3.4 连续方程

质量守恒定律在水力学中的具体表现形式为连续方程。其一般形式为式（3.3.15），即

对于不可压缩液体的非恒定流，ρ为常数，则得

对于可压缩液体的恒定流，所以得

对于不可压缩液体的恒定流，式（3.4.2）变为

式（3.4.2）和式（3.4.3）说明：在恒定流时流出与流入控制体表面的质量流量（可压缩液体）或体积流量（不可压缩液体）之差为0。

【例3.4.1】 有一如图3.4.1所示的管道中的恒定水流运动，设断面1—1、断面2—2的过水断面面积分别为A₁、A₂，其断面平均流速分别为v₁、v₂，试建立该总流的连续方程。

图3.4.1

解：取图3.4.1中断面1—1、断面2—2与管壁所围空间ABCD为控制体，由于流动是恒定的，所以连续方程为式（3.4.2），即

控制体的表面是断面1—1、断面2—2及管路的侧壁，若考虑到各面的单位法线向量n，在断面1—1处与流速方向相反，在断面2—2处与流速方向相同，在侧壁处与流速垂直，则式（3.4.2）就变为

式中：u₁、u₂分别为过水断面1—1和断面2—2上各点的流速。

设v₁和v₂为各断面的断面平均流速，则由式（3.1.3）得

式（3.4.4）说明：在恒定流中单位时间内通过各个断面的质量相等。对不可压缩性液体ρ₁=ρ₂=ρ，于是得

或者：

式（3.4.5）及式（3.4.6）说明了在恒定流中，当液体不可压缩时，各断面通过的流量相同，并且断面平均流速与过水断面面积成反比。

【例3.4.2】 如图3.4.2所示为一隧洞中的调压井。设进水及出水隧洞的过水断面积分别为A₁、A₂，断面平均流速分别为v₁、v₂，调压井的横断面积为Ω。试建立调压井中水位随时间的变化规律。

图3.4.2

解：当进水隧洞和出水隧洞的流量不相等，即v₁A₁≠v₂A₂时，调压井中的水位将随时间变化，此问题属于不可压缩液体的非恒定流问题，取如图3.4.2中ABCDEF空间为控制体，并应用非恒定流的连续方程式（3.4.1），即

设在时刻t时调压井中的水位为H（t），则

式中：C=V_BCHG+V_IJDE=常数。

现将式（3.4.7）、式（3.4.8）代入式（3.4.1），得

或者

上式表达了调压井中的水深变化率与进、出隧洞的流量之间的关系。

【例3.4.3】 试推导有压管路非恒定流和明渠非恒定流的连续方程。

图3.4.3

解：图3.4.3（a）为一有压管路非恒定流示意图。在有压管路非恒定流问题中应考虑液体的压缩性和管壁的膨胀性。取包括长度ds水体在内的周界为1—2—2—1的空间为控制体，如图3.4.3（a）中虚线所示。设管路的横断面积为A，断面平均流速为v，则由断面1—1流入的质量流量为ρvA，由断面2—2流出的质量流量为。控制体内液体的质量为∫_cvρdV=ρAds，根据非恒定流的连续方程式（3.3.15），有

由前述可知：

将式（3.4.9）、式（3.4.10）代入式（3.3.15），并注意到式（3.4.9）中的ds不随时间变化，则得有压管路非恒定流的连续方程为

对于如图3.4.3（b）所示的明渠非恒定流，如果取断面1—1、断面2—2间空间为控制体，依照有压管路非恒定流，可以导出连续方程。但是，注意到明渠非恒定流中的液体可作为不可压缩处理的特点，即ρ=常数，可直接由式（3.4.11）导得连续方程。在式（3.4.11）中令ρ=常数，并注意到vA=Q，则得明渠非恒定流连续方程为

【例3.4.4】 有一如图3.4.4所示的压缩空气罐。已知罐内的容积V=0.05m³，压缩空气的密度ρ=6kg/m³，当罐的出口阀门突然打开时，喷出气体的瞬时速度u=300m／s，出口断面积A=70mm²。试求：开启阀门瞬间罐内气体的密度随时间的变化率（设罐内气体的密度均匀分布）。

图3.4.4

解：因为罐内气体的质量（或密度）随时间变化，故此问题属于非恒定流向题。取图中虚线所围成空间为控制体。对控制体应用非恒定流时的连续方程式（3.3.15）即

因为假设罐内的气体在任何时刻都是均匀分布的，故可以将上式中的密度ρ提到积分号外面，这时，第1项变为

而第2项变为

将式（3.4.13）、式（3.4.14）代入式（3.3.15），得

所以

式中负号表示罐中气体的密度随时间增加而减小。