2.13 习题

1.请判断下列信号是周期信号还是非周期信号，能量信号还是功率信号。

（1）s₁（t）=e^-t （2）s₂（t）=sin（5πt）+2cos（8πt）

（3）s₃（t）=sin（2πt）cos（200πt） （4）s₄（t）=5cos（2πt），t≥0

2.试求题图2-1a、b所示两种情况下单个矩形脉冲的频谱密度、能量谱密度、自相关函数及其波形、信号能量。

题图 2-1

3.已知s（t）的频谱函数如题图2-2所示，设f₀=5f_s，试画出s（t）cos（2πf₀t）的频谱函数图。

4.已知功率信号s（t）=Asin（200πt）cos（2000πt），试求该信号的平均功率、功率谱密度和自相关函数。

5.正弦波经过半波整流后的信号波形如题图2-3所示，求该信号的傅里叶级数展开式。

题图 2-2

题图 2-3

6.已知某信号的频谱函数为Sa²（πfτ），求该信号的能量。

7.已知随机变量X的概率密度函数为f（x）=Ae^-|x|，求：（1）A的值；（2）数学期望和方差。

8.试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差：

9.试求下列瑞利概率密度函数的数学期望和方差：

10.具有上题所示的瑞利概率密度函数，已知方差是7，那么均值是多少？并求随机变量大于均值，而又小于10的概率是多少？

11.设（X，Y）的二维概率密度函数为

f（x，y）=4xyexp（-x²-y²） （x≥0，y≥0）

求的概率密度函数。

12.两个高斯随机变量X和Y，设它们的均值都是0，方差都是σ²。它们的联合概率密度函数为

（1）证明上式中的ρ是X和Y之间的相关系数。

（2）证明当ρ=0时，X和Y是统计独立的。

13.设随机变量X、Y和随机变量θ之间的关系为：X=cosθ，Y=sinθ，并设θ在0～2π范围内均匀分布，试说明X和Y不是统计独立的，但却是不相关的。

14.设随机过程ξ（t）可表示成ξ（t）=2cos（2πt+θ），式中θ是一个离散随机变量，且P（θ=0）=1/2，P（θ=π/2）=1/2，试求数学期望E_ξ（1）及自相关函数R_ξ（0，1）。

15.题图2-4给出了随机过程X（t）、Y（t）的样本函数。假设样本函数出现的概率相等。

题图 2-4

（1）试求a_X（t）=E{X（t）}和R_X（t，t+τ）。过程X（t）是广义平稳的吗？

（2）试求a_Y（t）=E{Y（t）}和R_Y（t，t+τ）。过程Y（t）是广义平稳的吗？

16.已知x（t）和y（t）是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为R_x（τ）、R_y（τ）。

1）试求乘积z（t）=x（t）y（t）的自相关函数。

2）试求之和z（t）=x（t）+y（t）的自相关函数。

17.设有两个随机过程

S₁（t）=X（t）cos2πf₀t， S₂（t）=X（t）cos（2πf₀t+θ）

X（t）是广义平稳过程；θ是对X（t）独立的、均匀分布于（-π，π）上的随机变量。求S₁（t），S₂（t）的自相关函数，并说明它们的平稳性。

18.假定随机过程X（t）和Y（t）是独立并联合平稳的。试求

（1）Z（t）=X（t）+Y（t）的自相关函数。

（2）在X（t）和Y（t）不相关时，Z（t）的自相关函数。

19.考虑随机过程Z（t）=Xcos2πf₀t-Ysin2πf₀t，式中X、Y是独立的高斯随机变量，均值为0，方差是σ²。试说明Z（t）也是高斯的、均值为0、方差为σ²，自相关函数R_Z（τ）=σ²cos2πf₀τ。

20.考虑随机过程Z（t）=X（t）cos2πf₀t-Y（t）sin2πf₀t，其中X（t）和Y（t）是高斯的、零均值、独立的随机过程，且有R_X（τ）=R_Y（τ）。

（1）试证：R_Z（τ）=R_X（τ）cos2πf₀τ，区别这个问题与上题。

（2）设R_X（τ）=σ²e^-a|τ|（a>0），求功率谱P_Z（f），并作图。

21.设随机过程ξ（t）=acos（2πft+θ），式中a和f为常数，θ是在（0，2π）内均匀分布的随机变量，试证明ξ（t）是各态历经性的平稳随机过程。

22.已知s_m（t）=m（t）cos（2πf_ct+θ）是一个幅度调制信号。其中f_c为常数，m（t）为零均值平稳随机基带信号，m（t）的自相关函数和功率谱密度分别为R_m（τ）和P_m（f），相位θ为[-π，π]上均匀分布的随机变量，并且m（t）和θ相互独立。

