第五节 无功补偿的动态优化
一、动态规划
1.阶段
动态规划问题是一个多阶段（Stage）的决策问题，即在决策的过程中把所论述的问题恰当地分成相互联系的阶段。在电容补偿中如果有k组电容器，则可将问题分为k个阶段，即将第一组电容器投入网络为第一阶段，将第二组电容器投入网络为第二阶段，……，将k组电容投入网络为第k个阶段。
2.决策
决策（Decision）是阶段状态的选择。对第k组电容器而言，其投入电网则说明问题处在第k个阶段。但是，第k组电容器可以接在第1，第2，…，第i，…，第m个节点，那么，则说在第k阶段有m个状态。假如，在第k个阶段选择了节点i，即第k组电容器接在第i个节点，则代表第k个阶段的第i个决策。当节点i改变时，从而构成第k个阶段决策的集合。今设第k阶段第i个决策为Ck（i），则第k阶段决策的集合为{Ck（i）}阶段决策的集合，即{Ck（i）}称其为阶段的策略或子策略。
设第k阶段的最优决策为
maixCk（i）
则表明第k组电容器补偿在节点i是最佳的。
3.策略
k个阶段决策的全过程称为策略（Policy）。因此，策略可包含若干个阶段策略或子策略，每个阶段最优决策的综合，便构成了最优策略，即最优策略为
k
Pmax=∑
maixCk（i）
（251）
k=1
4.目标函数
目标函数是用来确定决策过程优劣的一种数量指标。其是定义在全部决策过程中和后部子过程中的确定的数量函数。对电容补偿而言，所追求的目的可以是线损最小、造价最
低，或者是净节约值最大等数量函数。如设目标函数是fk（Xk），则动态规划为
CCmmianx==mmianx{f{fkk（（XXkk））}}}
（252）
5.约束条件
在优化过程中要追求目标函数的极大值或极小值，但是所追求的极值都是有条件的，即所谓条件极值。例如，在电容补偿中，将第k组电容器接在第i个节点时线损最小，但此时必须满足节点的电压限制，即当第k组电容器接于节点i时，节点i的电压必须小于网络电压的上限，用公式表示则为
Ui≤Umax
（253）
这种对问题的限制条件称为约束。
二、配电网无功补偿优化的基本思路
对配电网来说，补偿装置设计的优化，除了确定最优补偿容量外，尚需确定最优补偿位置，这就使问题变得相当复杂。为了解决这种复杂问题，将总补偿容量按厂家给出的电容单台标准容量分为k个离散的三相电容组，一组一组地逐次寻求最优解，即将问题化为k个独立的子问题求解。整个寻优的过程是：
（1）从一条分支线路的最末一个节点开始，校验当该点补偿一个标准电容器组时，各负荷点的电压是否越过上限Umax。如果越限，则转移到同一分支线路上往变电所方向的下一邻近节点，作相似计算。
（2）对节点i补偿第k组标准电容时，如果满足电压约束条件，则计算补偿后所获得的净节约现值Ck（i），如果Ck（i）＜0，则废去这个补偿点。
（3）对下一节点同样计算净节约现值，并与前一节点的现值相比较，如果该点节约现值小于前一节点的现值，则前一节点可作为初选的可能补偿点，否则重复本步计算。
（4）对全部分支线重复上述过程，即可得第k组电容器决策的集合{Ck（i）}，找出集合中净节约现值maix{Ck（i）}，则可确定第k组电容器安装的补偿点。
（5）在已确定电容器起作用的情况下，如果再有新的补偿容量投入网络，则可能使Ck（i）全部小于0，这时集合{Ck（i）}将为空集，寻优便告结束。
三、节约现值Ck（i）的数学模型
动态优化用于电容补偿，其所追求的目标函数可以是下列各项。1.追求电能损耗的节约值最大
电能损耗的年节约值可以列出下述表达式：
E=Ce（El（ki）+Et（ki））
（254）
式中 Ce———电能损耗的年价格，元/（kW·h）；
El（ki）、Et（ki）———线路和变压器在节点补偿后的电能损耗减小值。优化的结果当然是式（254）所表示的数值越大越好。2.追求净节约现值最大
如果所追求的目标函数是电能损耗和电容器投资的综合节约值最大，则目标函数可表示成下述形式：
SY=Ce（El（ki）+Et（ki））-（α+β）[CqQck+aQe]
（255）
式中 α、β———折旧率和投资回收率；
Cq———单位电容价格，元/kvar；Qck———标准电容器容量，kvar；
Qe———补偿电容的固定投资，元；
a———逻辑变量，a=0表示重复在节点i补偿标准电容器组，a=1表示第一次
在节点i补偿标准电容器组。
3.追求功率、电能和电容投资的净节约现值最大
如果目标函数中尚包括功率的节约值，则目标函数具有下述形式：
Ck（i）=CpFp[Pl（ki）+Pt（ki）]+CeFe[El（ki）+Et（ki）]-（α+β）[CqQck+aQe]（2 5 6）
式中 Cp———系统电力需求量减小值的年价格，元/（kW·h）；
Fp、Fe———偿还年限内，因负荷增长、成本提高，分别就功率、能量损耗减小值引入
