3.2 数值计算方法
为了数值求解控制偏微分方程（Partial Differential Equations，PDEs），引入了偏微分方程的近似方程。这些近似将偏导数转化为有限差分式，将偏微分方程改写为代数方程。随后，就可以利用计算机在目标区域内的离散点处求解这些近似后的代数方程。有数量众多的数值方法可供选择，它们在计算精度、效率和稳定性方面各具特点。在本书中，我们不打算涵盖关于CFD数值方法的大量内容，而只是介绍常用的内燃机模拟程序KIVA和CONVERGE中数值处理方法的主要特点。对CFD数值方法系统化的描述可以在许多CFD书籍中找到，例如张德良的书[6]。
在KIVA程序中[5，7-9]，气相求解过程是基于一种被称为任意拉格朗日-欧拉（Arbitrary Lagrangian-Eulerian，ALE）的有限容积法[10，11]。空间差分是在具有任意六面体的有限差分网格上形成的，该网格将计算区域细分为若干个六面体小单元。使用任意形状网格对内燃机模拟来说具有显著优点，因为任意网格可以顺应曲线边界，并且可以随着燃烧室几何形状的移动而变化。在这种方法中，除速度外，所有气体流动物理量都存储在单元中。气体速度存储在以单元顶点为中心的动量单元中。因此，速度位于顶点，而其它量位于单元中心。
KIVA程序中的时间差分格式在很大程度上是隐式的。隐式差分用于所有扩散项和与压力波传播相关的项。耦合隐式方程组的求解采用压力连接方程的SIMPLE半隐式方法（Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations，SIM-PLE）[12]。瞬时解以一系列被称为周期或时间步长的有限时间增量函数进行。在每个时间步长中，因变量的值是根据上一个时间步长中的值来计算的。在ALE方法中，每个时间步长被分为两相：拉格朗日相和再分区相。在拉格朗日相中，顶点随着流体速度的变化而移动，并且没有穿过单元边界的对流输运。在再分区阶段，流场被冻结，顶点被移动到用户指定的新位置，流场被重新映射或再分区到新的计算网格上。这种再映射是通过跨计算单元边界的变量输运来完成的，这些计算单元被认为是相对于流场移动的。准二阶迎风QSOU（Quasi-Second-Order Upwind）方法[5]用于计算再分区相的对流输运。
KIVA中时间步长是根据准确性而非稳定性标准计算得出的。此特点与某些商用CFD软件不同。后者以稳定性为重，以避免客户因计算崩溃而产生抱怨。KIVA程序中使用了一种自动时间步长控制方法，该方法要求时间步长Δt满足相关条件。Δt的第一个精度条件是：
式中，fa的典型值是0.5；Δx是一个单元的平均尺寸。Δt的第二个精度条件是：
式中，
；λ是应变率张量的特征值。此条件限制了由于网格运动而导致的单元变形量。
Δt的另外两个精度条件，是考虑到化学放热以及与喷雾的质量和能量交换，从而可以精确地耦合气体流场和源项的需要。它们由以下公式表示：
式中，fch和fsp的典型值为0.1。此外，时间步长Δtgr用于限制时间步长的增长量。其表达式为
柯朗稳定性条件还用于限制对流输运的时间步长Δtc。该条件由下式给出：
式中，Vi是计算单元i的体积；δVi是该单元计算的通量体积；fcon的典型取值为0.2，以减少时间步长来保证计算精度。
然后，第n+1个计算周期的主时间步长为
式中，时间步长Δtmx是计算初始输入的最大时间步长；Δtmxca是基于计算初始输入的最大曲轴转角的最大时间步长。
利用基于蒙特卡罗方法和离散粒子方法的随机粒子方法求解喷雾动力学方程。该方法已被证实非常有效和准确。在离散粒子方法中，连续液滴的概率分布函数f近似为离散分布函数f′：
每个粒子p由Np个具有相同位置xp、速度
、尺寸rp、温度
和振荡参数yp和
的液滴组成。粒子和液滴的轨迹重合，粒子在其所在的计算单元中与气体交换质量、动量和能量。
差分方程可以用来近似控制方程。然后使用上述数值方法计算差分方程。差分方程的计算过程需要一系列计算步骤。计算程序的细节在这里不过多展开，可以在文献[5]中找到。
为了求解有限差分方程，必须给出计算域内的一组网格点及其边界。这种网格系统的创建被称为网格生成。由于内燃机复杂的边界几何形状（如曲面的活塞形状、倾斜的气门），网格生成一直是内燃机数值模拟的瓶颈。直到20世纪90年代中期，才报道了针对直喷柴油机[13]和直喷汽油机[14]的具有真实气门运动的进气流动的开创性模拟结果。
在KIVA3[7]中，使用块状结构网格，通过间接寻址定义连通性。由于不再需要维持大量的失去作用的计算网格，使其可以高效地对复杂几何结构进行模拟。KIVA3V[8]增加了可对气缸盖上具有任意数量的垂直或倾斜气门进行模拟的功能。它将气门视为实体，通过所谓的移动技术使其在网格中移动。
虽然网格生成技术的进步使得数值模拟一个完整的内燃机进气和排气过程成为可能，但是网格生成仍然是耗时和烦琐的。福特研究实验室开发了一种先进的方法来快速生成带移动气门的发动机网格，将某新型发动机的网格生成时间从3～4周缩短到了2～3天[15]。
Senecal及其同事[16]在内燃机网格生成方面进行了突破性创新，他们创建了商业CFD软件CONVERGE并不断发布更新版本[17]。由于CONVERGE已在全球范围内获得广泛的应用，我们在此简要介绍其网格生成和数值模拟方法。
CONVERGE使用了一种改进的笛卡儿单元切割方法，该方法不再需要计算网格随目标几何体形状改变而改变，同时仍然可以正确地表示几何体。这种方法有两个显著的优点。首先，选择网格的类型是为了计算效率，而不是几何形状。因而可以使用简单的正交网格，这大大简化了程序的数值计算量。第二，网格生成时间和复杂度大大降低，因为复杂的几何体只需要映射到底层的正交网格上。用户只需提供一个包含几何体表面的文件，该表面由三角形曲面构成封闭表面。这个文件很容易从大多数CAD软件包中以STL格式输出。
CONVERGE运行时在内部生成实际网格，并使用提供的三角表面去切割与曲面相交的单元。任何单元都可以被任意数量的表面三角形切割，从而使网格能够精确地表示边界。使用简单正交网格允许选择多种网格处理选项，以提高模拟的精度和速度。网格处理选项包括细化整体网格分辨率、在模拟过程中从粗网格到细网格的网格尺寸映射、由用户在关键流动区域加密网格，以及基于预定义亚网格尺度的自适应加密网格。CONVERGE在网格生成的这些特点使其在内燃机数值模拟中具有独特的优势。
在CONVERGE中，采用有限容积法求解守恒方程。使用Rhie和Chow算法[18]将所有计算变量设置在计算单元的中心，并维持变量的同位设置，消除不需要的网格排列。动量方程通过Issa提出的PISO拆分运算式的隐式压力算法（Pressure Implicit with Splitting of Operators）[19]求解。在CONVERGE中实现的PI-SO算法首先经过一个预估过程求解动量方程。完成预估过程后，导出并求解压力方程，接下来对动量方程进行修正。这个修正和解析过程可根据需要迭代计算多次，直到达到精度要求。在完成第一次预估和修正后，依次求解其他输运方程。
CONVERGE还具有多重网格压力求解器和时间步长控制算法。它可以在共享和分布式内存计算机上并行运行。更详细的数值方法参见CONVERGE手册[17]。