2.2 确知信号的频域性质_通信原理（第3版）-QQ阅读男生历史网

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2.2 确知信号的频域性质

确知信号的频域特性，由其各频率分量的分布来表示，是信号的重要性质之一，信号的带宽和抗噪声性能都与其有密切的联系。不同类型的信号，其频域特性的描述也有所不同，本节主要讨论功率信号的频谱、能量信号的频谱密度、能量信号的能量谱密度和功率信号的功率谱密度，并在此基础上给出信号带宽的定义。

2.2.1 功率信号的频谱

对于周期性的功率信号，其频谱（frequency spectrum）函数可以由傅里叶级数展开来表示。由高等数学的知识，我们知道，满足“狄里赫利（Dirichlet）条件”的任何周期函数可以展开成“正交函数线性组合”的无穷级数，即傅里叶级数（FS）。这里，正交函数集可以是三角函数集或复指数函数集。下面先给出这两种情况下的傅里叶级数表示法，再解释功率信号频谱函数的含义。

第一种情况，以三角函数作为正交函数集。此时周期为T₁、频率为f₁=1/T₁、满足狄里赫利条件的周期函数s（t）可展开成“三角形式的傅里叶级数”为

其中直流分量（对应0频率）为

n次谐波的余弦分量（对应频率nf₁）为

n次谐波的正弦分量（对应频率nf₁）为

称a_n、b_n为三角形式的“傅里叶级数系数”（Fourier series coefficients），简称“傅里叶系数”。称f₁=1/T₁为信号的“基波”或“基频”，而nf₁为信号的“n次谐波”。基波也称为“一次谐波”。如果合并同频率的正余弦项，可以得到

或

其中，φ_n和θ_n分别对应合并同频率项后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位。根据三角公式，我们可以得到这些傅里叶系数之间的关系

第二种情况，以复指数函数作为正交函数集。此时，可以像求三角形式傅里叶级数展开式那样求复指数形式的傅里叶级数展开。实际上，由于正余弦函数与复指数函数通过欧拉公式发生联系，因此也可以直接通过三角函数形式的傅里叶级数求复指数形式的傅里叶级数。

假设符合狄里赫利条件的周期函数展开的“复指数形式的傅里叶级数”为

其中，F_n由下式给出：

称式（2-24）和式（2-25）分别是复指数形式的傅里叶级数综合与分析式，其中F_n称为“复傅里叶级数系数”（complex Fourier series coefficients），简称“傅里叶系数”。当n=0时，有

是s（t）的平均值（直流分量）。

上面我们给出了周期信号傅里叶级数展开的两种形式，其中，复指数形式的傅里叶级数展开在通信系统原理中得到了更多的应用。实际中对于周期性的功率信号，其频谱函数正是由式（2-25）傅里叶级数展开的系数F_n来表示的。

一般来讲F_n是一个复数，代表信号s（t）在频率nf₁处的复振幅，我们把它记作

其中，|F_n|为信号在频率nf₁处的幅度，θ_n为信号在频率nf₁处的相位。

由式（2-27）可知，对于周期性功率信号来说，其频谱函数F_n是离散的，只在f₁的整数倍处取值。由于n可以为负值，所以在负频率上F_n也有值，因此通常称F_n为双边谱。需要指出的是，双边谱中的负频谱仅在数学上有意义，并没有实际的物理意义。分析表明，数学上频谱函数的负频率分量的模和对应的正频率分量的模相加，就等于物理上实信号频谱的模。这种物理可实现的实信号的频谱只存在直流分量和正频谱，因此常称之为单边谱。两种谱各有其适用的场合，双边谱便于数学分析，单边谱便于实验测量。

下面通过实例来说明周期功率信号频谱的分析和表示方法。

【例2-1】求图2-2所示的周期矩形脉冲信号s（t）的频谱，单个脉冲的宽度为τ，高度为A，周期为T₀。

图2-2 周期矩形脉冲

解：由图2-2可知，s（t）的波形关于纵轴对称，是实偶函数，由式（2-25）可求出：

式中，Sa（·）为抽样函数，也称Sa函数，其定义为

与Sa函数类似的还有一个“sinc函数”，其表达式为sinc（t）=sin（πt）/（πt）=Sa（πt），使用时需注意两者的差别。

由（2-28）式可以看出F_n为实函数。将F_n代入式（2-24）可得

该展开式表明周期信号可以分解成很多频率成分的正弦波^[1]可以看出，周期为T₀的信号分解后包含有直流和f₀（基波）、2f₀（2次谐波）、3f₀、…、nf₀等频率分量。这就是周期信号的频谱，并且它是离散的。将|F_n|和∠F_n对频率f作图，则该图称为信号s（t）的离散频谱图。|F_n|的图表示幅度与频率的关系，通常称为幅度谱，而∠F_n的图表示相位与频率的关系，称为相位谱。F_n与f的关系曲线即频谱图如图2-3所示（以T₀=5τ为例）。

