2.5 地下空间结构可靠度基本原理

2.5.1 概述

由于地层条件、施工环境和使用功能的特殊性，地下空间结构在很大程度上存在随机性、离散性和不确定性，所以仅仅依靠传统的确定性力学和数学方法等分析地下空间结构很难真实反映其力学性态。为此本节根据地下结构分析中的不确定性因素、可靠度分析原理及近似计算方法进行介绍。

2.5.1.1 地下空间结构的不确定性因素

地下空间结构的不确定性因素主要包括以下几点：

（1）地层介质参数的不确定性。

地层介质的形成经历了漫长的地质年代，并且不断地受到自然地质构造运动和人类活动的影响，使地层介质多呈现非均质性、非线性、各向异性和随机离散性等。工程实践中，地层介质的工程特性非常复杂且易于变化，即在一个地下空间结构的修建单元区内，介质特性也存在不同。通常，地层参数不确定性来源于介质本身的空间变异性、试验误差、分析误差和统计误差等。

（2）岩土体分类的不确定性。

设计地下空间结构时，设计人员往往需要根据岩土介质体的类别进行结构的初步设计。因此，岩土体类别的划分至关重要。然而，各类岩土体分类法根据工作服务部门都有相应的一套规范或标准，而这些规范本身通常是根据大量经验确定的，因而存在一定的不确定性；有时由于不同工程师对标准的理解和处理不尽相同，因而也可能引起岩土体分类的随机性，进而导致地下空间结构设计上的不确定性。

（3）分析模型的不确定性。

地下空间结构分析计算时，一般要涉及结构本身和周围地层介质的力学模型和计算范围、边界的确定。一般来说，介质所服从的力学性态模型是通过室内试验得到的本构关系确定的，如弹性模型、弹塑性模型、黏弹塑性模型等，这些模型及模型内的参数与真实介质本身及参数存在很大的差异，从而引起力学模型的不确定性。此外，地下空间结构分析时，往往要对周围影响范围、土层条件和边界条件等进行简化假设，也引起了计算模型的不确定性。

（4）荷载和抗力的不确定性。

荷载和抗力是影响地下空间结构分析的主要不确定性因素。地下空间结构施工与设计中所涉及的荷载，包括已知荷载和未知的其他因素。例如，施工荷载是随时间变化的可变荷载，采用随机过程模型描述；其他恒载和活载在已掌握大量资料的基础上，可利用数理统计方法进行分析处理，给出这些荷载的概率分布函数和统计参数。

（5）施工中的不确定性因素。

地下空间结构施工过程中的不确定性因素很多，如地下开挖和回填的过程中，土层的扰动、支护结构、边界条件和荷载变化等。

（6）自然条件的不确定性。

岩土介质的力学状态与自然条件（如暴雨、泥石流和各种振动等）有着密切关系。当自然条件发生较大变化时，岩土介质的性状大多会发生很大变化。

2.5.1.2 地下空间结构可靠性分析的特点

地下空间结构处于地层中，其周围介质为岩石或土体。因此，地下空间结构与地面结构相比较具有很大的差别。根据国内外各种地下建筑的工程经验，地下空间结构具有以下特点：

（1）地下空间结构处于地层介质中，修建过程中和建成后都要受到地层（岩石或土体）的作用，包括地层应力、变形和振动的影响，而且这些影响与所处地层的地质构造密切相关。地下空间结构的选址、选型及如何施工都必须充分考虑地层条件。

（2）地下空间结构的另一个显著特点是在受载状态下构筑。地下工程往往是一个大的空间体系，地下空间结构的构筑过程就是用内含空间替代地层实体，在地下空间结构构筑过程中是分部完成这种替代的。也就是说，地下空间结构的受载情况还与地下空间结构的形成过程及空间效应密切相关。

（3）地层不单纯是荷载，各类地层具有不同程度的自承能力。实际上地下空间结构与围岩形成一个统一的受力体系。因此，地下空间结构的受力状态往往并不像地面结构那样明确，它除了取决于结构物本身的特点外，还与地层条件密切相关。

（4）地下空间结构处于地层中，设计时所依据的条件只是前期地质勘探得到的粗略资料，揭示的地质条件非常有限，只有在施工过程中才能逐步地详细了解。另外，还有一些因素随着施工进程会发生变化，因此地下空间结构的设计和施工一般有一个特殊的模式，即设计—施工及监测—信息反馈—修改设计—修改或加固施工，建成后还需进行相当长时间的监测。

在地下空间结构设计中应考虑的不确定性远比上部结构要复杂得多。通常，在地下空间结构可靠性分析时，应考虑以下几个方面：

1）周围岩土介质特性的变异性。

2）地下空间结构规模和尺寸的影响。

3）极限状态及失效模式的含义不同。

4）极限状态方程呈非线性特征。

5）土层参数指标的相关性。

6）概率与数理统计的理论和方法的应用。

2.5.2 可靠性分析的基本原理

地下空间结构分析中含有大量的不确定性因素，如地层介质特性参数、岩土体分类、分析模型、荷载与抗力及施工等，如何分析这些不确定性因素对结构计算的影响，判断对地下空间结构设计、施工及运营中的安全可靠程度，必须对结构可靠性分析的基本原理进行了解。

