3.10　稳健自适应波束形成

自适应波束形成器对于模型误差具有敏感性。为了降低自适应波束形成器对模型误差的敏感程度，在过去的几十年中，众多研究者在增强自适应波束形成器的稳健性方面做了许多工作[24,29,43,45,70,71]。在模型失配条件下，仍能自适应地调整波束形成器权向量以保证良好输出性能的一类波束形成器称为稳健自适应波束形成器。对稳健自适应波束形成器的要求是，在可容许的模型失配情况下，稳健自适应波束形成器的性能不应退化到传统波束形成器的性能之下。

Cox等人提出了一种对角加载的方法[15,20]，能提高自适应波束形成算法的稳健性。但是，在较高信噪比（SNR）条件下，采用对角加载方法的自适应波束形成器有着较为明显的性能下降。Feldman和Chang等人提出了基于特征空间的方法[31,68]，是一种子空间方法。当子空间的维数不确定或在低SNR条件下，基于特征空间的自适应波束形成器有着严重的性能衰落。为了增强自适应波束形成器在非平稳环境下的稳健性，有研究者提出了加宽自适应波束零陷带的思想，Gershman等人给出了独立数据微分约束方法[69,70]，即用修正的协方差矩阵来代替Capon最小方差波束形成器中的采样协方差矩阵。另外，Riba等人还给出了一种协方差矩阵锥形法[18,19]，用锥形协方差矩阵来代替采样协方差矩阵。Bell等人提出了一种基于贝叶斯方法的自适应波束形成算法[8]，此算法能在阵列接收信号和期望信号波达方向的先验信息之间实现一种平衡。基于贝叶斯方法的自适应波束形成器，是一组离散候选波达方向上Capon最小方差波束形成器权值向量的线性加权，权系数为由阵列接收数据求得的各自波达方向上的后验概率值。基于贝叶斯方法的自适应波束形成器对于期望信号波达方向的不确定具有较好的稳健性，而当其他导致模型失配的因素占主导时，便会遭受较为严重的性能衰落。Vorobyov和Lorenz等人独立提出了一种基于最坏情况性能优化的稳健自适应波束形成算法[3,16,67]。此方法在期望信号的导向向量存在误差时，引入不等式约束，保证期望信号所有可能的导向向量都能无衰减地通过自适应波束形成器。这种基于最坏情况性能优化的自适应波束形成器权向量，有着和对角加载方法一样的表示形式，因而可被看成对角加载技术的一种。考虑到基于最坏情况性能优化的稳健自适应波束形成器设计的保守性，Vorobyov和Rong等人提出了一种基于概率约束的稳健自适应波束形成算法[66]。此方法只需要保证那些发生概率充分大的导向向量能无衰减地通过自适应波束形成器，而不是去满足所有可能的导向向量。近年来，还有一类盲自适应算法，利用接收信号的某些特征，如恒模特性、循环平稳性以及高阶统计特性等，就可实现自适应波束形成。由于盲自适应波束形成算法通常对阵列模型误差有着很强的稳健性，因而成为阵列信号处理中的一个研究热点。

3.10.1　对角加载方法

在众多稳健的自适应波束形成方法中，对角加载是一种最常见的方法。此方法通过对Capon最小方差问题进行正则化处理来实现，即通过对优化问题的目标函数加上一个二次型惩罚项来实现。对角加载的Capon最小方差问题，可表示为

其中，是采样协方差矩阵，ξ是惩罚权值。采用Lagrange乘子法求解优化问题，可以得到对角加载采样矩阵求逆（DL-SMI）形式的MVDR波束形成权值向量

从式（3-98）可知，优化问题的目标函数增加一个二次惩罚项，就等价于波束形成器权值向量的采样协方差矩阵加上一个对角矩阵ξI。因此，惩罚权值ξ也被称为对角加载因子（Diagonal Loading Factor）。这就意味着，对角加载可看成在采样协方差矩阵的主对角线上人为地加入一些白噪声，这保证了对角加载矩阵总是可逆的，而不管采样协方差矩阵是否奇异。在模型失配的情况下，采用对角加载的方法能够提高自适应波束形成器的输出性能。虽然对角加载的方法有着实现简单、适用面广的特点，但是，此方法也存在一个缺点，即没有给出一个选取对角加载因子ξ的严格标准。

3.10.2　基于特征空间的方法

基于特征空间的自适应波束形成算法，对于由任何原因导致的导向向量不确定都具有很好的稳健性。此方法的关键是使用期望信号导向向量在信号-干扰子空间上的投影，而不是直接使用期望信号的导向向量。对采样协方差矩阵进行特征分解：

其中，矩阵包含了中信号-干扰子空间的J+1个特征向量，对角矩阵的对角线元素为其对应的特征值。同样地，矩阵包含了中噪声子空间的M-J-1个特征向量，对角矩阵的对角线元素为其对应的特征值。这里，J是干扰源的数目，常可由最小特征值的重数估计得出。基于特征空间的自适应波束形成器权值向量为

