2．如何数出“无穷大”？

上一节中我们讨论了数字，其中有不少都是相当大的数。不过，即便是大到不可思议，就像西萨·班·达依尔要求的麦粒数目那么大，这些数字仍然是有限的。只要给足时间，人们就可以把这些数字从头到尾写下来。

不过，还有一些具有无穷性的数，无论花多少时间都写不完。例如，“所有整数的数量”显然是无穷大的，“一条线上所有几何点的个数”亦是如此。对于这样的数，我们除了说它们是无穷大的以外，还可以尝试其他的描述吗？换句话说，有没有可能比较两个不同的无穷数，看看哪一个“更大”？

“所有整数的个数和一条线上所有几何点的个数相比，哪一个更大”——这样的问题有意义吗？著名的数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）最先考察了这个乍看上去有点天马行空的问题，他是“无穷数学”当之无愧的开创者。

想要谈论无穷数的大小，就会有一个问题随之而来：我们既没法表示这些数字，也无法把它们写下来。这就有点儿像一个正在清点自己百宝箱的霍屯督人，他想知道自己手里的玻璃珠子多，还是铜币更多。相信你还记得，霍屯督人无法数出3以上的数字，那么，他会不会因为数不出珠子和铜币各自的数量，就放弃比较这两个数的大小呢？不一定。如果他足够聪明，就会把珠子和铜币逐一比较直至得出答案：把一颗珠子摆在一枚铜币边上，另一颗珠子摆在另一枚铜币边上，就这样摆下去。如果珠子用完了，铜币还剩下几枚，他就会知道，铜币比珠子更多；如果铜币用完了，还有几颗珠子，那么就是珠子比铜币多；如果两者同时用完，那就是一样多。

康托尔在比较无穷数时，用的也是完全相同的办法：把两组无穷数进行配对，如果这两个集合里的每一个元素都能一一对应，最后没有任何元素剩下，那么这两组无穷数就是相等的；如果其中一个集合里的有元素无法配对，那么就可以说，这组无穷数要比另一组更大一些，或者说更强一些。

这个方法无疑是可行的，事实上，要比较无穷大的数字，也只有这个法子了。不过，在真正开始采用这个方法之前，我们得做好大吃一惊的心理准备。比如说，我们来比较一下所有的奇数和偶数这两个无穷数集合。从直觉上判断，你肯定会觉得奇数和偶数一样多，而且它们也完全符合上述的规则，二者可以做到一一对应：

在这个表里，每一个奇数都对应着一个偶数，反之亦然。因此，奇数和偶数是大小相等的无穷数。看上去很简单，也很自然！

不过，稍等一下。下面这两个数，你觉得哪个更大：所有整数的数量（包括所有的奇数和偶数），还是所有偶数的数量？你当然会选择前者，因为它既包括了全部的偶数，也包括了全部的奇数。但这只是你的直觉而已。想要得到准确的答案，就必须应用无穷数比较的规则。如果你真的这么做了，就会吃惊地发现自己的直觉是错的。实际上，所有的整数和所有的偶数也可以放在如下这个表中，实现一一对应：

依照无穷数比较的规则，我们只能得出如下结论：所有的偶数和所有的整数个数完全相等。当然，这听起来有点自相矛盾，因为偶数只是整数的一部分，但是必须要记住，我们在这里计算的是无穷数，它们的性质会不太一样。

没错，在无穷数的世界里，部分确实有可能等于整体！最好的一个例证，莫过于德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）讲的一个故事。他在课堂上的这段话描述了无穷数的矛盾属性[13]：

“我们来想象一个旅馆，它的房间数量是有限的，而且所有房间都住满了人。假如有一个新客要求入住，那么老板会说：‘抱歉，所有房间都住满了。’再来想象另一家旅馆，这里有无穷个房间，同样，每一个房间里都住上了人。这时又有新客来访，要求入住。

