3.3 物体系的平衡·静定和静不定问题

前面研究的都是单个物体平衡问题，但工程中机械或结构通常比较复杂，一般是由多个物体通过一定的约束组成的系统，力学上称为物体系统（简称“物系”）。在物体系统中，一个物体受力和其他物体相联系，系统整体受力又和局部相联系。研究物体系统的平衡问题，不仅要求出系统所受的外力，而且要求出系统内部各物体之间相互作用的内力。应用平衡条件求出系统中所有的这些未知力，并对物体系统平衡的研究是静力学平衡方程极为重要的综合应用。

3.3.1 静定和静不定（超静定）的概念

考察一个平衡的物体系统，能否用静力平衡条件求出每个结构的全部未知力，从数学上讲，就是分析比较整个系统中未知量个数和所能列出的独立平衡方程的数目。对几何不变系统，当这两者数目相等时，所有未知量可解，这种平衡系统称为静定的。若未知量数目多于独立平衡方程数目时，仅用静力平衡方程不能求出全部未知量，这种系统称为静不定的，也叫超静定。全部未知量的个数与独立平衡方程个数之差，也就是超出的未知量数目，成为系统的超静定次数。如图3.10(a)所示平面横梁，受力如图3.10(b)所示，各力组成平面任意力系。其中未知约束力为4个，而独立平衡方程只有3个，故该系统为一次超静定系统。

当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平衡状态。这是解决这类问题的基本思路。对于n个构件组成的几何不变体，受力若为平面任意力系，则其独立平衡方程个数为3n，全部未知量个数为x，则：

(1)当x=3n时为静定系统。如图3.11(a)所示，结构为静定结构。

(2)当x>3n时为超静定系统。如图3.11(b)所示，结构为超静定结构。

(3)当x<3n时约束不够，系统可动。如图3.11(c)所示，这种系统一般不能作为结构使用。

注意：在计算独立平衡方程个数时，需先判断各力系的类型。如，平面汇交力系只有2个独立的平衡方程，平面平行力系只有2个独立的平衡方程，平面力偶系只有1个独立的平衡方程。超静定问题已超出静力学的范围，一般在后续的材料力学和结构力学中研究。

3.3.2 物体系统平衡问题的解法

因物系平衡时系统整体平衡，系统中的每个物体也平衡，可取整体或部分系统或单个物体为研究对象，运用平衡条件求解。求解静定的物体系问题时，一般有两种思路，即可选取系统中每个物体为研究对象，列出全部平衡方程，然后联立求解；也可先取系统整体为研究对象，列出的平衡方程因为不包含各物体间的内力，式中未知量较少，解出部分未知量或得到部分条件后，再根据情况从系统中选取某些物体作为研究对象，列出其他平衡方程，直到求出所有未知量。使用后一种方法求解物系平衡问题，应注意以下两点：

（1）根据具体问题的已知条件和所求目标，确定具体的求解思路。通常是先分析整体后再分析某局部，或先分析某局部再分析整体。灵活选取研究对象，尽量减少方程数。

（2）适当地选取投影轴和力矩轴，尽量减少方程中的未知量，最好使方程中只含有一个未知量。一般可选取与多个未知量相垂直的轴为投影轴，选与多个未知力相交或平行的轴为力矩轴。

【例3.7】 构架由杆AB、AC和DF组成，如图3.12(a)所示。在DF杆上的销子E可在杆AC的光滑槽内滑动，不计各杆的自重，在水平杆DF的一端作用铅直力F，试求铅直杆AB上的铰链A、D和B所受的力。

解：（1）选整体为研究对象，作用在它上的主动力是在F点的集中荷载F，约束力为固定铰支座B、C的垂直分力F_Bx、F_By和F_Cx、F_Cy，如图3.12（b）所示。列平衡方程：

（2）选杆DF为研究对象，作用在它上的主动力是在F点的集中荷载F，约束力为D铰处的垂直分力F_Dx、F_Dy和销子E处垂直于杆AC的力F_NE，如图3.12（c）所示。列平衡方程：

由式(b)解得

代入式(c)和式(d)得

F_Dx=-2F，F_Dy=-F

（3）选杆AB为研究对象，受力如图3.12（d）所示。列平衡方程：

将F_Dx=-2F代入式(e)和式(f)再联立式(g)得

F_Bx=-F，F_Ax=-F，F_Ay=-F

【例3.8】 如图3.13(a)所示，水平梁是由AB、BC两部分组成的，A处为固定端约束，C处为铰链连接，B端为滚动支座，已知：F=10kN，q=20kN/m，M=10kN·m，几何尺寸如图3.13所示，试求A、C处的约束力。

解：

（1）选梁BC为研究对象，作用在它上的主动力有：力偶M和均布荷载q；约束力为B处的两个垂直分力F_Bx、F_By，C处的法向力F_NC，如图3.13（b）所示。列平衡方程：

解得

F_NC=43.33(kN)

（2）选整体为研究对象，作用在它上的主动力有：集中力F力偶M和均布荷载q；约束力为固定端A两个垂直分力F_Ax、F_Ay和力偶矩M_A，以及C处的法向力F_NC，如图3.13（c）所示。列平衡方程：

由式（b）～式（d）解得A、C端的约束力为

F_Ax=0，F_Ay=26.67(kN)，M_A=86.7(kN)

各力方向如受力图所示。

【例3.9】 电动机通过皮带传动，等速地将重物提升如图3.14所示。已知r=10cm，R=20cm，L=30cm，L′=40cm，G=10kN,T₁=2T₂,求皮带的拉力以及轴承A、B处的约束反力（其他尺寸见图）。

解:选取传动轴、鼓轮和重物所组成的系统为研究对象，作用在系统上的力有：重物所受的重力G，皮带的拉力T₁和T₂，轴承A和B的约束反力F_Ax、F_Az、F_Bx、F_Bz，系统的受力图如图3.14所示，选取如图所示的坐标轴。

作用在系统上的力系是空间任意力系，列出其平衡方程式为

∑M_y(F)=0,RT₁-RT₂-rG=0

将T₁=2T₂代入上式得