2.4.4 信号流图及梅逊增益公式
信号流图和动态结构图相似，都是用图示的方法表示控制系统的结构和信号传递过程，所以也是一种数学模型。当系统的动态结构图复杂，应用动态结构图的等效变换求取系统的传递函数就变得非常烦琐，而信号流图不需要作等效变换，利用梅逊增益公式就可以求得控制系统中任意两个变量之间的传递函数。
1.信号流图的组成
信号流图由节点和支路组成如图2-56所示。其中节点由小圆圈表示，代表系统变量；支路由有向线段表示，代表变量信号的传递方向；在支路线段上标有支路所连接节点之间的传递函数，称为支路增益。
图2-56 信号流图
信号流图中的节点主要有以下3种。
1）源节点：只有信号输出支路，而没有输入支路的节点，称为源节点，它一般表示系统的输入信号，所以也称为输入节点，图2-56中x1就是源节点。
2）阱节点：只有信号输入支路，而没有输出支路的节点，称为阱节点，它一般表示系统的输出信号，所以也称为输出节点。有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的，只要定义信号流图中任一变量为输出变量，如图2-56中的x5，然后从该节点变量引出一条增益为1的支路，即可形成个阱节点，如图2-56中的x6。
3）混合节点：既有信号输入支路，又有输出支路的节点，称为混合节点，图2-56中的x2、x3、x4、x5都是混合节点。
在信号流图中，还会出现以下术语。
1）通路：指从一个节点出发，沿着支路箭头的方向经过多个节点的路径。
2）前向通路：信号从输入节点向输出节点传递时，每个节点只经过一次的通路。
3）回路：通路的起点和终点都是同一个节点，且通路中每个节点只经过一次。
4）不接触回路：回路与回路之间没有公共节点，称这些回路为不接触回路。
2.信号流图的绘制
信号流图可以由微分方程组或传递函数得到，也可以通过框图进行绘制。
例2-21 试由式（2-94），绘制图2-33所示RL无源网络的信号流图。
解：RL无源网络的输入信号是Ur(s)，输出是Uy(s)，可由输入节点和输出节点表示，由式（2-94）可知除输入、输出变量以外，还有4个中间变量，也可以表示成节点，变量与变量之间的传递函数就是对应节点与节点之间的支路增益，所以图2-33所示RL无源网络的信号流图如图2-57a。
例2-22 已知图2-36所示的RC无源网络的动态结构图如图2-39所示，试绘制其信号流图。
解：在动态结构图中，只需要将变量变成节点，方框中的传递函数作为对应通路的支路增益就可得到RC无源网络的信号流图，如图2-57b所示。
图2-57 RL及RC无源网络的信号流图 a）RL无源网络 b）RC无源网络
3.梅逊增益公式
框图的化简规则对信号流图也是适用的，但是应用框图的化简方法化简信号流图，仍然显得烦琐，而应用梅逊增益公式，可以直接求出任意源节点和阱节点之间的传递函数G(s)，梅逊增益公式为
梅逊增益公式（2-114）中Δ为特征式，其计算公式为
梅逊增益公式（2-114）中Pk为第k条前向通道总增益；Δk为第k条前向通路特征式的余子式，即把与该通路相接触的回路增益置为零后，特征式Δ所余下的部分，也就是与第k条前向通路不相接触的那一部分信号流图的特征式；在特征式（2-115）中∑L1是所有单独回路的增益之和，∑L2是所有两个互不接触回路的增益乘积之和，∑L3是所有三个互不接触回路的增益乘积之和，∑Lm是所有m个互不接触回路的增益乘积之和。
例2-23 试利用梅森增益公式求图2-57b所示信号流图的传递函数Uy(s)/Ur(s)。
解：1）图2-57b所示信号流图只有一条前向通道（如图2-58a所示）。
所以 
2）信号流图中有三个单独回路（如图2-58b～2-58c所示）。
图2-58 例2-23梅逊增益公式中的前向通道及单独回路
①图2-58b所示单独回路a的增益如下
②图2-58c所示单独回路b的增益如下
③图2-58d所示单独回路c的增益如下
所以 
其中，回路a和回路b是两个互不接触的回路，所以
信号流图中没有三个互不接触的回路，所以
∑L3=0
则 
信号流图中唯一的一条前向通道和所有的回路都有接触，所以
Δ1=1
3）把以上要素代入梅逊增益公式，就可以得到传递函数
这个结果与用动态结构图化简得到的结果式（2-111）是一样，但是可以看到，应用梅逊增益公式更简捷方便。
例2-24 设控制系统的动态结构图如图2-59所示，试求该系统的传递函数Y(s)/R(s)。
图2-59 控制系统的动态结构图
解：1）由图2-59，可以得到该控制系统的信号流图如图2-60所示。
图2-60 例2-24系统的信号流图
2）系统有一条前向通道，即P1=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)。
3）信号流图有4个单独回路
La=-G2G3H3，Lb=-G1G2G3H2，Lc=G1G2G3G4H1，Ld=-G3G4H4
系统4个回路都互相有接触，且与唯一的前向通道都有接触，所以
Δ=1-∑L1=1-（La+Lb+Lc+Ld）=1+G2G3H3+G1G2G3H2+G3G4H4-G1G2G3G4H1
Δ1=1
4）由梅逊增益公式得到系统的传递函数为
例2-25 已知系统的信号流图如图2-61a所示，求其传递函数x5/x1。
图2-61 系统信号流图
解：1）从图2-61a所示系统信号流图可以看到有5个单独回路，其中，图2-61e回路和图2-61d、2-61f回路是两两不接触回路，所以有
Lde=a23a32a44，Lef=a23a35a52a44
则特征式为
2）图2-61所示系统信号流图有两条前向通道，第一条前向通道与所有回路均有接触，如图2-61g所示，可得
P1=a12a23a34a45，Δ1=1
第二条前向通道与图2-61e所示回路不接触，如图2-61h所示，得到
P2=a12a23a35，Δ2=1-a44
3）由梅逊增益公式就可以得传递函数
需要注意的是，当对框图和信号流图的转化以及梅逊增益公式的应用都较为熟练时，梅逊增益公式可直接用于系统的动态结构图，不必做出信号流图，这也是梅逊增益公式意义所在，读者可自己练习。