，柴油机的壁面传热量分布非常不均匀。在HT-1处有两个传热峰值，第一个峰值对应于着火后的初始预混燃烧，如放热率曲线所示。第二个峰值是由扩散燃烧的高温气体引起的。HT-2处的传热量在约10°（CA）（ATDC）时迅速增加。此时，计算和试验火焰图像均表明高温火焰到达HT-2所在的活塞坑边缘。因此，HT-2处的传热量高达10MW·m-2。随后，在约20°（CA）（ATDC）时，火焰向挤流区延伸，HT-3处的壁面传热量开始增加。预测的传热量变化与内窥镜燃烧图像显示的火焰发展过程一致，其数量大小也在重型柴油机以往测量值的范围内[29]。

以上所讨论的壁函数传热模型由于其精确和简单的特点得到了广泛的应用。Rakopoulos等通过对不同压缩比、涡流比和活塞形状的三个火花点燃式发动机和三个柴油机试验数据进行详细比较，对几种传热模型进行了深入的评估[32]。他们的结论是，韩志玉和Reitz的模型[28]虽然是一个非常简单的公式，但表现却令人满意。在所研究的大多数发动机和工况中，它捕捉到了压缩和膨胀行程中峰值传热量的大小及其趋势，且结果接近试验值。它适用于低转速和高转速工况、不同压缩比和负荷的火花点燃式发动机和柴油机。