图2-3 周期矩形脉冲频谱图

图中，频谱的包络按照Sa（πfτ）的曲线（虚线）变化，f=0时，由Sa函数定义式（2-29），并结合罗比塔法则可以求得Sa（0）=1，所以F₀=A/5，第一个零点出现在|f|=1/τ处，从f=0到第一个零点间的离散频谱为4条，分别为f₀、2f₀、3f₀、4f₀，而5f₀的频谱正好为0。

图2-4 周期矩形脉冲的幅度谱和相位谱

a）幅度谱 b）相位谱

如果只研究幅度与频率的关系，可以画出幅度谱，即|F_n|与f的关系图，此时只要把图2-3频谱图中负的变为正的即可。如果只研究相位与频率的关系，则可以用相位谱，即φ_n与f的关系图，如图2-3所示频谱图中凡是正的相位为0，凡是负的相位为π。图2-4给出了该周期矩形脉冲的幅度谱和相位谱图。由于相位频谱很少应用，因此，以后如果不作说明，频谱和频谱图都是指幅度谱。

2.2.2 能量信号的频谱密度

对于能量信号s（t），通常将它的傅里叶变换S（f）定义为其频谱密度（frequency spec-trum density），s（t）的傅里叶变换（FT）为

频谱密度函数S（f）的“傅里叶反变换”（IFT）为

式（2-31）和式（2-32）在时域信号s（t）与频率域频谱密度函数S（f）之间建立了一一对应关系，通常称s（t）与S（f）为一对“傅里叶变换对”（FT pair），并简记为

FT和IFT的定义表明FT与IFT具有唯一性。即如果两个函数的FT或IFT相等，那么这两个函数必然相等。换言之，如果Γ[s（t）]=S（f），则必然有Γ^-1[S（f）]=s（t）；反之亦然。

由于信号的傅里叶变换S（f）一般为复值函数，故可以写成

其中，|S（f）|称为信号的“幅度频谱密度函数”，简称“幅度谱（函数）”，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性；而φ（f）=∠S（f）为信号的“相位频谱密度函数”，简称“相位谱（函数）”，表示信号的相位随频率变化的相频特性。通常情况下，可把信号的幅度谱|S（f）|与相位谱φ（f）单独画出。

能量信号的频谱密度S（f）和周期功率信号的频谱F_n的主要区别在于前者是连续谱，后者为离散谱。能量信号的能量有限，且分布在连续的频率轴上，所以每个频率点上信号的幅度为无穷小，只有在某段频率间隔Δf上才有确定的非零幅度。功率信号的功率有限，但能量无限，所以它在无限多的离散频率点上有确定的非零幅度。需要说明的是，在讨论能量信号时，通常也把频谱密度称为频谱，这时需要注意它们在概念上的细微区别。

如果能量信号s（t）为实信号，则

可以看出，其频谱密度的正频率部分和负频率部分成复数共轭关系，对于实功率信号，其频谱也具有类似的特性。

【例2-2】试求单位矩形脉冲信号（unit rectangle impulse signal）的频谱密度。

解：宽度为τ、中心位于原点的“单位矩形脉冲信号”通常用D_τ（t）表示，其表达式为

单位矩形脉冲信号也称门函数，如图2-5a所示。

其频谱密度就是D_τ（t）的傅里叶变换，即

对应的频谱函数波形如图2-5b所示。

图2-5 单位矩形脉冲信号及其频谱函数

【例2-3】试求单位冲激信号（unit impulse signal）的频谱密度。

解：先解释一下冲激信号的概念，冲激信号有一个总的“冲激强度”（area of impulse）（对单位冲激信号而言为1），它在整个时间域上的积分是该强度值；同时该信号除了冲激点之外其他的函数取值均为零。据此可以给出单位冲激信号的“狄拉克（Dirac）定义法”，即

