3.3　点积：测量向量对齐

我们已经见过的一种向量乘法是标量乘法，将一个标量（实数）和一个向量结合起来，得到一个新的向量。不过还没有讨论过任何将向量相乘的方法。实际上，有两种重要的方法可以做到这一点，二者都提供了重要的几何学见解。一种叫作点积，使用点运算符书写（例如，）；另一种叫作向量积（例如，）。对于数来说，这些符号的意思是一样的，如3·4 = 3 × 4。对于两个向量来说，运算和不仅仅有不同的符号，而且代表的意义完全不同。

点积取两个向量并返回一个标量（数），而向量积取两个向量并返回另一个向量。然而，使用这两种运算都可以推断出三维空间中向量的长度和方向。我们首先从点积开始介绍。

3.3.1　绘制点积

点积（也叫内积）是对两个向量的运算，返回一个标量。换句话说，给定两个向量和，那么的结果是实数。点积适用于二维、三维等任意维度的向量。它可以被看作测量输入向量对的“对齐程度”。首先来看看平面上的一些向量，以及它们的点积，以便对这个运算有一些直观的认识。

向量和的长度分别为4和5，而且方向几乎相同。它们的点积为正，意味着它们是对齐的（见图3-24）。

图3-24　大致对齐的两个向量给出一个大的正点积

指向相似方向的两个向量的点积为正，并且向量越大，乘积就越大。对于同样对齐的较短向量，点积较小但仍然是正的。新向量和的长度都是2（见图3-25）。

图3-25　指向相似方向的两个较短向量，点积较小但仍为正

相反，如果两个向量指向相反或大致相反的方向，则其点积为负（见图3-26和图3-27）。向量越长，则点积的负值越小。

图3-26　指向相反方向的向量点积为负

图3-27　指向相反方向的较短向量，点积较大但仍为负数

并非所有的向量对都明确地指向相似或相反的方向，点积可以检测这一点。如图3-28所示，如果两个向量的方向完全垂直，那么无论它们的长度如何，点积都是零。

图3-28　垂直向量的点积总是为零

这就是点积最重要的应用之一：在不做任何三角运算的情况下，计算两个向量是否垂直。这种垂直的情况也可以用来区分其他情况：如果两个向量的夹角小于90°，则向量的点积为正；如果夹角大于90°，则向量的点积为负。虽然还没有讲到计算点积的方法，但你现在知道如何解释这个值了。接下来介绍如何计算它。

3.3.2　计算点积

给定两个向量的坐标，有一个计算点积的简单公式：将相应的坐标相乘，然后将乘积相加。例如，在点积 (1, 2, -1)·(3, 0, 3) 中，坐标的乘积为3，坐标的乘积为0，坐标的乘积为-3，因为相加为 3 + 0 + (-3) = 0，所以点积为零。如果我说得没错，这两个向量应该是垂直的。如果绘制它们并从正确的角度去看，就能证明这一点（见图3-29）。

图3-29　点积为零的两个向量在三维空间中确实是垂直的

在三维空间中，我们的视角可能有误导性，这使得计算出向量的相对方向比目测更有价值。再看一个示例，图3-30显示了二维向量(2, 3)和(4, 5)在平面上具有相似的方向。坐标的乘积是2·4 = 8，而坐标的乘积是3·5 = 15。8 + 15 = 23就是点积的结果。这个结果是一个正数，证实了向量的夹角小于90°。它们在三维空间中可以表示为恰好位于平面内的向量(2, 3, 0)和(4, 5, 0)。但是无论在二维平面还是三维空间中，它们的相对几何性质是不变的。

图3-30　计算点积的另一个示例

在Python中，可以实现一个点积函数来处理任意一对（只要它们的坐标数目相同即可）输入向量。例如：

def dot(u,v):
    return sum([coord1 * coord2 for coord1,coord2 in zip(u,v)])