2.5.2.1 结构的极限状态和极限状态方程

1.结构的功能要求

同上部结构一样，任何地下空间结构的设计都是为了完成预定功能。从结构的观点来考虑，结构的预定功能可归纳如下：

（1）安全性。结构能够承受在正常施工和正常使用情况下可能出现的各种荷载，在偶然事件下能保持必要的整体稳定性，不至于倒塌和破坏。

（2）适用性。在设计使用期内，正常使用状况下，有良好的工作性能，如不发生过大的变形、振幅或过宽的裂缝、过量渗水等影响结构的正常使用。

（3）耐久性。结构在正常的维修和保护下，具有足够的耐久性能。

良好的地下空间结构设计除能完成上述预定功能外，同时还应尽量采用先进技术来降低结构的建造、使用和维修费用，以达到安全适用、技术先进、经济合理的要求。

2.结构的功能函数

一般情况下，总可以将影响结构功能要求的因素归纳为两个综合量，即结构或构件的荷载效应S和抗力R，定义结构的功能函数为

结构从开始承受荷载直至破坏要经历不同的阶段，处于不同的状态。结构所处的阶段或状态，若从安全可靠的角度出发，可以区分为有效状态和失效状态。有效状态和失效状态的分界点，称为极限状态。结构的极限状态是结构由有效状态转变为失效的临界状态。超过了这一状态，结构就不能再有效工作，极限状态是结构失效的标志。如果整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，则此特定状态称为该功能的极限状态。根据结构功能函数的定义可知，Z也为一个随机变量，可以出现下列3种情况：

可见，根据Z值的大小可以判断结构是否满足某一确定功能的要求，如图2-5-1所示。

由于影响荷载效应S和结构抗力R的变量很多，如截面几何特性、结构尺寸、材料性能等，如果用X1，X2，…，Xn表示这些基本随机变量，则功能函数的一般形式可表示为

由结构的功能函数的定义式（2-5-2）可得，Z=g（R，S）=g（X1，X2，…，Xn）=0，称为结构的极限状态方程。根据结构功能要求的不同，极限状态又可分为两类：承载能力极限状态和正常使用极限状态。承载能力极限状态是指超过这一极限状态，结构或构件就不能满足预定的安全性要求；而正常使用极限状态是指超过这一极限状态，结构或构件就不能满足对其所提出的使用性和耐久性的要求。

图2-5-1 结构功能函数极限状态判定图

承载能力极限状态：这种极限状态对应于结构或结构构件达到最大承载力或不适用于继续承载变形。当结构或结构构件出现下列状态之一时，即认为超过了承载能力极限状态：

（1）整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡（如倾覆等）。

（2）结构构件或其连接因材料强度被超过而破坏（包括疲劳破坏），或因过度塑性变形而不适于继续承载。

（3）结构转变为机动体系。

（4）结构或结构构件丧失稳定（如压曲等）。

正常使用极限状态：这种极限状态对应于结构或结构构件达到正常使用或耐久性能的某项规定限值。当结构或结构构件出现下列状态之一时，即认为超过了正常使用极限状态：

（1）影响正常使用或外观的变形。

（2）影响正常使用或耐久性能的局部损坏（包括裂缝）。

（3）影响正常使用的振动。

（4）影响正常使用的其他特定状态。

一般情况下，一个结构或构件的设计需同时满足考虑承载能力极限状态和正常使用极限状态。如对钢筋混凝土受弯构件的设计，需要保证构件的正截面强度（抗弯）和斜截面强度（抗剪），又要控制构件的裂缝宽度和变形，使其在规范允许的范围内。

2.5.2.2 地下空间结构的可靠度

任何一个地下空间结构设计都有其预定功能，但是这些功能是肯定能实现、肯定不能实现，还是要以一定水平实现，这就是结构的可靠性。《建筑结构可靠度设计统一标准》（GB 50068—2001）将建筑结构的可靠性定义为结构在规定时间内，在规定的条件下，完成预定功能的能力。这样，地下空间结构的可靠度就可以定义为在规定的时间内、规定的条件下，完成预定功能的概率大小。

对于工程结构来说，具体的可靠度尺度有3种：可靠概率Ps、失效概率Pf、可靠指标β。

若已知结构的功能函数Z的概率分布函数为FZ（z），概率密度函数为fZ（z），则结构的可靠度Ps可按式（2-5-4）计算，即

相反，如果结构不能完成预定功能，则称相应的概率为结构的失效概率，用Pf表示。结构的可靠与失效为两个对立事件，因此结构的可靠概率与失效概率有以下关系，即

或

这样可以由结构的失效概率Pf来确定结构的可靠度Ps。由于结构失效一般为小概率事件，失效概率对结构可靠度的把握更为直观，因此，地下空间结构可靠度分析一般是计算结构失效概率，结构可靠度分析的核心问题是根据随机变量的统计特性和结构的极限状态方程计算结构的失效概率。

若已知结构荷载效应S和抗力R的概率分布密度函数分别为fS（S）及fR（R），因S与R相互独立，则可得随机变量Z的密度函数为

此时结构的失效概率为

通过对式（2-5-8）进行积分，可求得失效概率Pf，若先对R积分后对S积分，则

若先对S积分后对R积分，则

式中 FS（·）、FR（·）——分别为随机变量S和R的概率分布函数。

由于结构抗力R和荷载效应S均为随机变量，因此绝对可靠的结构（Pf=0或Ps=1）是不存在的。从概率的观点，结构设计的目标就是保障结构失效概率Pf足够小，达到人们可以接受的程度。

2.5.2.3 结构可靠度分析中常用的概率分布

1.正态分布

正态分布又称高斯分布，是用得最多的概率分布，其概率密度函数为

式中 X——随机变量；

μ——X的均值；

σ——X的标准差。

正态分布可简单地表示为N（μ，σ）。其中，μ=0，σ=1.0的高斯分布称为标准正态分布，用N（0，1）表示。它的概率密度函数用φX（x）表示，即

其概率分布函数用Ф（x）表示为

图2-5-2所示标准正态分布，有

图2-5-2 标准正态分布

图2-5-3 一般正态分布

如果知道P，可以通过Ф的逆求得Z，即

标准正态分布函数N（0，1）的概率分布Ф（Z）可以从正态概率表查出。由于标准正态分布对称于零点，因此有

把式（2-5-14）代入式（2-5-16）得

最后得

利用标准正态分布表可以求任何正态分布的概率。例如，某一正态分布如图2-5-3所示，求其在（a，b）上取值的概率P（a<x≤b），即

为推导出可查用标准正态分布表的公式，作以下变换，即

与式（2-5-14）比较得

表2-5-1中列出正态分布常用的几种概率。

在各种随机现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。由各种随机变量叠加而成的复合随机变量，只要各随机变量中没有特别突出的，则可以认为服从正态分布。