满足式（2-38）的信号δ（t）就称为“单位冲激信号”（unit impulse sigal），或“δ函数”“δ信号”。单位冲激信号δ（t）可以看作是一个高度无穷大、宽度无穷小、面积为1的脉冲，显然这是一种理想信号，实际中并不存在。单位冲激函数具有如下性质：

（1）δ（t）为偶函数，即δ（t）=δ（-t）

（2）尺度变换性，即δ（at）=δ（t）/a，a≠0

（3）抽样特性，即，这表明式中的积分可以看作是在t=t₀时刻对s（t）的抽样，δ函数的这个特性非常有用。

下面求单位冲激信号的频谱密度，即δ（t）的傅里叶变换

这里就用到了δ函数的抽样特性。式（2-39）表明δ（t）的频谱密度等于常数1，即它的各频率分量连续均匀地分布在整个频率轴。图2-6给出了δ（t）的波形和频谱密度曲线。

图2-6 单位冲激函数的波形和频谱密度

a）δ（t）波形 b）δ（t）频谱密度

反过来，我们也可以求频域为冲激函数δ（f）时对应的时域信号s（t），即

由此得

这说明，幅度恒为1（或A）的直流信号，对应的频谱密度为频域单位（或强度为A）的冲激函数。

需要特别指出的是，有时也可以将功率信号当作能量信号看待，以计算其频谱密度。从概念上讲，功率信号的频谱中，其各个谐波频率上都具有一定的非零功率，在这些频率上的功率密度应该为无穷大。此时，我们可以采用式（2-38）定义的δ函数来描述其频谱密度。

周期功率信号s（t）可以展开为傅里叶级数，由式（2-41）结合傅里叶变换的叠加及频移特性（见表2-2），可得

式（2-42）就是周期功率信号s（t）的频谱密度。

下面结合几个实例来说明周期功率信号的频谱密度表示方法。

（1）余弦信号s（t）=cos（2πf₀t）

由欧拉公式可得

（2）周期为T₀的周期冲激函数

由（2-25）可得，，所以

（3）周期为T₀，宽度为τ，高度为A的矩形脉冲信号s（t），结合式（2-30）给出的傅里叶级数展开式可得

上面的分析和实例表明，引入单位冲激函数δ（t）后，我们可以把频谱密度的概念推广到功率信号上。我们已经知道，要求信号的频谱密度，只需计算其傅里叶变换即可。表2-1和表2-2分别列出了常用信号的傅里叶变换以及傅里叶变换的主要性质，供以后使用时参考。

表2-1 典型非周期信号的傅里叶变换

（续）

表2-2 傅里叶变换性质

（续）

2.2.3 能量信号的能量谱密度

对于能量信号s（t），由式（2-2）可知，其能量可表示为E，若其傅里叶变换（频谱密度）为S（f），则由能量信号的帕塞瓦尔（Parseval）定理（证明见附录A）可知：

式（2-46）将信号能量与信号的频谱密度联系起来了，这样就有时域和频域两种计算能量的方法，实际中可以灵活选用。由式（2-46）也可以看出能量信号的总能量等于各个频率分量单独贡献出来的能量的积分，不同频率间的乘积对信号的能量没有任何影响。具体来讲，就是|S（f）|²在频率轴f上的积分也可以用来表示信号的能量。

如果定义：

则可以称G（f）为信号的能量谱密度（energy spectrum density），其单位为J/Hz，它表示频率f处宽度为df的频带内的信号能量，也可以看作是单位频带内的信号能量。此时，式（2-46）可以写为

对于实信号s（t），由于|S（f）|²=|S（-f）|²，因此G（f）是实偶函数，故能量计算公式可简化为

【例2-4】试求宽度为τ，高度为A的单个矩形脉冲的能量谱密度。

解：由表2-1典型非周期信号的傅里叶变换可知，该矩形脉冲的频谱密度为

S（f）=τSa（πfτ）

由式（2-47）可得，其能量谱密度为

G（f）=|S（f）|²=τSa|（πfτ）|²=τ²|Sa（πfτ）|²

图2-7给出了对应的能量谱密度示意图。

图2-7 单个矩形脉冲信号的能量谱密度示意图

2.2.4 功率信号的功率谱密度

对于功率信号s（t），其能量为无穷大，因此不能计算其能量谱密度。但由于其功率有限，我们可以求出其功率谱密度。为此，我们先将s（t）截短为持续时间为T的截短信号s_T（t），其中-T/2<t<T/2，这样我们就得到了一个能量信号s_T（t），此时就可以用傅里叶变换求出其能量谱密度|S_T（f）|²以及能量E_T，其平均功率可表示为E_T/T，然后令T→∞取极限即可得出原功率信号的平均功率，即