这段代码使用Python的zip函数对相应的坐标进行配对，然后在推导式中将每对坐标相乘，并添加到结果列表中。下面就借助它，进一步探索点积的行为。

3.3.3　点积的示例

位于不同轴上的两个向量的点积为零并不奇怪。这说明它们是垂直的。

>>> dot((1,0),(0,2))
0
>>> dot((0,3,0),(0,0,-5))
0

我们还可以证实，向量越长，其点积的绝对值越大。例如，将任意一个输入向量乘以2，点积的输出就会翻倍。

>>> dot((3,4),(2,3))
18
>>> dot(scale(2,(3,4)),(2,3))
36
>>> dot((3,4),scale(2,(2,3)))
36

这说明，点积的绝对值与其输入向量的长度成正比。如果取同方向两个向量的点积，那么点积就等于两个向量长度的乘积。例如，(4, 3)的长度为5，(8, 6)的长度为10，所以二者的点积等于5·10。

>>> dot((4,3),(8,6))
50

当然，点积并不总是等于其输入向量长度的乘积。如图3-31所示，向量(5, 0)、(-3, 4)、(0, -5)和(-4, -3)的长度都是5，但它们与原始向量(4, 3)的点积是不同的。

图3-31　由于方向不同，相同长度的向量与向量 (4, 3)有不同的点积

两个长度为5的向量的点积范围是-25～25：当它们指向相反方向时，点积为-25；当它们对齐时，点积为5·5 = 25。在3.3.5节的练习中你会发现，两个向量的点积范围是长度乘积到长度乘积的负值。

3.3.4　用点积测量角度

我们已经知道，点积是根据两个向量的夹角而变化的。具体来说，当夹角角度为0到180°时，点积的取值范围是和长度乘积的1到-1倍。我们已经见过具有这样特征的函数，即余弦函数。其实点积还有另一个公式。如果和分别表示向量和的长度，那么点积的计算公式为：

是向量和之间的角度。原则上，这提供了一种计算点积的新方法。通过测量两个向量的长度和它们之间的角度，就可以得到点积的结果。如图3-32所示，假设已知有两个长度分别为3和2的向量，并使用量角器测量出它们的夹角是75°。

图3-32　长度分别为3和2的两个向量，夹角为75°

图3-32中两个向量的点积为。通过适当的弧度转换，我们可以使用Python计算出这个值约为1.55。

>>> from math import cos,pi
>>> 3 * 2 * cos(75 * pi / 180)
1.5529142706151244

在使用向量进行计算时，更常见的是基于坐标来计算角度。我们可以结合这两个公式来算出一个角：首先使用坐标计算向量的点积和长度，然后求解角度。

让我们找出向量(3, 4)和(4, 3)之间的角度。它们的点积是24，向量长度都是5。从新的点积公式可以得出：

可以将简化成。使用Python的math.acos库，可以得到值约为0.284弧度或16.3°，其余弦值为24/25。

这个练习提醒了我们，为什么在二维平面上不需要点积。第2章展示了如何得到向量与轴正方向之间的角度。创造性地使用那个公式，可以在平面上找到我们想要的任意角度。点积在三维空间中才真正开始发挥作用，因为三维空间中的坐标变换对测量角度的帮助并不大。

例如，我们可以用同样的公式来求(1, 2, 2)和(2, 2, 1)之间的角度。它们的点积是1·2 + 2·2 + 2·1 = 8，向量长度都是3。这意味着，所以，约为0.476弧度或27.3°。

这个过程在二维平面或三维空间中是一样的，将被反复使用。通过实现Python函数来求两个向量之间的角度可以节省一些精力。因为dot函数和length函数中都没有硬编码维数，所以这个新函数也不会。利用这个公式可得：

以及

第二个公式可以被直接翻译成如下Python代码。

def angle_between(v1,v2):
    return acos(
                dot(v1,v2) /
                (length(v1) * length(v2))
            )

