第二章 自然数和人造数

1．最纯粹的数学

人们通常认为，数学是一切科学的皇后，数学家们更是深以为然。身为皇后，它自然要尽力避免屈就其他知识领域。因此，在某次“纯粹数学与应用数学联合会议”上，大卫·希尔伯特（David Hilbert）应邀做了一个开幕演讲，借此消除从事这两类研究的数学家之间的敌意。他的开场白是这样的：

“我们经常听说，纯粹数学与应用数学相互敌视。事实并非如此。两者并未相互敌视，甚至可以说，两者永远不会相互敌视。纯粹数学与应用数学之所以不会敌视对方，其真实原因在于，二者根本没有任何相似之处！”

不过，尽管数学家希望数学保持纯粹，并且尽量远离其他科学领域，但是，其他学科（尤其是物理学）却和数学走得很近，它们愿意尽最大的可能和它“称兄道弟”。事实上，纯粹数学里的几乎每一个分支如今都被应用于物理学，来解释物理世界里的种种特征。其中甚至包括像抽象群理论、非交换代数和非欧几何这类一直被认为是最纯粹的、无法得到应用的数学理论。

即便如此，迄今为止仍然有一个庞大的数学体系，除了帮助人们进行思维体操之外，找不到任何用武之地。因此，它当之无愧地获得了“纯粹之桂冠”。这就是所谓的“数论”（这里的数指的是整数），它是纯粹的数学思想中最古老，也是最复杂的产物之一。

尽管听上去有点奇怪，但是数论作为最纯粹的数学分支，从某种意义上可以算作是一门经验科学，甚至是一门实验科学。数论中的许多命题，都是人们在用数字进行各式各样的尝试中提出来的，这就像物理法则是来源于人们尝试对物质对象做不同的工作一样。数论和物理学还有一个相似之处：它们的一些命题从“数学上”得到了证明，还有一些命题仍停留在纯粹阶段，仍在吸引着无数的数学家去探索。

以质数问题为例。所谓质数，就是指那些无法被两个或两个以上更小整数乘积表示的数字，比如，1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17等都是质数，而12这样的数字就不是质数，因为它可以写成2×2×3的形式。

质数的个数是无限的吗？还是说，存在一个最大的质数，如果一个数比这个最大的质数还要大，那它可以用已有的质数乘积表示？这些问题最早是由欧几里得（Euclid）提出来的，他给出了一个非常简洁优雅的证明，说明了质数有无穷多个，所以并不存在“最大的质数”。

为了检验这个命题，我们不妨先假设质数的数量是有限的，并用字母N来表示已知的最大质数。现在，我们先求出所有已知质数的乘积，然后在得出的结果上加1。它可以这样表示：

（1×2×3×5×7×11×13×……×N）+1

这个数字无疑比已知的“最大的质数”N要大得多，同时，一目了然的是，这个数字不能被任何已知的质数（小于等于N）整除，因为从它的构造上可以发现，它被任何质数整除都余1。

所以，我们构建的这个数要么本身就是一个质数，要么能被一个比N大的质数整除，而这两点都和我们最初的假设（即N是最大的已知质数）相矛盾。

上述这种证明方法叫作归谬法（reductio ad absurdum），是数学家们最喜欢使用的论证方法之一。

既然知道了质数有无穷多个，我们接下来就会提出这样的疑问：有没有一种简单的方法，可以把它们无一遗漏地全都列出来呢？为此，古希腊哲学家、数学家埃拉托色尼[16]（Eratosthenes）最先提出了一个方法，我们通常称之为“筛选法”。数学家所要做的，就是列出所有的正整数：1,2,3,4……，然后去掉所有2的倍数，再去掉剩下的数中所有3的倍数，接下来是5的倍数……图9中展示了做了埃拉托色尼筛选法的前100个数字，其中一共包含26个质数。通过这种简单的方法，人们已经建立了一个10亿以内的质数表。

图9 埃拉托色尼筛选法的前100个数字。

不过，如果有谁能够设计出一个公式，帮助我们快速、自动地找出只包含且包含全部质数的公式，那样就简单多了。不过，历经上千年的努力，这样的公式依然是不存在的。1640年，法国著名数学家费马（Fermat）设计出一个公式，他认为，由这个公式计算出的结果全都是质数。

在费马的公式里，n可以取连续正整数值：1,2,3……。利用这个公式，我们可以得出：

上述每个结果确实都是质数。不过就在费马公布这个公式大约一个世纪之后，德国数学家欧拉（Euler）却发现，由费马的公式计算出的第五个数（）并不是一个质数，这个数是6,700,417和641的乘积。所以，费马从经验中得出的质数计算公式根本就是错的。

另一个著名的质数计算公式是：n2-n+41，其中n还是取1,2,3……这些连续正整数值。事实证明，当n的值从1取到40时，这个公式的结果都是质数，但很不幸的是，它在第41步上失败了。当n等于41时，

