2.6 系统性能指标

在无线通信系统中，理论分析系统性能的结果可为工业界系统的设计和产品的研发提供一定的理论支持和指导。一般理论评价系统性能的指标主要是频谱利用率、中断概率（OP）、遍历和速率（Ergodic Sum Rate，ESR）、吞吐量、误码率等[20]。主要研究NOMA DH AF协作中继系统的OP、ESR和吞吐量。

2.6.1 平均信息噪声比

SNR是用于表征无线通信系统性能最常用、最便于理解和分析的性能评价指标。通常情况下，SNR定义为接收端输出信息功率与噪声功率之比。在传统的SNR中，噪声是指始终存在的热噪声。在无线通信衰落环境中，瞬时SNR很难获得，通常使用平均SNR作为性能评价指标，其中 “平均” 是针对衰落变量概率分布的统计平均。从数学上来讲，假设γ表示接收端输出瞬时SNR（随机变量），则平均SNR可表示为

式中，p_γ（γ）为γ的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）。为了分析方便，有时将式（2-28）表示为矩量母函数（Moment Generating Function，MGF）形式

对式（2. 20）求关于s的一阶导数，并令s=0可得到式（2-30）的结果

换而言之，如果能够获得瞬时SNR的MGF（或许有闭式表达式），可以通过对MGF求关于s的微分来得到平均SNR。

在无线通信系统中，针对多信道系统，经常需要分析系统输出SNR的分集增益，常用的接收算法为最大比合并（Maximal-Ratio Combining，MRC），则利用MRC后系统输出的SNR可表示为

式中，L为接收合并的信道数目。此外，在实际系统中，经常假设多个信道之间是相互独立的，即为相互独立的随机变量。在这种情况下，系统SNR的MGF M_γ（s）能够表示为每个信道的MGF的乘积

对于大多数衰落信道统计模型，系统MGF通常能够计算出闭式表达式。

相比之下，即使假设信道相互独立，系统SNR的PDF需要各个信道PDF的卷积，求出上述PDF的闭式表达式也面临巨大挑战。即使每个信道的PDF具有相同的函数形式，系统SNR的评估也面临巨大的挑战，而MGF方法能够避开上述问题。

2.6.2 信道容量

ESR也是分析无线通信系统在衰落信道下性能的一个重要度量指标。在无线通信系统中，ESR是指在差错概率趋于无限小的条件下，系统在衰落信道条件下所能达到的最大数据速率。在NOMA AF中继系统中，ESR是指所有用户的遍历速率（Ergodic Rate，ER）的总和。点对点ER的数学表达式为：

式中，E[·]表示期望；表示信道增益|h|2的PDF。

2.6.3 中断概率

当考虑非各态历经（遍历）信道时，中断概率（Outage Probability，OP）性能更适合于表征系统瞬时衰落性能。一般而言，中断概率定义为系统输出瞬时SNR低于固定阈值γ_th的概率

从数学上来讲，式（2-34）可以重新表述为积分形式

式中，F_γ（γ_th）为γ=γ_th时的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）。由于PDF和CDF间的关系式为p_γ（γ）=dF_γ（γ）/dγ，另外F_γ（0）=0，则两个函数的拉普拉斯变换关系式可表示为

由于MGF正是PDF的拉普拉斯负变换，即

因此，系统中断概率能够表示为M_γ（-s）/s的拉普拉斯变换

式中，σ为复平面s中积分收敛区域。逆拉普拉斯评价方法已经受到广泛关注。

2.6.4 衰落量

平均SNR、中断概率以及平均误符号率是用于评价通信系统衰落性能的重要指标，其中平均SNR由于只涉及瞬时SNR的一阶矩阵具有计算简洁的优势。然而，在分集合并的情况下，上述性能评价指标不能够获得所有分集增益。如果分集优势仅仅限于平均SNR，则可以简单地通过增加发射功率获得。重要的是分集系统的幅度用于减少由衰落引起的波动，而减少信号包络相对方差不能够仅仅通过增加发射功率获得。为了获得上述对系统性能的影响，提出衰落量（Amout of Fading，AF）的概念，AF用于测量通信系统的衰落程度，其定义为输出端瞬时SNR的方差与平均SNR的平方之比。