2.对数正态分布

若随机变量X的自然对数lnX是正态分布，则X即呈对数正态分布，其概率密度函数为

式中，λ=E（lnX），，分别为lnX的均值μlnX和标准差σlnX。

由于对数正态分布与正态分布的关系，对数正态变量的各种有关概率，也能用标准正态概率来确定。

设对数正态变量X在（a，b）上取值，其概率应为

显然，P（x≤b）的计算公式为

从式（2-5-22）中可以看出，X的概率是lnx的均值λ和标准差ξ的函数。这些参数与变量X的均值和方差有以下关系，即

如σ/μ≤0.30，则

实际计算中，通常用中间值xm来表示对数正态变量的中间值，其意义为xm两旁概率相等。

累积概率分布函数也可表示为

许多随机变量只具有正值，如材料强度、疲劳寿命等，对数正态分布对此很有用处。许多随机变量乘积的复合随机变量的分布，常可用对数正态分布来表示。

3. Γ（伽马）分布（又称为皮尔逊Ⅲ型分布）

随机变量X具有以下的概率密度分布时称Γ分布。

式中λ和k是两个参数，而

当k为正整数时，Γ（k）由式（2-5-33）求得，即

当k为非整数，但k>1时，有

Γ分布随机变量的累计概率分布函数为

而随机变量的均值μ和方差σ2分别为

知道变量μ和σ后，就可由式（2-5-36）求出k和λ。计算活荷载时，常用到Γ分布。

4.极值型分布

极值型分布共有Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型分布。

（1）极值Ⅰ型（最大值型）分布。

极值Ⅰ型分布的概率密度函数为

概率分布函数为

式中，参数α和k由式（2-5-39）近似确定，即

极值Ⅰ型概率分布的另一种表达式为

式中参数可由式（2-5-41）确定，即

极值Ⅰ型通常用来描述活荷载以及风、雪荷载。

（2）极值Ⅱ型（最大值型）分布。

极值Ⅱ型的概率分布为

式中参数可由式（2-5-43）确定，即

本分布有时用于模拟地震作用。

（3）极值Ⅲ型（最小值型）分布。

极值Ⅲ型的概率分布为

式中参数可由式（2-5-45）确定，即

此分布有时用于模拟材料强度。

2.5.2.4 结构可靠性指标

考虑到直接应用数值积分方法计算地下空间结构的失效概率比较困难，因此实际工程中多采用近似方法，为此引入结构可靠性指标的概念。

结构抗力R和荷载效应S均为随机变量时，可假定R和S均服从正态分布，其均值和方差分别为μR、μS和σR、σS，则功能函数Z=R-S也服从正态分布，其均值和方差为

为此，有

令

则

式中 Y——标准正态随机变量；

Ф（·）——标准正态分布函数。

将式（2-5-48）代入式（2-5-47）中，得

图2-5-4 正态功能函数概率密度曲线

将式 （2551）用图形表示，如图2-5-4所示，Z＜0概率为失效概率，即Pf=P{Z＜0}，此值等于图中阴影部分的面积。结构可靠指标β的物理意义是：从均值到原点以标准差σZ为度量单位的距离 （标准差的倍数，即）。结构可靠指标β值与Pf是对应的：当β变小时，阴影部分面积增大，亦即失效概率Pf增大，结构的可靠度减小；当β变大时，阴影部分面积减小，亦即失效概率Pf减小，结构的可靠度增大。说明β可以作为衡量结构可靠性的一个指标，一般称β为可靠指标。

由式（2-5-46）和式（2-5-48），可得β的计算公式为

以上推导是假定结构抗力R和荷载效应S均服从正态分布，倘若R和S不再服从正态分布，而是服从对数正态分布，则随机变量Z=R-S也服从对数正态分布。结构失效概率Pf的计算公式为

由对数正态分布的定义，可得lnR、lnS均为正态随机变量。可以证明，对于对数正态随机变量X，其对数lnX的统计参数与其本身的统计参数之间的关系为

式中 δX——随机变量X的变异系数，δX=σX/μX。

令F=lnR-lnS，则可得随机变量F的可靠度指标为

其中，μlnR、μlnS分别为lnR、lnS的均值，σlnR、σlnS分别为lnR、lnS的标准差。

运用式（2-5-55）、式（2-5-56）可得结构抗力R和荷载效应S均为对数正态随机变量时，随机变量F的可靠度指标计算式为

当δR、δS均小于0.3或近似相等时，式（2-5-57）可进一步简化为

则失效概率Pf的计算式可写为

以上定义的可靠度指标是以功能函数Z的正态分布或对数正态分布为前提的，最后转化为标准正态分布，依据可靠度指标求出失效概率。在实际工程中，结构的功能函数不一定服从正态分布或对数正态分布。当结构的功能函数的基本变量不为正态分布或对数正态分布时，或者结构的功能函数为非线性时，结构的可靠度指标可能很难用基本变量的统计参数表达。此时的失效概率与可靠度指标之间已不再具有上述表示的精确关系，只是一种近似关系。这时就要利用式（2-5-59），由失效概率Pf计算可靠度指标，即