412-41+41=412=41×41，

这是一个平方数，根本不是质数。

还有另一个“未能如愿”的公式：

n2-79n+1601

在n小于等于79时，这个公式都还适用，但在80上惨遭失败！

因此，人们到现在仍然没有找出一个只会得出质数解的通用公式。

数论中还有一个有趣的问题，它既没有被证实，也没有被推翻。它就是1742年提出的“哥德巴赫猜想”（Goldbach conjecture）——每一个偶数都可以表示为两个质数之和。用一些简单的例子，你可以轻松验证这个猜想是成立的，比如：12=7+5,24=17+7，以及32=29+3等。然而，尽管数学家们为此花费了大量的精力，却从来无法给出一个确凿的结论——要么证明这个说法是正确的，要么找到一个例子来反驳它。1931年，苏联数学家施尼雷尔曼（Schnirelman）向理想的目标迈出了建设性的一步，他成功证明，每个偶数都可以写成不超过30万个质数之和；而“30万个质数”和最终目标“2个质数”之间的巨大鸿沟，则由另一位苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）缩小成了“4个质数”。不过从“4个质数”再到哥德巴赫猜想中的“2个质数”，似乎成了最艰难的一步，没有人知道还需要几年或是几个世纪，人们才能将这个命题证实或是证伪。[17]

好吧，之前我们还想用一个公式自动推导出任意大的质数，如此看来，这个理想还很遥远，甚至连这样的公式是否存在也无法确知。

现在，我们或许可以再提一个谦逊些的问题：在一个给定的数字区间里，质数到底占多大的百分比？随着区间的上限越来越大，这个百分比是否会接近一个常数？如果不是，比例是会增长，还是会减少？就这些问题，我们可以求助于经验，数一数表格里已有的质数个数。100以内有26个质数，1000以内有168个质数，1,000,000以内有78,498个质数，1,000,000,000以内则有50,847,478个质数。用质数的个数除以对应区间里的数字总数，可以得到如下表格：

首先，这张表格表明，随着数字区间的增大，质数的占比逐渐减少，但是质数在任何位置都不会消失。

有没有什么简单的办法，可以用数学公式来表示区间越大，质数占比越少的趋势呢？答案是肯定的，而且描述质数平均分布的定理已经成为数学领域最杰出的发现之一。它可以简单地表示为：从1到大数N之间质数所占的百分比，近似等于N的自然对数的倒数[18]。N越大，这两个值就越接近。

表格中的第四列就是N的自然对数的倒数值。如果把它和前一列进行对比，不难发现，二者确实非常接近，而且N越大，接近程度就越高。

就像数论里的许多其他定理一样，这个质数定理最开始也是数学家凭借经验发现的，在相当长的时间里，人们找不到严格的数学方法来证明它。直到19世纪末，法国数学家阿达马（Hadamard）和比利时人德·拉·瓦莱·布桑（de la Vallee Poussin）终于成功地证明了这个定理，不过由于论证方法十分复杂，在此就不再赘述了。

要讨论整数问题，我们就不能不提到著名的费马大定理（Great Theorem of Fermat）。这个问题（包括一系列同类问题）与质数的性质关联不大，其根源可以追溯至古埃及。当时，任何一个优秀的木匠都知道，一个三条边比例是3∶4∶5的三角形里，肯定有一个直角。实际上，古埃及人一直把这样的三角形，也就是现在所谓的“埃及三角形”，作为木匠的三角尺[19]。

公元3世纪，亚历山德里亚的丢番图（Diophantes of Alexandria）开始思考，在满足两个整数的平方和加起来等于第三个整数的条件下，3和4是否是一对唯一解。他成功地证明了，还有其他的数字组合（实际上有无数组）满足这样的条件，并且找到了普遍的规律。这种三条边的长度都是整数的直角三角形如今被称为毕达哥拉斯三角形，而埃及三角形就是其中的一个。毕达哥拉斯三角形问题可以简单地表示为一个代数方程，其中x、y、z的取值必须是整数[20]：

x2+y2=z2

1621年，皮埃尔·费马在巴黎买了一本法语版的丢番图所著的《算术》，这本书里就有毕达哥拉斯三角形相关的讨论。阅读这本书时，他在书页边上写了一段简短的笔记，大意是说，虽然x2+y2=z2这个方程有无穷多个整数解，但是， xn+yn=zn这种形式的方程，在n大于2时，却得不到任何整数解。

费马在这段笔记旁边补充道：“我已经找到了一个绝佳的证明，不过页边太窄，写不下了。”

费马去世后，人们从他的藏书里发现了这本书，写在书页边上的笔记也因此公之于众。三个多世纪过去了，各国最顶尖的数学家都试图重构费马在页边写下这条笔记时脑袋里的那个证明。不过直到现在，仍然没有人找到解决的方法。可以肯定的是，在通往最终目标的道路上，数学家们已经取得了相当大的进展。为了证明费马的这个定理，他们甚至还开创了一条全新的数学分支，名叫“理想数论”（theory of ideals）。其中，欧拉证明了x3+y3=z3和x4+y4=z4没有整数解，狄利克雷（Dirichlet）证明了同样的结论适用于x5+y5=z5。在几代科学家的共同努力下，人们如今已经证明，在n小于269的所有情况下，费马的方程都没有整数解。然而，迄今为止，仍然没有人找到n为任意值的通用解，而且，开始有越来越多的人怀疑，当初费马要么压根没去证明这个命题，要么就是在证明时犯了错。这个问题也因专门为它而设的十万德国马克赏金而为大众所熟知，当然，只是冲着赏金前去的业余人士最终肯定一无所获。

当然了，还有另一种可能，那就是费马大定理本身就是错的。我们或许可以找出一个反例，让两个整数多次幂的和与另一个整数的同一次幂相等。不过，因为这个指数只可能是大于269的数，所以想要找到反例同样不是易事。