2.9　信源数估计方法

阵列信号处理中的大部分算法均需要知道入射信号数。但在实际应用场合，信号源数通常是一个未知数，往往需要先估计信号源的数目或假设信号源数目已知，然后再估计信号源的方向[5-24]。根据特征空间的分析可知，在一定的条件下，数据协方差矩阵的大特征值对应于信号源数，而小特征值是相等的（等于噪声功率）。这就说明可以直接根据数据协方差矩阵的大特征值来判断信号的源数。但在实际应用场合，由于快拍数、信噪比等方面的限制，在对实际得到的数据协方差矩阵进行特征分解后，不可能得到明显的大小特征值。很多学者提出了在信号数估计方面较为有效的方法，包括信息论方法、平滑秩法、矩阵分解法、盖氏圆方法和正则相关等方法。

2.9.1　特征值分解方法

在存在观测噪声时，接收信号模型为X=AS+N。表示有观测噪声时的混合信号的协方差矩阵：

其中，，，为噪声功率。容易验证，若为R的M个特征值，而为的M个特征值，则有，因此，在信噪比较高的情况下，协方差矩阵的主特征值数与信号源的个数都等于K。

将得到的协方差矩阵的特征值从大到小排列，即。设；作为观测样本矩阵的主特征值数，则信源数目K应取值使得。该方法的优点是运算简单，且估计准确率较高。

2.9.2　信息论方法

信息论方法是Wax和Kailath[6,7]提出的，这些方法都是在Anderson [8]和Rissanen[9]提出的理论的基础上发展起来的，如Akaike信息论（AIC）准则[10]、最小描述长度（MDL）准则、有效检测（EDC）准则等方法。信息论方法有一个统一的表达形式：

式中，L(k)是对数似然函数，P(k)是罚函数。通过对L(k)和P(k)的不同选择就可以得到不同的准则。

下面介绍EDC信息论准则，有

其中，k为待估计的信号源数（自由度），L为采样数，Λ(k)为似然函数，且

另外，式（2-134）中的C(L)须满足式（2-136a）和式（2-136b）所示的条件：

当C(L)满足上述条件时，EDC准则具有估计一致性。

在式（2-134）中选择C(L)分别为1、(lnL)/2及(ln ln L)/2时，就可以得到AIC、MDL、HQ等准则，即

除了上述准则，还有一些修正的准则，得出如下结论。

（1）AIC准则不是一致性估计，即在大快拍数的场合，它仍然有较大的误差概率；而MDL准则相对较好；HQ准则居于两者之间，主要是由准则中的罚函数项引起的。

（2）MDL准则是一致性估计，也就是说在高信噪比情况下该准则有较好的性能，但在低信噪比情况下该准则相比于AIC有更高的误差概率。在高信噪比情况下，MDL准则的误差概率比AIC准则的小。

（3）当在EDC准则中C(L)=1/2ln L时，EDC准则也就是MDL准则，所以说MDL准则是EDC准则的一种特例。

（4）当在EDC准则中C(L)=1/2ln ln L时，EDC准则也就是HQ准则，所以说，HQ准则也是EDC准则的一种特例。从低信噪比角度而言，在这三种准则中HQ准则最优，其次是AIC准则。

2.9.3　其他信源数估计方法

在用信息论准则来估计信源数时，只能对独立信号源的总数做出估计。当信号源相干时，无法准确估计信源数，而且对信号源的类别和结构不能做出判断。平滑秩序列法能在信号源相干的情况下有效工作。

但是，信源数估计方法，包括信息论方法、平滑秩方法及矩阵分解方法等都需要得到矩阵或修正后矩阵的特征值，然后再利用特征值来估计信源数。盖氏圆方法[22,23]是一种不需要具体知道特征值的信源数估计方法。它利用Gerschgorin圆盘定理，就可估计各特征值的位置，进而估计信号源。

前文介绍的信源数的估计方法都是针对高斯白噪声背景对入射信源数进行估计的。当噪声中有色成分加大时，这些算法性能下降很快。针对这种情形，可采用正则相关技术（CCT）[24]，更详细的分析见文献[4]。