这段Python代码没有依赖向量和的维数。它们既可以是包含2个坐标的元组，也可以是包含3个坐标的元组（实际上，还可以是包含4个或更多坐标的元组，我们将在后面的章节中讨论）。相比之下，接下来要说的向量积（外积、叉积）只在三维空间中有效。

3.3.5　练习

练习3.11：根据图3-33，将、和从大到小排列。

图　3-33

解：乘积是唯一正的点积，因为和是唯一一对夹角小于直角的向量对。此外，比更小（更负），因为既大又离更远，所以。

 

练习3.12：(-1, -1, 1)和(1, 2, 1) 的点积是多少？这两个三维向量的夹角是大于90°、小于 90°，还是正好等于90°？

解：(-1, -1, 1)和(1, 2, 1)的点积为-1·1 + -1·2 + 1·1 = -2。因为结果是负数，所以两个向量之间的角度超过90°。

 

练习3.13（小项目）：对于两个三维向量和，和的值都等于。在这种情况下，，而和都是36，是原结果的2倍。请证明这个规则对于任意实数都适用，而不仅仅是2。换句话说，请证明对于任意，和的值都等于。

解：设和的坐标为和，那么。因为，，我们可以通过展开点积来计算。

上式证明了标量乘法会对点积的结果进行相应的缩放处理。

另一个点积同理，以下公式证明了同样的事实。

 

练习3.14（小项目）：用代数证明向量与其自身的点积是其长度的平方。

解：如果一个向量的坐标是，那么它与自身的点积是，确实是其长度的平方。

 

练习3.15（小项目）：找出长度为3的向量和长度为7的向量，使。再找出一对向量和，使。最后，再找出三对长度分别为3和7的向量，并证明它们的长度都在-21和21之间。

解：两个方向相同的向量（例如，沿轴正方向）具有最高的点积。

>>> dot((3,0),(7,0))
21

两个方向相反的向量（例如，分别沿轴正负方向）具有最低的点积。

>>> dot((0,3),(0,-7))
-21

利用极坐标，可以很容易地再生成一些长度为3和7的任意角度的向量。

from vectors import to_cartesian
from random import random
from math import pi

def random_vector_of_length(l):
    return to_cartesian((l, 2 *pi*random()))

pairs = [(random_vector_of_length(3), random_vector_of_length(7))
            for i in range(0,3)]
for u,v in pairs:
    print("u = %s, v  = %s" % (u,v))
    print("length of u: %f, length of v: %f, dot product :%f" %
                (length(u), length(v), dot(u,v)))

 

练习3.16：设和是向量，其中，。如果和的夹角是101.3°，那么是什么？

(a) 5.198

(b) 5.098

(c) -1.019

(d) 1.019

解：同样可以将这些值代入新的点积公式，并通过适当的弧度转换，使用Python计算结果。

>>> 3.61 * 1.44 * cos(101.3 * pi / 180)
-1.0186064362303022

四舍五入到小数点后三位，答案与(c)一致。

 

练习3.17（小项目）：通过把(3, 4)和(4, 3)转换为极坐标并取角的差值，来求出它们之间的角度。答案是以下哪一个？

(a) 1.569

(b) 0.927

(c) 0.643

(d) 0.284

提示：结果应与点积公式求得的值一致。

解：因为从轴正半轴开始沿逆时针方向看，向量(3, 4)比(4, 3)距离更远，所以用(3, 4)的角度减去(4, 3)的角度就能得到答案。结果与答案(d)完全吻合。

>>> from vectors import to_polar
>>> r1,t1 = to_polar((4,3))
>>> r2,t2 = to_polar((3,4))
>>> t1-t2
-0.2837941092083278
>>> t2-t1
0.2837941092083278

 

练习3.18：(1, 1, 1)与(-1, -1, 1)之间的角是多少度？

(a) 180°

(b) 120°

(c) 109.5°

(d) 90°

解：两个向量的长度都是，约等于1.732。它们的点积是1·(-1) + 1·(-1) + 1·= -1，即。所以，。由此可求得这个角约为1.911弧度或109.5°（答案是(c)）。