式中 Ф-1（·）——标准正态分布的反函数。

但当结构的失效概率不大于10-3时，结构的失效概率对功能函数Z的概率分布不再敏感，这时可以直接假定功能函数Z服从正态分布，进而直接计算可靠度指标。

2.5.3 可靠度分析的近似方法

结构可靠指标的定义是以结构功能函数服从正态分布或对数正态分布为基础的，利用正态分布概率函数或对数正态分布函数，可以建立结构可靠度指标与结构失效概率之间的一一对应关系。但在实际工程中，所遇到的结构功能函数可能是非线性函数，而且大多数基本随机变量并不服从正态分布或对数正态分布。在这种情况下，结构功能函数一般也不服从正态分布或对数正态分布，实际上确定其概率分布非常困难，因而不能直接计算结构的可靠指标，但确定随机变量的特征参数（如均值、方差）较为容易，如果仅依据基本随机变量的特征参数，以及它们各自的概率分布函数进行结构可靠度分析，其所得结论误差能在工程容许的范围内，则这种方法在工程上较为实用。把仅靠基本随机变量的特征参数和概率分布函数进行结构可靠度分析的方法称为可靠指标的近似计算方法。本节将重点介绍基本随机变量相互独立时的几种近似方法，即一次二阶矩法（中心点法）、改进一次二阶矩法（设计验算点法）、JC法、分位值法和蒙特卡罗法。

2.5.3.1 结构可靠度计算的一次二阶矩法（中心点法）

影响结构可靠度的因素既多又复杂，有些因素的研究尚不够深入，因此，很难用统一的方法准确确定随机变量的概率分布。在通常情况下，只有一阶矩（均值）和二阶矩（方差）较容易得到。一次二阶矩法就是一种在随机变量的分布尚不清楚时，采用只有均值和标准差的数学模型去求解结构可靠度的方法。由于该法将功能函数Z=g（x1，x2，…，xn）在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩法。

设影响结构可靠度的n个随机变量为Xi（i=1，2，…，n），对应的功能函数为

极限状态方程为

把功能函数在某点X0i（i=1，2，…，n）用泰勒级数展开，得

为了获得线性方程，近似地只取到一次项，得

式中——g对Xi求导后，用X0i（i=1，2，…，n）值代入后的导数值，是一个常量。

在结构可靠度分析中，对功能函数Z往往采用线性化后的式（2-5-64），而不直接用原来的式（2-5-61），原因是线性化后的Z，无论求解均值或方差都容易得多。

根据线性化点X0i选择不同，一次二阶矩法又分为均值一次二阶矩法和改进一次二阶矩法两种，现分述如下。

1.均值一次二阶矩法

早期结构可靠度分析中，假设线性化点X0i就是均值点mXi，在这种条件下，极限状态方程为

式中=1，2，…，n）——随机变量Xi（i=1，2，…，n）的对应均值。

Z的均值mZ可以从式（2-5-65）简化后的功能函数式中获得，其标准差σZ，在随机变量Xi（i=1，2，…，n）间都是统计独立条件下求得，即

用mZ和σZ求得可靠指标为

通过实际算例将发现，在同一问题中，采用不同极限状态方程，将获得不同的β值，这就是均值一次二阶矩法存在的严重问题。为了克服这个弱点，人们已对一次二阶矩法进行改进。下面将讨论改进后的一次二阶矩法。

2.改进一次二阶矩法

均值一次二阶矩法由于在均值点附近对功能函数线性化，结果产生两个问题：

①对于非线性功能函数，因略去二阶及更高阶项的误差，故将随着线性化点到失效边界的距离的增大而增大，而均值法中所选用的线性化点（均值点）一般在可靠区而不在失效边界上（图2-5-5），结果往往带来相当大的误差。

②选择不同的极限状态方程（如应力和内力表示的方程），不能得到相同的可靠指标。

针对上述问题，人们把线性化点选在失效边界上，而且选在与结构最大可能失效概率对应的设计验算点P*上（图25-5），以克服均值一次二阶矩法中存在的问题。依此得到的方法称为改进一次二阶矩法，有时也简称为一次二阶矩法，它是结构可靠指标计算方法的基础。

图2-5-5 标准正态分布

当选择设计验算点（i=1，2，…，n）作为线性化点X0i（i=1，2，…，n）时，根据式 （2-5-64）可得线性化的极限状态方程为

Z的均值为

由于设计验算点就在失效边界上，即有）=0，因此mZ变成

在变量相互独立的假设下，可由式（2-5-66）求解Z的标准差σZ，即

将上面公式线性化，得

式中，αi由式（2-5-73）求得，即

αi表示第i个随机变量对整个标准差的相对影响，因此称为灵敏系数。在已知变量方差下，αi可以完全由确定，αi值在±1之间，且=1。

根据可靠指标定义，有

重新排列得

即=0 （对于所有的i值），从中解出设计验算点为

式 （2-5-75）代表n个方程，未知数有和β，共n+1个。因此，通过方程联立求解未知数有困难，一般采用迭代法求解。在给定时，迭代计算是在式 （2-5-73）、式 （2-5-75）和式 （2-5-62）中进行的。最后解出β和设计验算点值。迭代方法很多，这里介绍拉克维茨提出的一种收敛速度很快的方法，其步骤如下：

（1）假定一个β值。

（2）对全部i值，选取设计验算点的初值，一般取。

（3）计算值。

（4）由式（2-5-73）计算αi值。

（5）由式 （2-5-75）计算新的值。

（6）重复步骤 （3）～（5），一直算到前后两次差值在容许范围为止。

（7）将所有值代入原极限状态方程式 （2-5-62）计算g值。

（8）检验）=0的条件是否满足，如果不满足，则计算前后两次β和g的各自差值的比值Δβ/Δg，并由估计一个新的β值，然后重复步骤 （3）～（7），直到获得g≈0为止。