上述公式可以表示为MGF形式

由于式（2-39）中定义的AF在合并器的输出端计算，因此AF反映特殊合并技术的分集行为以及衰落信道的统计特征。

2.6.5 平均中断周期

在一些通信方案中（自适应发送方案），上述性能评价指标不能够为系统设计和部署提供足够信息。在这种情况下，中断频率和平均中断周期被广泛用于表征发送符号率、交织深度、包长度以及时隙周期等。

正如上述所讨论，在噪声受限系统中，中断概率定义为输出SNR小于某一特定阈值的概率。平均中断周期（又称为平均衰落）是用于测量平均多久系统处于中断状态。根据定义，平均中断周期的数学表达式为

式中，P_out为式（2-15）中定义的中断概率，N（γ_th）是中断频率或等价于输出SNR在阈值γ_th处的平均通过率，其数学表达式能够通过著名的Rice公式获得

式中，为γ与其时间导数的联合PDF。

2.6.6 平均误符号率

误符号率（Symbol Error Probability，SEP）是所有性能评价指标中最复杂的一个，其原因在于条件SEP是瞬时SNR非线性函数，也是调制/检测算法的非线性函数。例如，在多信道条件下，平均SEP不像平均SNR针对每个信道性能进行简单的平均。此种情况下，MGF方法可以有效地简化多信道条件下平均SEP的分析。

评价通信系统SEP性能，其通用表达式涉及高斯Q函数。在慢衰落条件下，瞬时SNR是一个时不变随机变量，则SEP的PDF可表示为

式中，α是个与调制/检测相关的常量，例如α=2sin（π/M）表示M-PSK调制[4]；Q（·）为Q函数，可以表示为以下两种形式：

通常情况下，利用式（2-44）计算式（2-43）的结果是非常困难的，其原因在于高斯Q函数的积分下限存在。利用式（2-45）的Q函数表达式，则式（2-43）的SEP可以进一步表示为以下双重积分形式

式（2-46）的内部积分可以看作关于γ的拉普拉斯变换。MGF可以看作关于瞬时SNR的PDF p_γ（γ）拉普拉斯负变换。因此，式（2-46）可以表示为如下形式

此外，平均SEP也可以表示为如下通用形式[8]

式中，Q（·）为式（2-48）所定义的Q函数；α和β为调制常量，例如，当α=1和β=1时，表示使用BPSK调制，当α=2和β=sin2（π/M）时，表示使用M-ary PSK调制。利用Q函数与补误差函数和梅杰-G函数的关系[9，10]

结合式（2-49）、式（2-50）和各种衰落信道的PDF，式（2-48）的平均SEP可以进一步简化得到闭式表达式。

2.6.7 吞吐量

与OP一样，系统的吞吐量也是一个非常重要的评估标准。吞吐量是指单位时间内成功传送的数据数量，测量时一般以比特、字节、分组等为单位。吞吐量是衡量一个系统在特定压力下的稳定性，当有突发数据需要传输时，不会出现系统崩溃的现象。一般情况下，吞吐量越高，系统的性能就会越好，用户的服务质量随之也会越好。在无线协作中继系统中，吞吐量较好的系统能在单位时间内传递更多的数据，减少数据的丢失，并可避免额外的能源消耗。基于理论分析的吞吐量的数据结果，可以估计出实际设计的系统是否达到了预期的目标。

目前，主要分析D_f和D_n的系统性能，根据D_f和D_n的OP确切闭式表达式和，定义系统吞吐量为

其中，和分别表示D_f和D_n的速率阈值。