（1）证明s_m（t）是广义平稳随机过程。

（2）求s_m（t）的功率谱密度P_s（f）。

23.一个均值为零的随机信号s（t），具有如题图2-5所示的三角形功率谱。

题图 2-5

（1）信号的平均功率S为多少？

（2）试证其自相关函数为R（τ）=S·Sa²（πBτ）。

（3）设B=1MHz，K=1（μV）²/Hz。试证信号的均方根值为S=1mV，以及相距1μs的s（t）的两个样值是不相关的。

24.在实际问题中常常遇到的一个自相关函数是R（τ）=R（0）e^-a|τ|cos2πβτ。

（1）计算功率谱P（f）。

（2）取α=1、β=0.6时，画出R（τ）/R（0）和P（f）的图形。

（3）考虑两种极限情况来验算（1）的结果：①α=0；②β=0。

25.频带有限的白噪声n（t），具有功率谱P_s（f）=10^-6V²/Hz，其频率范围为-100～100kHz。

（1）试证噪声的方均根约为0.45V。

（2）求R_n（τ），n（t）和n（t+τ）在什么间距上不相关？

（3）设n（t）是服从高斯分布的，试求在任一时刻t时，n（t）超过0.45V的概率是多少？超过0.9V呢？

26.在时间t和τ秒之后的（t+τ），对相关函数为R_n（τ）的高斯噪声n（t）进行抽样，分别称此二样值为n₁和n₂。

（1）写出联系所取二样值的二维联合概率密度函数f（n₁，n₂）的表达式（表达式中的各个矩和相关系数都应以R_n（τ）表示）。

（2）对于上题中的噪声例子，设噪声是高斯分布的，具体写出二维概率密度函数f（n₁，n₂）。取两种情况：①τ=2.5μs；②τ=5μs。每一种情况与一维概率密度函数f（n₁）、f（n₂）相比较。

27.试求白噪声（单边功率谱为N₀）通过具有高斯频率特性的谐振放大器后，输出噪声的自相关函数。该放大器的频率特性为H（f）=Kexp[-（f-f₀）²/（2β²）]，其中参数β是用来确定通带带宽的，并画出R（τ）的图形。

28.若通过题图2-6的随机过程是均值为零、双边功率谱密度为n₀/2的高斯白噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。

29.将均值为0、自相关函数为（n₀/2）δ（τ）的高斯白噪声加到一个中心角频率为f_c，带宽为B的理想带通滤波器上，如题图2-7所示。

题图 2-6

题图 2-7

（1）求出滤波器输出噪声的自相关函数及平均功率。

（2）写出输出噪声的一维概率密度函数。

30.已知噪声n（t）的自相关函数R_n（τ）=（a/2）e^-a|τ|，a为常数。

（1）求噪声的功率谱密度P_n（f）和平均功率S。

（2）绘出R_n（τ）及P_n（f）的图形。

31.某基带传输系统，信道中存在高斯白噪声n（t），其单边功率谱密度为N₀（W/Hz），接收滤波器为截止频率f_c的理想低通，求接收滤波器输出噪声X₀（t）的自相关函数R₀（τ），若以2f_c的速率对X₀（t）进行抽样，求样值的一维概率密度函数，并判断样值间是否统计独立。

32.已知一正弦波加窄带高斯过程的信号表达式为r（t）=Acos（2πf_ct+θ）+n（t），并且有n（t）=X（t）cos2πf_ct-Y（t）sin2πf_ct。

（1）求r（t）的包络平方Z²（t）的概率密度函数。

（2）证明A=0时，r（t）的包络平方的相关函数为。

提示，对零均值高斯随机变量，有下列等式：

E[x₁x₂x₃x₄]=E[x₁x₂]E[x₃x₄]+E[x₁x₃]E[x₂x₄]+E[x₁x₄]E[x₂x₃]。

33.设输入随机过程X（t）是平稳的，功率谱为P_X（f），加于题图2-8所示的系统，试证明：输出过程Y（t）的功率谱为P_Y（f）=2P_X（f）（1+cos2πfT）

题图 2-8