“‘没问题！’旅馆老板会立刻答应下来，并把之前住在一号房的客人移到二号房，二号房的客人移到三号房，三号房的客人移到四号房，依此类推……这样，新客就可以住进调整后空置出来的一号房里了。

“我们再换个方式，想象一个同样有无穷多个房间的旅馆。所有的房间都客满，并且有无穷多个新客要求入住。

“‘好的，先生们，请稍等。’旅馆老板说道。

“紧接着，老板把一号房的客人移到二号房，二号房的客人移到四号房，三号房的客人移到六号房……以此调整。

“现在，所有门牌号是奇数的房间全都空置了，无穷多个新客人就可以轻松入住进去了。”

希尔伯特描述的这个场景可能不太容易想象，毕竟现在不是战时的华盛顿，没有那么多要住店的客人。不过这个例子很好地说明了在进行无穷数的运算时，我们会遇到一些和普通算术不太一样的运算属性。

依据康托尔的无穷数比较规则，我们还可以证明，所有分数（如,）和所有整数的个数是相等的。我们可以按照如下的规则，把所有分数排成一排：先写出分子和分母之和等于2的分数，这样的分数只有一个，即；再写出分子和分母之和等于3的分数，即和；接下来是分子和分母加起来等于4的分数，包括和……，以此类推。按照这个步骤，我们会得到一个包含了所有分数的无限数列（图5）。现在，在这个数列旁边写出整数的数列，就可以实现无穷多个分数和无穷多个整数的一一对应。所以说，它们的数量是相等的！

图5 非洲土著和康托尔教授都在比较自己数不出来的大数字。

你可能会说：“听上去不错。不过，这不就意味着，所有的无穷数都是一样大的吗？如果是这样，比较它们的大小还有什么意义呢？”

不，事情当然没有那么简单。人们可以很容易地找出比所有的整数或分数的个数还要大的无穷数。

现在回过头来，研究一下本章开头提出的问题。“一条线上所有点的个数”和“所有整数的个数”，到底谁大谁小？你会发现，这两个无穷数的大小确实是不同的——一条线上的点的个数要比所有的整数或分数个数要多得多。为了证明这一点，我们试着在一条线段上（比如说1英寸长），建立点和整数数列之间的一一对应关系。

线段上的每一个点都可以表示为它与线段某端间的距离，而且这段距离都可以记作一个无限小数，比如0.7350624780056……，或0.38250375632……[14]。现在我们就可以来比较所有整数和这些无限小数的个数了。那么，上面这些无限小数，和像这样的分数，又有怎样的区别呢？

大家一定还记得，我们在数学课上学过，每一个普通分数都可以转化成无限循环小数，比如,。我们上面已经证明过，所有普通分数的个数和所有整数的个数是相同的，因此，所有循环小数的个数和所有整数的个数也是相同的。但是，一条线段上的点不可能完全表示成无限循环小数，而且大多数情况下，这些无限小数是不循环的。很容易看出来，在这种情况下，两个数列无法建立一一对应的关系。

假如有人声称，他能建立如下形式的对应关系：

当然，因为我们不可能写出无限不循环小数的每一位数，所以这张表的作者必定已经找到了某种一般性的规则（类似于我们将分数和所有整数进行配对的规则），并且按照这种规则构造了上面这个表，这种规则确保，我们所能想到的任何一个小数迟早都会出现在这张表里。

然而，不难证明，没有一种排列法则可以保证这样的事，因为我们总是可以写出一个没有出现在这个表里的无限不循环小数。如何办到的？再简单不过了。只要让这个数的小数点后第一位数字和表里的一号数字（N1）的小数点后第一位不同，第二位数字和N2的小数点后第二位不同，依此类推，就会得到一个类似下面这样的数字：

这样的话，无论你往下找多久，这个数字都不会出现在这个表里。如果这张表的作者告诉你，你写下的这个小数就在第137行（也可以是其他任意一行），那么你可以立刻告诉他：“不可能，因为这两个数在小数点后第137位上的数字是不同的。”

