1.3 无网格方法
无网格方法产生于四十多年以前,当时发展很慢,直到近几年,由于无网格方法的近似函数不依赖于网格,在分析涉及大变形的问题中被认为优于传统的基于网格的有限差分法和有限元法,才受到了众多研究者的高度重视,成为国际计算仿真界的研究热点之一,并得到了迅速的发展[2]。
无网格方法的主要思想是:通过使用一系列任意分布的节点(或粒子)来求解具有各种边界条件的积分方程或偏微分方程组,从而得到精确稳定的数值解,这些节点或粒子之间不需要通过网格进行连接。由于无网格法采用基于点的近似,可以彻底或部分地消除网格,不需要网格的初始划分和重构,因此不仅可以保证计算的精度,而且可以减小计算的难度。经过几十年的研究,目前已发展了十余种无网格方法。
最早提出的无网格方法是光滑粒子动力学方法(smoothed particle hydrodynamics,SPH),它是由Lucy、Gingold和Monaghan在1977年分别提出的,并且在天体物理领域得到成功的应用[3,4]。但是由于精度和稳定性问题,该方法最初并未得到广泛的应用。20世纪80年代,Monaghan等人在该方法的研究与应用中作出突出贡献[5,6],将光滑粒子动力学方法应用到连续固体力学和流体力学中,他们将SPH方法解释为核函数法,模拟了流场中的激波强间断现象。20世纪90年代,Swegle、Dyka和Chen等人提出了SPH方法不稳定的原因及稳定化方法[7⁃9],Johnson和Beissel等人也提出了一些用来改善应变计算的方法[10]。随着研究的深入,SPH方法被应用于水下爆炸数值仿真[11]、高速碰撞中材料动态响应数值仿真等领域[12⁃14]。近二十年来,我国的学者也开始关注SPH计算方法,中科院的张锁春对SPH方法进行了综述[15],国防科技大学的邓方刚研究了SPH在柱坐标系下的应用[16]。国防科技大学的贝新源、岳宗五等将SPH方法用于高速碰撞问题的研究[17]。
1980年,Liszka和Orkisz提出一种广义的有限差分法,这种方法可以处理任意不规则的网格[18]。1996年,Onate等利用移动最小二乘法来构造近似函数,并采用配点格式进行离散,提出了有限点法(the finite point method,FPM)[19⁃21],该方法不需要背景网格,主要应用于流体动力学领域。
1992年,Nayroles等人首次在伽辽金方法中引入了移动最小二乘法,得出具有C1连续性的近似解,形成了一种全新的方法——离散元法(diffuse element method,DEM)[22],并用此方法分析了Possion方程和弹性问题。
1994年,美国西北大学的Belytschko等人对离散元方法进行了两点改进,在计算形函数导数时保留了被Nayroles忽略掉的所有项,并利用拉格朗日乘子法引入本质边界条件,提出了无单元伽辽金法(the element⁃free galerkin method,EFG)[23],并给出了误差估计[24]。EFG方法比SPH方法计算费用高,但具有较好的协调性及稳定性。EFG方法是目前广泛使用的无网格方法之一,通过使用背景网格,应用于许多固体力学问题中[25⁃27]。Belytschko和Tabbara等人将EFG方法用于动态裂纹扩展的数值模拟[28⁃32],克服了有限元方法在模拟裂纹扩展时需不断进行网格重新划分的缺点,在计算中可以连续地进行模拟。Belytschko、Organ和Hegen等人对EFG方法和有限元方法的耦合使用进行了研究,并将其用于边界条件的处理[33⁃35]。另外,Belytschko和Krysl等人还将EFG用于三维撞击和流体晃动分析[36]。
Atluri和Zhu提出了无网格局部Petrov⁃Galerkin(MLPG)法,这种方法需要使用局部背景网格进行积分[37]。由于MLPG方法不需要使用全局背景网格进行积分,所以被广泛地应用于梁结构和板结构的分析[38⁃40]、流体流动问题[41,42]和其他力学问题中。
美国西北大学的W.K.Liu和其合作伙伴通过研究SPH方法的一致性条件和再生性条件,根据函数积分变换的思想,提出了再生核粒子法(RKPM),这种方法提高了SPH近似的精度,特别是在边界附近的精度[43⁃45],结合小波理论,构造了多尺度再生核粒子法(MRKPM)[46⁃49]。MRKPM利用小波函数的多尺度分析思想,构造了一系列可同时伸缩和平移的窗函数,实现了RKPM的自适应分析,可对局部进行细致的数值分析。使用RKPM方法,W.K.Liu对大量流体力学问题进行了数值分析[50⁃52]。
G.R.Liu和其同事在一系列的文章中发展了点插值法(PIM)及其一些派生方法[53,54]。最近,在结合弱⁃强形式的基础上又提出了一种无网格弱⁃强形式方程(MWS)[55,56]。
Duarte和Oden利用移动最小二乘法建立了单位分解函数,在此基础上构造权函数和试函数,再通过Galerkin法建立离散格式,提出了Hp云团(clouds)法[57]。
Ohs用重构核函数近似和配点法,提出了无网格配点法(meshless point collocation method,PCM)[58],并用于分析压电元件。
2001年,张雄等人基于最小二乘法提出了最小二乘配点无网格法[59]和加权最小二乘无网格法[60]。该类方法的计算精度远高于配点法,而计算量小于Galerkin法,兼有Galerkin法和配点法的优点。
目前已提出了十余种无网格方法,它们之间的区别主要在于所使用的试探函数(如移动最小二乘近似、重构核函数近似、单位分解法、径向基函数、点插值法等)和微分方程的等效形式(如伽辽金法、配点法、最小二乘法、Petrov⁃Galerkin法等)不同。例如EFG和RKPM都采用了伽辽金法,但EFG用移动最小二乘法建立试探函数,而RKPM用重构核近似建立试探函数。
所有这些无网格法都有其优缺点,有些方法还不是很成熟,需要进一步的研究,一些典型的无网格方法如表1⁃1所示。
表1⁃1 按提出年代先后顺序排列的一些典型无网格方法
无网格粒子法通过使用一系列有限数量的离散点来描述系统的状态和记录系统的运动。每个粒子拥有一系列场变量,如质量、动量、能量和位置等。粒子近似是通过使用对粒子有影响的所有相邻粒子的信息对粒子处的值来进行的,粒子影响的区域由影响域或支持域来决定。一些典型的粒子法或类似粒子法的方法如表1⁃2所示。
表1⁃2 一些典型的无网格粒子法
