2.3.3 传递函数的求法

1.传递函数的建立

传递函数是通过拉普拉斯变换由微分方程模型得到的，建立传递函数的一般步骤为：

1）确定系统和各组成环节的输入、输出变量，根据遵循的工作原理，列写各环节动态微分方程（组）。

2）在零初始条件下对各微分方程进行拉普拉斯变换，得到环节在s域的拉普拉斯变换方程组。

3）消去中间变量，得到关于系统输入、输出变量之间关系的s域代数方程。

4）根据传递函数的定义，由输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换相比，就得到系统的传递函数。

如果已经建立了系统的微分方程，则可在零初始条件下对微分方程进行拉普拉斯变换，按定义得到其传递函数。

例2-6 试求例2-1中RC无源网络的传递函数U_y(s)/U_r(s)。

解：由例2-1中可知RC无源网络的微分方程为

在零初始条件下，对上述微分方程进行拉普拉斯变换，得到

(Ts+1)U_y(s)=U_r(s)

其中输入的拉普拉斯变换为U_r(s)=L[u_r(t)]，输出的拉普拉斯变换为U_y(s)=L[u_y(t)]，由传递函数的定义，就得到RC无源网络的传递函数为

例2-7 试求例2-2中弹簧-质量-阻尼系统的传递函数Y(s)/F(s)。

解：由例2-2中可知弹簧-质量-阻尼系统的微分方程为

在零初始条件下，对上述微分方程进行拉普拉斯变换，得到

（ms2+fs+k）Y(s)=F(s)

其中，输入的拉普拉斯变换为Y(s)=L[у(t)]，输出的拉普拉斯变换为F(s)=L[F(t)]，由传递函数的定义，就得到系统的传递函数为

同样可得例2-3机械转动系统的传递函数为

例2-8 试求例2-4电枢控制他励直流电动机的传递函数。

解：在例2-4中已求得电枢控制他励直流电动机简化后的微分方程式（2-13）为

式中，u_a(t)是电动机电枢电压；M_L(t)为负载干扰转矩。电动机有两个作用在不同位置上的输入量，一个是加在电枢电路输入端的电枢电压u_a(t)，另外一个是作用在电动机转轴上的负载干扰转矩M_L(t)，它们对输出转速ω(t)影响的信号通道不一样。一个传递函数只表示一个输入与一个输出的关系，需要分别求出电枢电压u_a(t)到输出转速ω(t)的传递函数和负载干扰转矩M_L(t)到输出转速ω(t)的传递函数。

首先，在零初始条件下，对上式进行拉普拉斯变换，得到以s为变量的拉普拉斯变换方程

然后，分别求取U_a(s)到Ω(s)和M_L(s)到Ω(s)的传递函数。令式（2-40）中M_L(s)=0，可得U_a(s)到Ω(s)的传递函数

令式（2-40）中U_a(s)=0，可得M_L(s)到Ω(s)的传递函数

因为dθ(t)/dt=ω(t)，可得到U_a(s)到Θ(s)、M_L(s)到Θ(s)的传递函数分别为

2.由复阻抗求电路的传递函数

无源网络和运算放大器常用作控制系统的校正装置，可以利用电路复阻抗概念，方便地求得它们的传递函数。

例2-9 求图2-10所示RC无源网络的传递函数U_y(s)/U_r(s)。

解：在电路相关知识的学习中可知，电阻R的复阻抗为R，电容C的复阻抗为1/Cs，电感L的复阻抗为Ls。对于无源网络，可以按照复阻抗的概念进行传递函数的求取。设由C₁、C₂和R₂串并联后的复阻抗为Z，Z两端的电压为U_Z(s)，则

由复阻抗分析法有

将式（2-45）代入式（2-46），有

无源网络的输出电压为

联立式（2-47）和式（2-48），RC无源网络的传递函数为

例2-10 求图2-11和图2-12所示运算放大器的传递函数U_y(s)/U_r(s)。

解：在控制系统中，经常使用由集成运算放大器组成的放大器和控制器，典型的运放电路如图2-11所示，根据电子技术知识，可知A点是虚地点（U_A(s)≈0），所以有I₁(s)=-I₂(s)，即U_r(s)/Z₁=-U_y(s)/Z₂(s)，Z₁、Z₂分别为运算放大器的输入电路复阻抗、反馈电路复阻抗，由此可得电路的传递函数

在图2-12所示的运算放大器中，由式（2-50）可得

这是一个比例放大器，常用做控制器，称为比例控制器。