（9）最后由Pf=Ф（-β）计算失效概率。

在迭代步骤中，可以取消步骤（6）中的各小轮迭代，但在相同精度条件下，大轮迭代的次数相应增加。

在实际计算中，β的误差一般要求在±0.01之内。

通过实际算例分析表明，均值一次二阶矩法的两种极限状态方程的极限边界，同真正的失效边界相距较远。但改进一次二阶矩法，由于把设计验算点选择在失效边界上，因此它与真正的失效边界相距最近。同时，如果极限状态函数不是高次非线性，则两者相距更近，这时使用改进一次二阶矩法将会获得更好的结果。

由于改进一次二阶矩法优于均值一次二阶矩法，工程实际可靠度计算中，改进一次二阶矩法已作为求解可靠指标的基础，并将“改进”二字去掉直接称为“一次二阶矩法”。用一次二阶矩法求出的结构可靠指标β，只有在统计独立的正态分布变量和具有线性极限状态方程下才是精确的。在工程结构可靠度分析中，一般假设变量是统计独立的，而且建筑结构设计规范中的极限状态方程大多是线性的，因此，关键是变量分布。如果都是正态分布，则用改进一次二阶矩法可以得到相当好的结果；否则只能得到近似的结果。工程结构中的随机变量并非都是正态分布，如风荷载、雪荷载、活荷载等一般不是正态分布，而是极值Ⅰ型或Γ分布。为了解决这个问题，下面针对一般分布下结构可靠度的计算，介绍几种应用最广泛的方法。

2.5.3.2 验算点法（JC法）

JC法的基本原理：首先把随机变量Xi原来的非正态分布用正态分布代替，但对于代替的正态分布函数要求在设计验算点处的累积概率分布函数 （CDF）值和概率密度函数 （PDF）值都和原来的分布函数的CDF值和PDF值相同，见图2-5-6。然后根据这两个条件求得等效正态分布的均值和标准差。最后用一次二阶矩法求结构的可靠指标。

图2-5-6 JC法的等效正态分布

下面讨论如何利用上述当量正态化的方法，求解等效正态分布的均值和标准差。

利用处CDF值相等条件：

原来分布概率为），代替正态分布的概率为

根据条件，要求以上概率相等，得

利用处PDF值相等条件：

原来分布的概率密度为，代替正态分布的概率密度为

根据JC法条件，要求以上概率密度值相等，得

由式（2-5-76）解出

代入式（2-5-77）得

从而得到

最后由式（2-5-78）得

以上是用JC法求等效正态分布的均值和标准差的一般公式，具体计算时如果遇到正态变量，则不必运用式 （2-5-79）和式 （2-5-80），而直接把该变量的均值和标准差作 “代替变量”的均值和标准差。遇到对数正态分布，式 （2-5-79）和式 （2-5-80）还可以进一步简化。

根据式（2-5-26）和式（2-5-27），有

再由式（2-5-30）可得

依据概率论，有

式（2-5-81）和式（2-5-83）表示对数正态分布下变量xi的累积概率分布函数和概率密度函数，把它们代入式（2-5-79）和式（2-5-80）得对数正态分布变量xi的代替正态变量的均值和标准差为

化简后得

从而得

式中，由式 （2-5-82）计算，但式中的。

利用式（2-5-84）和式（2-5-85）不必借助标准正态分布表，而直接求对数正态分布下的代替正态分布的均值和标准差。

等效正态分布的均值和标准差确定之后，JC法求解结构可靠指标的过程与改进一次二阶矩法大致相同，下面就是用该法计算可靠指标β的步骤：

（1）假定一个β值。

（2）对所有的i值，选取设计验算点的初值，一般取。

（3）用式 （2-5-79）和式 （2-5-80）计算。

（4）计算值。

（5）用式（2-5-73）计算灵敏系数αi。

（6）用式 （2-5-75）计算的新值。重复步骤 （3）～（6），一直算到前后两次差值在允许范围内为止。

（7）利用式 （2-5-75）计算满足）=0条件下的β值。

（8）重复步骤（3）～（7），一直算到前后两次所得的β的差值的绝对值很小为止（如≤0.05）。

同改进一次二阶矩法一样，取消步骤（6），同样可以得到正确的结果。此外，如果步骤（7）、（8）换成改进一次二阶矩法中的计算步骤（7）、（8）中的内容，则可以回避通过极限状态方程解β值，并同样可得正确的结果。

上述迭代计算的收敛速度取决于极限状态方程的非线性程度，一般来说，5次以内即可求得β值。

2.5.3.3 分位值法

采用JC法进行结构可靠指标计算时，在每一次迭代过程中需要根据验算点的变化计算各随机变量的等效正态分布的平均值和标准差，因此计算比较繁琐。分位值法的原理与JC法基本相同，是JC法的一种改进方法。它在计算过程中不需要像JC法那样，根据设计验算点的变化，反复修正等效正态分布的平均值和标准差，计算比较直接简单，特别是在进行分项可靠指标的计算时，更能显示其优越性。分位值法与JC法一样，适用于基本变量为任意概率分布以及结构极限状态方程为线性和非线性的情况。

分位值法的基本原理为：设影响结构可靠度的n个随机变量为X1，X2，…，Xn，则结构的极限状态方程为

将随机变量按式（2-5-87）进行“约化高斯变量”的变换，即

式中——基本随机变量的约化高斯变量；

Φ -1（·）——标准正态分布函数的反函数；

）——基本变量的分布函数。

由式（2-5-87）可得

将式（2-5-88）代入极限状态方程式（2-5-86），得

为了计算上的便利，用符号代替，则式 （2-5-89）可写成

式中，可理解为基本变量Xi对应于分位概率为的分位值。称式 （2-5-90）为以基本随机变量分位值表达的结构极限状态方程式。以 “约化高斯变量”为坐标的多维空间极限状态超曲面如图2-5-7所示。这一空间称为“高斯空间”。