因此，一条线上的点的个数和整数的个数之间，无法建立一一对应的关系，这意味着，一条线上的点的个数比所有整数或分数的个数更大，或者说更强。

我们一直在讨论“1英寸长的线段”上点的个数，不过，根据“无穷数学”规则，很容易证明上述结论对任何一条线段上的点都适用，也就是说，无论是1英寸、1英尺，还是1英里，这些线段拥有的点的数目都是相等的。想要证明这一点，只要看一下图6就可以。图上比较了两条长度不相等的线段AB和AC上的点的个数。为了在两条线之间建立一一对应的关系，我们从AB上的每一点出发，做一条平行于BC的线，并将它与两条线的交点进行配对，例如D和D1、E和E1、F和F1等。如此一来，AB上的每一个点在AC上都有点与之对应，反之亦然。因此，根据我们的规则，这两条线段拥有的点的数量是相等的。

在探索无穷大数的过程中，我们还有一个出人意料的发现：一个平面上的所有点的数量和直线上点的数量竟然是一样的！为了论证这一点，我们来考察线段AB（长度为1英寸）上面的点，和正方形CDEF内的点（图7）。假设线段AB某个位置上的点均可以用某数字来表示，比如说 0.75120386……，那么，我们可以由这个数字确定两个不同的数字，取小数点后的奇数位和偶数位重新组合，即0.7108……和0.5236……。

图6

图7

接下来，我们分别以这两个数字为横坐标和纵坐标的值，在正方形中寻找到对应的点，并把这个点称为此前线段上点的“对应点”。反过来，如果我们知道正方形里任何一个点的横坐标和纵坐标，打个比方，比如说0.4835……和0.9907……，通过相同的规则合并这两个数字，也可以得到它的“对应点”在线段上的位置：0.49893057……。

很显然，通过上述的步骤，两组点之间建立起了一一对应的关系。线上的每一个点都能在正方形里找到它的对应点，而正方形里的每一个点也能在线上找到对应。没有任何一个点会被遗漏。依照康托尔的规则，我们可以得出结论：正方形里所有点的数量等于线段上的所有点的数量。

使用类似的方法，也很容易证明，立方体内所有点的数量等于正方形或直线上点的数量。我们只需要把原来的小数拆分成三个新的数字[15]，然后用这三个数来定义立方体内“对应点”的位置即可。此外，就像两条长度不同的线段中，点的数量是相等的一样，无论正方形或立方体的大小如何，其中点的数量也不会改变。

虽然所有几何点的数量比所有整数或分数的数量要大，但它还不是数学家们已知的最大的无穷数。事实上，人们发现，所有曲线的种类，包括那些最不同寻常的曲线，要比所有几何点的数量还要多，因此，必须要用无穷数列的第三个数来描述它。

根据“无穷数学”的开创者格奥尔格·康托尔的定义，无穷数可以用希伯来字母ℵ（aleph）表示，其右下角有一个数字，表示它在无穷数列中的位置。由此，我们可以得到一个数字的序列（其中也包括无穷大数）：

1,2,3,4,5……ℵ0, ℵ1, ℵ2, ℵ3……

当我们说“一条线上有ℵ1个点”，或“存在ℵ2条不同的曲线”时，就和我们在说“世界分为七大洲”或“一盒纸牌有52张牌”时，没什么两样。

图8 前三位无穷大数字。

在结束有关无穷数的讨论之前，我们需要指出，虽然这些无穷数只分了几级，但是却包含了我们能想到的所有无穷大数。我们知道，ℵ0代表所有整数的个数，ℵ1代表所有几何点的数量，ℵ2代表所有曲线的数量，但是迄今为止，还没有人能够想出用来描述ℵ3的集合。看来，前三个无穷大数就足以囊括我们所能想到的任何数字，这和我们的老朋友霍屯督人的处境刚好相反：他们明明拥有很多孩子，却最多只能数出三个！