其中

为信号-干扰子空间的投影导向向量。将式（3-112）代入式（3-111）中，得到基于特征空间的自适应波束形成器权向量

在信号-干扰子空间满足低秩条件（如点源信号的秩为1）以及干扰数确知的条件下，基于特征空间的波束形成方法对于由任意原因导致的导向向量不确定都有着极好的稳健性。但是，当信号-干扰子空间的低秩条件不满足或子空间的维数不确定时，如存在非相干散射（空间散射）的干扰源或移动的干扰时，基于特征空间方法的自适应波束形成器将有严重的性能衰落。此外，即便上述约束条件都成立，此方法也只适用于高SNR的环境。因为在低SNR条件下，信号-干扰子空间与噪声子空间之间存在的频繁交换使得子空间之间的正交特性不能被维持，从而导致自适应波束形成器遭受严重的性能衰落。这就使得基于特征空间的自适应波束形成算法很难在具有如下特征的实际系统中得到应用，如较低的SNR，信号-干扰子空间的维数不确定，由于信号源散射、信道衰落等原因导致的信号-干扰子空间具有较高的维数，以及接收数据不具有平稳特性等。

3.10.3　贝叶斯方法

Bell等人根据贝叶斯方法提出了一种自适应波束形成算法，能在阵列接收信号和波达方向的先验信息之间实现一种平衡。在低SNR条件下，波束形成器更依赖于波达方向的先验信息，而在高SNR条件下，波束形成器更依赖于阵列的接收信号。

由贝叶斯方法，期望信号的波达方向可以被看成一个定义在L个候选波达方向组成的集合Θ={θ1,…,θL}中的离散随机变量，先验概率的大小表示波达方向的不确定程度。由MMSE准则，可以得到基于贝叶斯方法的自适应波束形成器权值向量

其中，p(θi|X)是给定K拍采样的阵列观测数据X时，候选波达方向θi的后验概率值；ω(θi)是指向候选波达方向θi的波束形成器权值向量，可由DL-SMI形式的MVDR波束形成器权值向量来表示。这样，基于贝叶斯方法的自适应波束形成器是各候选波达方向上自适应波束形成器权值向量的线性加权，权系数为根据阵列观测数据X计算得到的各候选波达方向上的后验概率值。对于期望信号波达方向的不确定，基于贝叶斯方法的自适应波束成形方法具有很好的稳健性。但是，当期望信号实际的波达方向不在候选波达方向集合Θ的覆盖范围内时，自适应波束形成算法所依赖的贝叶斯模型失效，自适应波束形成器的输出性能将有一定的衰落。此外，当其他导致导向向量失配的因素占主导时，基于贝叶斯方法的自适应波束形成器不再具有很好的稳健性。

3.10.4　基于最坏情况性能优化的方法

基于最坏情况性能优化方法的设计目标是，在期望信号所有可能的导向向量都能无衰减地通过自适应波束形成器的基础上，实现干扰-噪声的输出功率最小化。这一问题可表示为

其中，a是期望信号假定的导向向量，δ表示期望信号导向向量的误差量，a+δ即实际的导向向量，ε>0表示导向向量误差量δ的2-范数的上确界。与Capon最小方差法只需要保证期望信号无畸变地通过自适应波束形成器不同的是，基于最坏情况性能优化的波束形成方法对于所有与假定的导向向量距离小于某一常数的导向向量都能保证无衰减地通过自适应波束形成器，这也就等价于最坏情况下的导向向量都能无衰减地通过。将优化问题式（3-105）中的非线性非凸约束条件转换成等式约束条件，采用Lagrange乘子法求解等价的等式约束优化问题，可以得到基于最坏情况性能优化的自适应波束形成器权值向量

其中，λ≥0，为Lagrange乘子，可通过将波束形成器权值向量式（3-106）代入等式约束方程后采用Newton法等迭代方法求得。因此，从本质上讲，基于最坏情况性能优化的自适应波束形成方法式（3-106）可归为一类对角加载的技术。

相比以前的稳健自适应波束形成方法，基于最坏情况性能优化的自适应波束形成方法是建立在清晰的理论框架之上的，因而有着更好的稳健性。然而，在实际应用中，导向向量误差量δ的2-范数的上确界ε通常是未知的。选择过大的ε，可能使设计的自适应波束形成器过于保守，而选择过小的ε，可能使一些可能发生的导向向量没有被考虑进来。

3.10.5　基于概率约束的方法

在实际应用中，最坏情况发生的概率是非常小的。因此，基于最坏情况性能优化方法设计的自适应波束形成器式（3-108）是非常保守的。为了使波束形成器的设计更为灵活，Vorobyov等人提出了一种基于概率约束的稳健自适应波束形成方法，其主要思想是仅让那些发生概率充分大的导向向量无衰减地通过自适应波束形成器，而不用去满足所有可能发生的导向向量[66]。这一问题可表示为

其中，Pr{·}表示的是概率算子，概率值p是由系统指定的自适应波束形成器设计参数。

当导向向量误差分布未知时，基于概率约束的波束形成问题退化成一个基于最坏情况性能优化的波束形成问题；而当导向向量的误差服从零均值复高斯分布时，基于概率约束的波束形成问题（3-107）可以表示为

其中，Cδ表示导向向量误差δ的二阶统计，erf-1(·)是误差函数

的逆函数。当有和成立时，基于概率约束的波束形成问题就等价于基于最坏情况性能优化的波束形成问题，这可以方便波束形成器的设计。当导向向量的误差服从零均值复高斯分布时，基于概率约束的自适应波束形成器有着比基于最坏情况性能优化的自适应波束形成器更好的稳健性。