图257 多维空间极限状态超曲面

设图2-5-7中坐标原点O至极限状态方程超曲面的法线为，在P*点作极限状态超曲面的切平面，则该切平面的方程式可由极限状态方程在点P*进行泰勒级数展开，并忽略二次以上项得到，即

式中，>（i=1，2，…，n）为式 （2-5-88）中当（即P*的投影点）时的Xi值，省写成的数值确定后，也随之确定。为函数G对应于的偏导数在P*点的值。式 （2-5-91）可写为

式中，均为随机变量，右边二项为常数项，则坐标原点至切平面的法线距离为

即结构极限状态方程曲面至原点的法线距离为。

根据一次二阶矩分析，在高斯空间中结构极限状态方程曲面至原点O的距离等于结构可靠指标β，则

法线与坐标轴的余弦为

则

式（2-5-95）、式（2-5-96）的偏导数为

式中为随机变量Xi对约化高斯变量的导数，称为分位导数，以符号表示，则式 （2-5-97）可写为

代入式（2-5-94）、式（2-5-96）得

式（2-5-99）、式（2-5-100）就是分位值法求结构可靠指标β的基本公式。

由于在按式（2-5-99）、式（2-5-100）进行结构可靠指标β的计算时，式（2-5-99）中包含了未知项，而在求算的式 （2-5-100）中包含了可靠指标β，因此一般需采用迭代法求解。

在用分位值法确定极限状态设计式中的分项系数时，注意到在高斯空间坐标系中，由原点O至极限状态超曲面的距离认为等于结构的可靠指标β，其中法线端点P*称为结构极限状态方程的 “设计运算点”，它在高斯空间坐标系中对应的坐标值称为基本变量的理论分项可靠指标，它可理解为结构的可靠指标按各基本变量变异性的大小，分配给各基本变量的分项可靠指标的数值。同样将式 （2-5-97）代入式 （2-5-95）得

结构极限状态方程中各基本变量Xi的 “分项可靠指标”即经求得，则可通过对各基本变量 “约化高斯变量”的反变换，求得相应的 “设计值“，即

式中 Φ（·）——标准正态分布函数；

）——基本随机变量的概率分布的反函数。

式（2-5-95）、式（2-5-97）、式（2-5-102）、式（2-5-103）为求算结构极限状态设计式中各基本变量“分项可靠指标”和“设计值”的基本计算公式。在按以上这些公式进行计算时常用迭代法。

结构极限状态设计式中各基本变量Xi在各种设计计算情况下的 “设计值”即经求得，则可按以下方法计算作用效应和材料抗力的理论分项系数。

作用效应分项系数为

材料抗力的分项系数为

式中 Xik——基本变量xi的标准值。

2.5.4 结构体系的可靠度分析

地下空间结构由于其特定的周围环境，属于超静定结构。前面的可靠性分析的方法主要是针对单一的结构构件（元件）或构件中的某一截面的可靠度。实际上，对地下空间结构，其结构构成非常复杂，从构件材料来看，有脆性材料、延性材料、单一材料及多种材料，从失效的模式上也有多种。例如，当挡土结构的单一失效模式有倾覆、滑移和承载力不足3种，或者由这三者组合。从结构的构件组成的系统来看，有串联系统、并联系统、混联系统等。对有支撑的基坑围护结构，如支撑体系中一根支撑破坏，很有可能导致整个基坑的失稳，基坑的支撑系统就是串联系统。本节主要介绍结构体系可靠度的分析方法。

2.5.4.1 基本概念

1.结构构件的失效性质

构成整个结构的各构件（连接也看成特殊构件），由于其材料和受力性质的不同，可分为脆性和延性两类构件。

脆性构件是指一旦失效立即完全丧失功能的构件。例如，隧道工程采用的刚性构件一旦破坏，即丧失承载力。

延性构件是指失效后仍能维持原有功能的构件。例如，隧道工程中采用的柔性衬砌具有一定的屈服平台，在达到屈服承载力时能保持该承载力而继续变形。

构件失效性质不同，其对结构体系可靠度的影响也不同。

2.结构体系的失效模型

结构由各个构件组成，由于组成结构的方式不同以及构件的失效性质不同，构件失效引起结构失效的方式也具有各自的特殊性。但如果将结构体系失效的各种方式模型化后，总可以归并为3种基本形式，即串联模型、并联模型和混合联合模型。

（1）串联模型。

若结构中任意一个构件失效，则整个结构也失效。具有这种逻辑关系的结构系统可用串联模型表示。

所有静定结构的失效分析均可采用串联模型。例如，一个盾构隧道，各个管片可看成一个串联系统，其中每一个管片均可看出串联系统的一个元件，只要其中一个元件失效，整个系统就失效。对于静定结构，其构件是脆性的还是延性的，对结构体系的可靠度没有影响。图2-5-8是串联元件的逻辑结构。

图2-5-8 串联元件的逻辑结构

（2）并联模型。

若结构中一个或一个以上的构件失效，剩余的构件或已失效的延性构件，仍能维持整体机构的功能，则这类结构系统为并联系统。

超静定结构的失效可用并联模型表示。图2-5-9所示为并联元件的逻辑结构。在输入与输出之间有n条路径，只有在全部路径都被堵塞时，整个系统才破坏。对于并联系统，元件的脆性或延性将影响系统的可靠度及其计算模型。脆性元件在失效后将逐个从系统中退出工作，因此在计算系统的可靠度时，要考虑元件的失效顺序。而延性元件在其失效后仍在系统中维持原有的功能，因此只要考虑系统最终的失效形态即可。

