3.2 力系平衡问题举例

利用力系的平衡条件和平衡方程式，只能求解六个未知量，解题时必须进行受力分析，解题思路如下：

(1)必须搞清楚题意，根据已知条件和要求解的未知量，选取研究对象和坐标系。

（2）分析作用在研究对象上的全部主动力和约束反力，画出研究对象的受力图。

（3）根据所画的受力图，判断它为哪类力系，然后选取适当的坐标轴，列出与所属力系相对应的平衡方程式求解。

【例3.1】 如图3.4（a）所示，重物G=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。

解:（1）AB、BC两杆都是二力杆，假设杆AB受拉力，杆BC受压力［图3.4（b）］。为了求出这两个未知力，可通过求两杆对滑轮的约束反力来解决。因此选取滑轮为研究对象。

（2）滑轮受到钢丝绳的拉力T₁ 和T₂ [图3.4（c）]。已知T₁=T₂=G。由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可看作汇交力系。

（3）选取坐标轴［图3.4（c）］。为使每个未知力只在一个轴上有投影，在另一轴上的投影为零，坐标轴应尽量取与未知力作用线垂直的方向。

（4）列平衡方程：

∑F_ix=0,-S_AB+T₁cos60°-T₂cos30°=0

∑F_iy=0, S_BC-T₁cos30°-T₂cos60°=0

（5）求解方程：

S_AB=-0.366G=-7.32kN

S_BC=1.366G=27.32kN

所求结果S_BC为正值,表示这力的假设方向与实际方向相同，即BC杆受压；S_AB为负值，表示这力的假设方向与实际方向相反，即杆AB也受压。

【例3.2】 起重杆CD在D处用铰链与铅垂面连接，另一端C被位于同一水平面的绳子AC与BC拉住，C点挂一重量为G的物体，这时起重杆处于平衡［图3.5（a）］。已知P=1000N，AE=BE=0.12m，EC=0.24m，β=45°，不计杆CD的重量，求铰链D和绳子AC、BC对杆的约束反力。

解:（1）选取CD杆为研究对象。

（2）分析杆CD的受力，并画出受力图［图3.5（b）］。作用在CD杆上的力有物体的重力G，绳子的拉力T₁和T₂，铰链D的约束反力为N_D（沿着CD杆的轴线）。

（3）建立直角坐标系，如图3.5（b）所示。

（4）列平衡方程：

∑F_ix=0,T₂sinα-T₁sinα=0

∑F_iy=0,N_Dsinβ-(T₁+T₂)cosβ=0

∑F_iz=0,N_Dcosβ-G=0

其中

(5)解方程得

N_D=1414N，T₁=T₂=560N

【例3.3】 图3.6表示一塔式起重机，机身重G=220kN，作用线通过塔架的中心，已知最大起吊重量P=50kN，起重悬臂长12m，轨道AB的间距为4m，平衡重Q到机身中心线的距离为6m，试求能保证起重机不会翻倒时平衡重Q的大小，及当Q=30kN而起重机满载时，轮子A、B对轨道的压力等于多少。

解:取塔式起重机整体为研究对像，起重机在起吊重物时，作用在它上面的力都可简化在起重机的对称面上，机身自重G、平衡重Q、起吊重量P以及轨道对轮子A、B的约束反N_A、N_B组成了平面平行力系(图3.6)。

首先求起重机不会翻倒时平衡重Q的大小。要保证起重机不会翻倒，就要保证起重机在满载时不向载荷一边翻倒，空载时不向平衡重一边翻倒，这就要求作用在起重机上的各力在以上两种情况下都能满足平衡方程。

满载时（P=50kN）,起重机平衡的临界情况（即将翻未翻时）表现为N_A=0,这时由平衡方程求出的是平衡重的最小值Q_min,由图3.6可列出平面平行力系平衡方程：

∑M_B=0,2G+Q_min(6+2)-P(12-2)=0

求得

空载时（P=0）起重机平衡的临界情况表现为N_B=0,这时由平衡方程求出的是平衡重的最大值Q_max,由平面平行力系平衡方程

∑M_A=0,Q_max(6-2)-G×2=0

可得 Q_max=2G/4=110(kN)

上面的Q_min和Q_max是在满载和空载两种极限平衡状态下求得的，起重机实际工作时当然不允许处于这种危险状态，因此要保证起重机不会翻倒，平衡重Q的大小应在这两者之间，即

7.5kN<Q<110kN

再取Q=30kN，求满载时的约束反力N_A、N_B,正常工作时，起重机既没有向右也没有向左倾倒的可能，这时起重机在图3.6所示的各力作用下处于平衡状态。列出平面平行力系的平衡方程：

∑M_A=0，Q(6-2)-2G+4N_B-P(12+2)=0

可得 N_B=(2G+14P-4Q)/4=255(kN)

∑F_iy=0, N_A+N_B-Q-G-P=0

可得 N_A=Q+G+P-N_B=45(kN)

【例3.4】 图3.7所示的混凝土浇灌器连同荷载共重G=60kN(重心在C处),用缆索沿铅垂导轨(摩擦不计)匀速吊起,已知a=0.3m,b=0.6m,α=10°,求导轮A和B上的压力以及缆索的拉力。

解：混凝土浇灌器处于平衡状态,其受力图如图3.7所示,导轮A和B处的反力N_A与N_B的方向均与导轨垂直，取坐标系如图，列出平衡方程：

由式（b）求得

T值代入式（a）并与式（b）联立求解得

代入已知数据得

T=60.9kN,N_A=7.05kN,N_B=3.52kN

在本例中若取力T与N_A的作用线的交点E为矩心，将式（a）改换为

∑M_E=0,(a+b)N_B-aGtanα=0

就可直接求得N_B而不需解联立方程。

【例3.5】 如图3.8 （a）所示的刚架，已知：q=3kN/m，F=kN，M=10kN·m，不计刚架的自重，试求固定端A的约束力。

解：（1）受力分析，选刚架AB为研究对象，作用在它上的主动力有：三角形荷载q、集中荷载F、力偶矩M；约束力为固定端A两个垂直分力F_Ax、F_Ay和力偶矩M_A，如图3.8（b）所示。

（2）建立坐标系，列平衡方程。

由式(a)、式(b)、式(c)解得A端的约束力为

F_Ax=0， F_Ay=6kN（向上）， M_A=-8kN·m（顺时针）

【例3.6】 如图3.9所示均质的正方形薄板，重G=100N，用球铰链A和蝶铰链B沿水平方向固定在竖直的墙面上，并绳索CE使板保持水平位置，如图3.9所示，绳索的自重忽略不计，试求绳索的拉力和支座A、B的约束力。

解：取正方形板为研究对象，受力如图3.9所示，主动力为G，约束力为球铰链A处的三个相互垂直的正交分力F_Ax、F_Ay、F_Az，蝶铰链B由于沿轴向无约束，故存在垂直轴向的力F_Bx、F_Bz，绳索的拉力为F_T。设正方形板边长为a，建立坐标系Oxyz，列平衡方程：

由上面六个方程解得绳索的拉力和支座A、B的约束力为

F_T=100N,F_Ax=F_Ay=61.24kN，F_Az=50kN，F_Bx=F_Bz=0