的修正系数。四、电能减小值的计算
（1）节点i因补偿第k组电容器后，凡是有第k组电容器的无功电流流过的线段，其功率损耗都要下降。因为装设第k组电容器是阶段的决策，那么，其余k-1组电容器在配电网中装设的决策已进行完毕。
若原网络流过第n段线段的无功功率为Qn，max，当装设组k-1电容器后流过同一线段
的无功功率为Q′n，max，则
k-1
Q′n，max=Qn，max-∑
Qcj
（257）
j=1
此时，第n段线路的功率损耗为
Pk-1=P2maxRn+Q′2n，maxRn
×10-3
（258）
U2e
当节点i装设第k组电容Qck后，第n段线段的功率损耗为
Pk=P2max+（Q′n，max-Qck）2
Rn×10-3
U2e
于是，功率损耗的减小值为
Pl（ki）=1013U2en∑∈Ni（2QckQ′n，max-Q2ck）Rn
（259）
式中 Rn———n段电阻，Ω；
n∈Ni———n属于Ni的线段；
Ni———当节点i补偿时，补偿电流流经的各线段。
将式（257）代入式（259），Pl（ki）可以写成
k-1
Pl（ki）=10Q3ckU2e[2n∑∈NiQn，max-2∑
QcjRij-QckRij]
（2510）
j=1
式中 Rij———节点i和j到变电所两条潮流路径所共有路径中各线段的电阻，Ω，如图2
5 1所示。
于是，年电能损耗的减小值为
8760
El（ki）=∫
Pl（ki）dt
0
k-1
=8170630UQ2eck[2n∑∈NiRnQn，pj-2∑
QcjRij-QckRij]
j=1
（2511）
图251 配电网中共有路径
其中
（2512）
的Rij和Xij图形
Qn，pj=87160∫80760Qn（t）dt
（2）节点i因补偿第K组电容器后，在变压器后，
在变压器铁芯中尖峰功率损耗的减少值Pt（ki）为
Nt
U2j-（Uj+ΔUij）2
Nt
-2UjΔUij-ΔU2ij
Pt（ki）=∑
Poj=∑
j=1
U2e
j=1
U2e/Poj
当忽略高次项后，有
Nt
Pt（ki）=-U22e∑
PojΔUij
（2513）
j=1
式中 Nt———配电变压器台数；
ΔUij———节点补偿标准电容器组后，在节点引起的电压增量。若近似地用额定电压计算电压增量，则
ΔUij=QckXij
103Ue
于是有
Nt
Pt（ki）=-120Q3Uck2e∑
PojXij
（2514）
j=1
这时，电能损耗的减小值Et（ki）为
Nt
Et（ki）=∫80760Pt（ki）dt=-1023UQc2ek∑
PojXijTj
（2515）
j=1
式中 Tj———第j台变压器的年运行小时数。
五、电压约束
因第K组电容器补偿于节点i时，在节点i引起的电压增量为
ΔUgk=Q10ck3XUgei，g=1，2，…，n
于是，电压约束条件可以表示为
k-1
Ug+ΔUgk+∑
ΔUij≤Umax
（2516）
j=1
式中 Umax———配电网电压上限。
六、计及并联电容器固定投资时补偿点的修正
配电网无功补偿的固定投资主要是指为了安装电容器而增加的开关设备、杆塔、角钢
台架、金具等的投资，以及为了安装电容器的施工费用。若配电网中某一节点是第一次安装标准电容器组，则应计入固定投资，即在公式（255）中取a=1，若某节点系重复安装标准电容器组，则应略去固定投资，即在公式（255）中取a=0。
图252 配电网的简单分支线路
由于计入固定投资对目标函数Ck（i）的影响，有可能使各阶段的决策不是独立的。现用图252所表示的简单情况来说明这个道理。
今设节点2和3的无功负荷分别为Q2和Q3。
（1）如果Q2和R2均较大，则需要补偿若干组标准电容器。当k=1，进行第一次决策时，由于
Pl（13）＞Pl（12）
故有
C1（3）＞C1（2）
此时，应将第1组电容器置于节点3。
（2）当k=2，进行第二阶段决策时，由于第二组电容器重置于节点3，因此，其将不计入固定投资，显然这时有
Q3-2Qck
的电流流过R3 ，而因为假定Q3=Qck，故流过
R3的电流为-Qck。致使
Pl（22）＞Pl（23）
如果R3值较小，则可能存在
Q2ck
103V2NR3（CpFp+8760CeFe）＜Qe（α+β）
（2517）
根据式（256），仍得到
C2（3）＞C2（2）
即应把第2组电容器仍置于节点3。
依此类推，应把若干组电容器皆置于节
点3。
（3）显然，上述方案是错误的，最优补偿方案应是将电容器集中安装在节点2上。产生这种错误的原因是固定投资的影响，因此，每进行一个阶段的决策时，应该用式（2517）进行校验，并按式（257）修正最邻近一个已补偿的节点位置即可。
图253 动态优化无功补偿
七、程序设计
程序设计流程
程序设计的流程如图253所示。