图2-5-9 并联元件的逻辑结构

（3）混合联合模型。

在延性构件组成的超静定结构中，若结构的最终失效形态不限于一种，则这类结构系统可用串—并联模型，即混合联合模型表示，如图2-5-10所示。

图2-5-10 混联元件的逻辑结构

3.构件和失效形态间的相关性

值得注意的是，构件间和失效形态间的相关性，这是因为构件的可靠度取决于构件的荷载和抗力，在同一个结构中，各构件的荷载效应来源于同一荷载，因此，不同构件的荷载效应之间应有高度的关联。另外，结构内的部分或全部构件可能由同一材料制成，因而构件的抗力之间也应有一定的相关性。可见，同一结构中不同构件的失效有一定的相关性，所以评价结构体系的可靠性，要考虑各失效形态之间的相关性。相关性的存在，使结构体系可靠度的分析问题变得非常复杂，这也是结构体系可靠度计算理论的难点所在。

2.5.4.2 结构体系可靠的上下界

在特殊情况下，结构体系可靠度可仅利用各构件可靠度按概率论方法计算。以下记各构件的工作状态为Xi，失效状态为，各构件的失效概率为Pfi，结构系统的失效概率为Pf。

1.串联系统

对于串联系统，设系统有n个元件，当元件的工作状态完全独立时，则

当元件的工作状态完全相关时，有

一般情况下，实际结构系统处于上述两种情况之间，因此，一般串联系统的失效概率也将介于上述两种极端情况的计算结果之间，即

可见，对于静定结构，结构体系的可靠度总不大于构件的可靠度。

2.并联系统

对于并联系统，当元件的工作状态完全独立时，有

当元件的工作状态完全相关时，有

因此一般情况下，有

显然，对于超静定结构，当结构的失效形态唯一时，结构体系的可靠度总不小于构件的可靠度，而当结构的失效形态不唯一时，结构的每一失效形态对应的可靠度总不小于构件的可靠度，而结构体系的可靠度又总不大于结构每一失效形态所对应的可靠度。

2.5.4.3 结构体系失效概率的基本表达式

假定m已经是由上面方法得到的m个主要的失效模式，其功能函数如式（2-5-3）所示，则结构体系的失效概率为

如果功能函数是非线性的，则利用上面介绍的一次二阶矩方法，将各非线性功能函数在各自的验算点处线性化为ZLi（i=1，2，…，m），这样结构体系的失效概率近似表示为

式中——各失效模式的可靠指标构成的可靠指标向量；

——功能函数间的线性相关系数矩阵；

Фm（·）——m维标准正态分布函数。

各失效模式的结构可靠指标β可以用JC法、映射变换法或使用分析法求得。若计算β时采用了JC法或使用分析法，则失效模式间的线性相关系数由式（2-5-114）计算，即

其中

而为当量随机变量间的相关系数。

若计算β时采用映射变换法，则失效模式间的线性相关系数由式（2-5-115）计算，即

式中——第i个极限状态方程的第k个方向余弦。

在确定了向量β和矩阵ρ后，则可得结构体系的失效概率由式（2-5-116）计算，即

其中

为m维标准正态概率分布密度函数，det（·）表示行列式的值，ρ-1为ρ的逆矩阵。

由式（2-5-116）可以看出，结构体系失效概率为一高维积分，在实际工程中很难求解，因此，需要研究简便而精度能满足工程应用要求的方法。目前工程实用的方法包括两类：一类是“区间估计法”；另一类是“点估计法”。区间估计法就是利用概率论的基本方法划定结构体系失效概率的上、下限，主要包括“宽界限法”和“窄界限法”。也有一些学者提出更窄的界限估计公式，但总的规律是界限越来越复杂，但精度改善有限。因此实际应用不多。点估计方法则是经过适当的近似处理，将具有多个积分边界的复杂高维积分问题，转化为简单的一般容易解决的问题，从而获得问题的近似解。

2.5.5 蒙特卡罗法简介

在目前可靠度计算中，它被认为是一种相对精确的方法，常用来校核其他方法的计算结果。

由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估计。因此，可以先对影响可靠度的随机变量进行大量随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构失效与否，最后从中求得结构的失效概率。

蒙特卡罗法就是依靠上述思路求解结构失效概率的。该法使结构可靠度的分析有可能通过电子计算机试验进行。蒙特卡罗模拟法（Monte-Carlo Simulation）也被称为随机抽样法、概率模拟法或统计试验法，通过随机模拟来对客观的现象进行研究的一种方法。

2.5.5.1 基本原理

设有统计独立的随机变量X1 ，X2 ，…，Xn，其对应的概率密度函数分别为，，…，，功能函数为Z=g（X1 ，X2 ，…，Xn）。

现在计算本结构的失效概率Pf。

（1）首先用随机抽样分别获得各变量的抽样点x1，x2，…，xn，如图2-5-11所示。

图2-5-11 各随机变量的抽样点

（2）计算功能函数Zi：Zi=g（x1，x2，…，xn）。

（3）设抽样数为N，每组抽样变量分位值对应的功能函数值为Zi，Zi≤0的次数为L，则在大批抽样之后，结构失效概率可由式Pf=L/N计算出。

可见在蒙特卡罗法中，失效概率就是结构失效次数占总抽样数的频率，这就是蒙特卡罗法的基本点。

用蒙特卡罗法计算结构的失效概率时，有两个具体问题需要进一步解决，即：①如何进行随机抽样？②怎样才算大批取样？

问题①要求掌握随机数的产生方法，这问题比较复杂，在下面专门讨论。问题②实际是要求规定最低的取样数N的问题。取样数N同计算成果精度有关。设允许误差为ε，有文献建议用95%的置信度以保证用蒙特卡罗法解题的误差，则ε为

