2.3 重力作用下静水压强的分布规律

液体平衡微分方程式（2.2.1）及其全微分方程式（2.2.3）在任何有势质量力情况下都是适用的。现在研究质量力只有重力时的静水压强的分布规律。

2.3.1 水静力学基本方程

取坐标系如图2.3.1所示，令xOy平面与容器底面重合，设液面上压强为p₀，在质量力只有重力时，作用在单位质量液体上的质量力在各坐标轴上的分量为

式中：M为液体的质量。

将上式代入式（2.2.3）得

dp=-ρgdz=-γdz

当液体的密度为常数时，积分后得

图2.3.1

式（2.3.1）就是重力作用下的水静力学基本方程。式中C为积分常数，可由边界条件确定。

当z=z₀时，p=p₀，所以，代入式 （2.3.1）后得

p=p₀+γ(z₀-z)

由图2.3.1可见，z₀-z=h，于是静止液体中任一点的压强为

式中：h为该点的水深。

式（2.3.2）为水静力学基本方程的另一种形式。

由式（2.3.1），对液体中任意两点有

由式（2.3.2）、式（2.3.3）可得出以下结论：在均匀的连续介质中，有

（1）表面压强p₀对液体内部任何点的压强都有影响，也即p₀向液体内部的任何地方传递，这就是著名的帕斯卡（B.Pascal）定律。

（2）静水压强与水深成正比，并沿水深按直线规律分布。

（3）当z₁=z₂时，则p₁=p₂，即在均质连续的静止液体中，水平面是等压面。

（4）当z₁>z₂时，则p₁<p₂，即位置较低点的压强大于位置较高点的压强。

如图2.3.2（a）中，M—M为等压面，N—N则不是等压面（因非均质），图2.3.2（b）中，1—1也不是等压面（因非连续介质）。

图2.3.2

2.3.2 位置水头、压强水头、测压管水头

分析式（2.3.3）各项，其量纲如下：

位置水头：

dimz=L

压强水头：

测压管水头：

可见，各项均为长度的量纲。因此各项均命名为相应的水头。z称为位置水头，称为压强水头，）称为测压管水头。

在容器的侧壁上开一个小孔，接上一开口的玻璃管与大气相通，就形成一根测压管，如图2.3.3所示。假设图中容器内液面上为大气压强p_a，即p₀=p_a，则无论连在哪一点上，测压管内液面都与容器内液面齐平。如取基准面为0-0，测压管液面到基准面的高度由z和两部分组成，z表示某点位置到基准面的高度，表示该点压强的液柱高度。由图2.3.3可见

因此，在重力作用下，静止液体内各点的测压管水头总是一个常数。如果容器内液面压强p₀大于或小于大气压强p_a，则测压管内液面会高于或低于容器内的液面，但液体内各点的测压管水头仍然是相等的。

图2.3.3

下面进一步说明位置水头、压强水头和测压管水头的物理意义。

位置水头表示单位重量液体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。把质量为m的物体从基准面举到高度z后，该液体所具有的位能为mgz。对于单位重量液体而言，位能就是mgz/mg=z。基准面不同，z值也不同。

压强水头表示单位重量液体从压强为大气压强算起所具有的压强势能，简称压能。压能是一种潜在的势能。由图2.3.3可见，在A处安置一测压管后，由于A点的压强为p_A，在此压力作用下，液面会沿管上升，其高度为，对于单位重量液体，压强势能为，测压管水头为位置水头和压强水头之和，它代表了总势能。

在静止液体中，各点的测压管水头相等，说明单位重量液体的总势能是守恒的。

2.3.3 绝对压强、相对压强、真空度

压强p的大小可以根据起算点的不同，分别用绝对压强与相对压强来表示。

以物理上绝对真空状态下的压强为零点计量的压强称为绝对压强，以p_abs表示。以当地大气压强p_a作为零点计量的压强称为相对压强，以p_r表示。

图2.3.4

相对压强p_r与绝对压强p_abs之间存在如下关系：

绝对压强的数值总是正的，而相对压强的数值要根据该压强高于或低于当地大气压强而决定其正负。如图2.3.4所示，如果液体中某处的绝对压强小于大气压强，则相对压强为负值，称为负压。负压的绝对值称为真空压强，以p_v表示，即

真空压强用水柱高度表示时称为真空度，记为h_v，即

一个工程大气压的绝对压强为98kN/m²，或10m水柱高。

图2.3.4为用几种不同方法表示的液体内A、B 两点处压强值的关系。

【例2.3.1】 求一淡水池距自由水面3m处的相对压强与绝对压强。（当地大气压强为98kN/m²）

解：（1）相对压强。

（2）绝对压强。

p_r=γh=9.8×3=29.4(kN/m²)

p_abs=p_a+γh=98+29.4=127.4(kN/m²)

【例2.3.2】 某点处绝对压强为49kPa，试将其换算成相对压强和真空度（当地大气压强的绝对压强为98kN/m²）。

解：（1）相对压强。

p_r=p_abs-p_a=49-98=-49kN/m²=-49(kPa)

（2）真空度。

图2.3.5

2.3.4 静水压强图示

根据基本方程式（2.3.2），可以绘出作用在受压面上的各点压强方向及其大小的图示。

例如，在液体内取一铅直壁面AB，以p为横坐标，h为纵坐标，如图2.3.5所示。作用在壁面AB上的静水压强分为两部分，其中表面压强p₀按照帕斯卡定律等值传递，压强图形为矩形ABCD。另一部分为γh。因为γ为常量，故p与h成直线关系，如图2.3.5中DE线所示，ADEB即铅直壁面AB上所受静水压强的图示。矢线的长短表示压强大小，箭头的方向即压强的方向，垂直于受压面。同理，可绘出各种受压面上的静水压强分布图。

注意到静水压强的作用方向垂直于受压面，用相对压强表示的斜面、折面及曲面上的静水压强分布图如图2.3.6所示。

图2.3.6