3.1.2 喷雾方程
求解喷雾的基本动力学及其与气相的相互作用是一个极其复杂的问题。为了计算液相喷雾与气相之间的质量、动量和能量交换，必须考虑到喷雾液滴尺寸、速度和温度的分布。在许多内燃机喷雾中，还必须考虑液滴破裂、碰撞和聚合的情况。从理论上讲，液相也可以使用纳维-斯托克斯方程式进行详细描述。然而，由于时间尺度和长度尺度的巨大差异，其与气相流体的相互作用极为复杂。因此，有学者提出了分离的流体模型来考虑两相之间有限速率输运的影响。
通常，在分离流体模型中有三种不同的方法：离散液滴模型（Discrete Drop-let Model，DDM）、连续液滴模型（Continuous Droplet Model，CDM）以及连续方程模型（Continuous Formulation Model，CFM）。DDM被称为“拉格朗日方法”[2]。在DDM中，喷雾由有限数量的液滴组表示。使用拉格朗日公式在流场中跟踪这些液滴组的运动和输运。液相的平均数量通过统计学方法计算。通过将适当的喷雾项引入到气相的控制方程中，可以研究液相对气相的影响（参见式（3-9）～式（3-11））。DDM可以方便地构造物理模型和数值算法。因此，拉格朗日方法主导了当前两相流的CFD模拟。
CDM仅在必须考虑某些现象时才适用。否则，其计算成本将非常高。CFM将两相视为连续相，并均用欧拉公式求解。在数学上，它被称为“欧拉方法”，与“拉格朗日方法”有所区别。它将离散相（液体喷雾）视为连续流体，并引入几个连续的标量场来表示离散相。在节点上定义了与离散相有关的物理量，这些节点通常与连续相的网格一致，并且为这两相导出了平均方程。因此，使用这种方法可以在宏观水平上模拟离散相。这种方法在对复杂现象（例如液滴破裂、液滴相互作用和液滴蒸发）模拟时会非常困难，而这些现象在内燃机应用中是必不可少的。这种方法在描述湍流应力和输运时也非常困难。这些方法的详细说明可以参阅文献[3]。
由于DDM模型最常用于内燃机模拟中，因此在本书中仅对其进行讨论，并且本书中的所有计算示例均使用DDM模型。有关DDM方法的详细说明，请参见第5.2.1小节。DDM方法假定，燃油在初次破碎后，形成的液滴足够小，可以视为点源。因此，喷雾过程可以用喷雾方程式描述[4]，其中喷雾由液滴分布函数f表示，该液滴分布函数除时间以外还具有十个独立变量。它们是三个液滴位置分量x，三个速度分量
，液滴半径r，温度Td，液滴离开球形的变形y及其时间变化率
=dy/dt。无量纲量y与液滴表面偏离平衡位置的位移与液滴半径r的比值成比例（参见第5.3.1小节）。液滴分布函数为
它被定义为：
，是在位置x和时间t时、速度在
区间、半径在（r，r+dr）区间、温度在
区间、位移参数在（y，y+dy）和
区间中单位体积可能的液滴数量[5]。
f的第一个意义为液滴的数量密度
第二意义是关联液滴半径r与液体体积分数θ和液体宏观密度ρl′
式中，ρd是液体微观密度（液滴密度）。注意ρl′可以和气体密度相当或者更大。
f随时间的变化通过求解以下喷雾方程得到：
源项
和
是由于液滴碰撞和破碎而产生（参见第5.3.2节和5.3.1节）。通过求解式（3-18），式（3-9）～式（3-11）中的喷雾交换项由下式给出：
在湍流k-ε模型中（参见第4.2节和第4.3节）源项的计算式为
式中，F′=dx/dt-g；
是液滴和气体之间的相对速度；u′是气相湍流强度；Il是液滴的内能；cl是液滴的比热容。
式（3-18）描述了液滴分布函数的变化过程。但是，用于描述液滴破碎、变形、碰撞、阻力、蒸发和液滴/壁面相互作用的子模型也都需要建立，这些子模型将在之后的章节中进行介绍（请参见第5章）。
与化学反应相关联的源项也需要建立模型。这些模型将会在之后的章节中进行讨论。在给出所有子模型的基础上，加入经过适当处理的初始条件、边界条件以及流体物性后，就可以对上述方程组进行数值求解，以解析内燃机中的流体流动现象。