由式（2-5-118）可见，结构模拟数N越大，误差ε越小。因此，要达到一定的精度，N必须取得足够大。为简便起见，还有文献建议N必须满足

式中 Pf——预先估计的失效概率。

由于Pf一般是一个很小的数，这就要求计算次数很多。例如，工程结构的失效概率一般在0.1%以下，这就要求计算次数须达10万次以上。这个要求使采用计算机分析时不是遇到困难，就是花费过多的时间。为此，目前正在研究如何在计算次数不太多的情况下得到满足精度要求的Pf值。

2.5.5.2 随机变量的取样

用蒙特卡罗法解题的关键是求已知分布的变量的随机数。为了快速、高精度地产生随机数，通常要分两步进行。首先产生在开区间（0，1）上的均匀分布随机数，然后在此基础上再变换成给定分布变量的随机数。

1.伪随机数的产生和检验

产生随机数一般是利用随机数表、物理方法和数学方法等3种方法，其中，数学方法以其速度快、计算简单和可重复性等优点而被人们广泛地使用。随着对随机数的不断研究和改进，人们已提出了各种数学方法，其中较典型的有取中法、加同余法、乘同余法、混合同余法和组合同余法。虽然这些方法都各自存在着缺点（正是由于这些缺点，人们把这些方法产生的随机数称为伪随机数），但只要选择适当的参数，是可以使之消失的。上述方法中，尤以乘同余法以它的统计性质优良、周期长等特点而更被人们广泛地应用。为此，这里着重介绍此法。

乘同余法的算式为

式中，a、c和m为正整数。

式（2-5-120）表示以m为模数的同余式，即以m除（axi+c）后得到的余数记为xi+1。具体计算时，最好再引入一个参数ki，令

式中，符号lnt表示取整。这时求余数就很方便了。由

并将xi+1除以m后，即可得标准化的随机数μi+1，即

具体计算时，已知xi，利用式（2-5-121）～（2-5-123）求μi+1值。

例如，设a=3，c=1，m=5，试求8个随机数。

作为xi的初值x0取为1.0，利用式（2-5-121）得

由式（2-5-122）得

x 1=3×1+1-5×0=4

再由式（2-5-123）得

μ 1=4/5=0.8

以上是i=1的结果。下面令i=2，得

最后把不同i值及其对应的8次μi计算成果列出如下：

从所得的结果可见，这组随机数出现周期为4的规律。这种随机数不好，是很粗糙的伪随机数。产生这种规律的原因在于常数m选得太小了。这里有m=5，周期为4，周期数小于m。因此，为了得到在相当长的数列中才发生周期性的规律，可以将m取大些。在长数列中取出小部分数，就不会遇到周期性问题。

以上讨论的是如何产生（0，1）间的随机数。为了判断所得伪随机数能否代替随机数，一般还应对伪随机数进行统计检验，主要是检验其均匀性和独立性。

下面讨论如何通过随机数去获得实际分布变量的随机数。

2.给定分布下变量随机数的产生

由于目前结构可靠度计算中，一般常用正态分布、对数正态分布及极值Ⅰ型分布，因此，下面着重介绍这3种分布函数随机数的产生。

（1）正态分布。

由于这种分布应用极广，因此对于这种变量的模拟，人们已发展了很多方法。其中坐标变换法产生随机数的速度较快、精度较高。现介绍如下：

设随机数μn和μn+1是0～1区间的两个均匀随机数，则可用下列变换得到标准正态分布N（0，1）的两个随机数，即

如果随机变量X是一般正态分布N（mX，σX），则其随机数xn和xn+1算式变成

这里随机数成对产生，不仅互相独立，而且服从一般正态分布。

（2）对数正态分布。

对数正态分布变量随机数产生的方法是先将均匀随机数变换为正态分布随机数，然后再转换为对数正态分布随机数。

设X为对数正态分布，有均值mX、标准差σX、变异系数δX，因为Y=lnX为正态分布，所以根据式（2-5-26）和式（2-5-27），得其标准差和均值分别为

Y的随机数可由式（2-5-124）和式（2-5-125）产生。设已得Y的随机数为yi，最后可得X的随机数为

（3）极值Ⅰ型分布。

极值Ⅰ型分布变量的随机数一般是通过其积累概率分布函数得到的。因此，这里先讨论一般分布变量随机数的产生。

对于任意分布变量，设已知其积累概率分布函数为FX（x），则其随机数可以由式（2-5-127）得到，即

式中 ui——0～1区间的均匀随机数。

可以证明，这样得到的随机数xi是从具有概率密度为fX（x）的母体中抽出来的一个样本值。

下面以极值Ⅰ型为例说明式（2-5-127）的应用。极值Ⅰ型变量的分布为

式中，α、k都是常量，同X的均值mX和标准差σX有关。设已产生随机数u1，则由式（2-5-127）可得

从中解出

利用极值Ⅰ型α及k的近似公式，有，把它们代入式 （2-5-128）得

蒙特卡罗法的计算工作量一般都很大，整个工作最好通过编写程序由计算机完成。为了克服模拟次数太多这一缺点，人们已通过各种途径寻找模拟次数基本保持在某一定值的方法。

蒙特卡罗模拟法的主要优点：这是一个普遍的方法，只要当状态变量的分布为已知时就可以应用，它不会因状态变量为非正态分布、状态变量彼此相关、状态函数的非线性等问题而发生困难而使精度降低。因为蒙特卡罗法的误差只与标准差和样本容量N有关，而与样本元素所在空间无关，则它的收敛速度与问题维数无关；同样，蒙特卡罗法的收敛是概率意义下的收敛，可指出其误差以接近1的概率不超过某个界限，亦与问题维数无关。由于蒙特卡罗方法分析结果具有相对精确的特点，常用于各种可靠度近似分析方法计算结果的校核。蒙特卡罗方法也存在局限性，主要是蒙特卡罗法的收敛速度慢，因此花费机时数较大。