式（2-51）中的被积函数就定义为信号的功率谱密度（power spectrum density），通常记作P（f），其单位为W/Hz，即

如果该功率信号具有周期性，则可将T取为信号的周期T₀，由周期信号帕塞瓦尔定理（证明见附录A）可知：

其中，F_n为周期信号s（t）的傅里叶级数的系数。如果f₀=1/T₀为此信号的基波频率，则F_n为其第n次谐波（频率为nf₀）的幅度，|F_n|²为第n次谐波的功率，也可以称之为此信号的离散功率谱。

下面我们进一步分析该信号的功率谱密度。由式（2-51）和式（2-52）可知，信号功率也可表示为，所以

再利用冲激函数的特性可知，因此

结合式（2-54）可得

可以看出，周期信号的功率谱密度是离散的，而且都是冲激函数。对于F_n不为零的nf₀频率成分，具有一定的功率，这一点与非周期功率信号不同。

【例2-5】试求例2-1中周期矩形脉冲信号s（t）的功率谱密度。

解：该周期矩形脉冲信号s（t）的频谱已由式（2-28）给出，即

由式（2-56）可得

图2-8给出了对应的功率谱密度示意图，其中T₀=5τ。

图2-8 周期矩形脉冲信号的功率谱密度示意图

2.2.5 信号带宽的定义

研究G（f）和P（f）的目的之一是为了研究信号能量（或功率）在频域内的分布规律，以便合理地选择信号的通频带，对传输电路提出恰当的频带要求，尽量做到在信号不失真或失真不大的条件下提高信噪功率比。

带宽这个名称在通信系统中经常出现，而且常常代表不同的含义，因此在这里先对带宽这个名称做一些说明：从通信系统中信号传输过程来看，通常有两种不同含义的带宽，一种是信号的带宽（或者是噪声的带宽），这是由信号（或噪声）能量谱密度G（f）或功率谱密度P（f）在频域上的分布规律确定的，也就是本节要定义的带宽；另一种是信道的带宽，这是由传输电路的传输特性决定的。信号带宽和信道带宽的符号用B或W表示，单位为Hz。

从理论上讲，除了极个别信号外，信号的频谱分布都是无穷宽的。如例2-4中得出了单个矩形脉冲的能量谱密度G（f）=τSa（πfτ）²，由图2-7给出的波形可知，其频谱是很宽的，一直延伸到无穷。如果把凡是有信号频谱的范围都算带宽，那么很多信号的带宽变为无穷大了，显然这样定义带宽是不恰当的，一般信号虽然频谱很宽，但绝大部分实用信号的主要能量（或功率）都是集中在某一个不太宽的频率范围以内的，因此通常根据信号能量（或功率）集中的情况，恰当地定义信号的带宽。常用的定义有以下4种。

1.第一零点带宽

在数字通信中，如果信号的能量（功率）谱有明显的主瓣，一种最常用的定义就是以主瓣宽度（由第一零点位置决定）作为信号带宽，简称第一零点带宽。在该段频谱中通常包含了信号90%以上的能量或功率。如例2-4中宽度为τ的单位的矩形脉冲，其能量谱密度为图2-7所示，它的第一个零点为1/τ，所以通常以1/τ作为其带宽。需要注意的是，这种定义不能用于没有明显主瓣的信号。

2.3dB带宽

对于具有明显的单峰形状能量谱（或功率谱）密度，且其峰值位于f=0处的信号，其带宽B可定义为正频率轴上G（f）或P（f）下降到3dB（即下降到峰值的一半）时对应的频率间隔，习惯上称为“3dB带宽”，有时也称其为半功率带宽。如图2-9所示的能量谱/功率谱曲线中，由G（f₁）=G（0）/2或P（f₁）=P（0）/2，可得3dB带宽B=f₁Hz。