1.2 简单分形

“王二不简单啊！”张三说：“你看，数学上真的有如你所说的分数维……”

王二却假装丧气地说了一句笑话：“唉，可惜我晚生了一百多年，要不然，我就是第一个提出分数维的人了……”

原来，非整数维的几何图形，早在1890年，就被意大利数学家皮亚诺（G.Peano）提出。他当时构造了一种奇怪的曲线，就是图1.2.1的方法构造下去的图形。用此方法最后所逼近的极限曲线，应该能够通过正方形内的所有的点，充满整个正方形。那就等于说：这条曲线最终就是整个正方形，就应该有面积！这个结论令当时的数学界大吃一惊。一年后，大数学家希尔伯特也构造了一种性质相同的曲线。这类曲线的奇特性质令数学界不安：如此一来，曲线与平面该如何区分？对这种奇怪的几何图形，当时的经典几何似乎显得无能为力，不知道该把它们算作什么。

图1.2.1 皮亚诺和他的space filling curve

这类奇怪的曲线，包括我们在1.1节中介绍过的分形龙，都是分形的特例，不同的迭代方法，可以形成各种各样不同的分形。自皮亚诺之后，科学家们对分形的研究形成一个新的几何分支，叫做“分形几何”。

分形（fractal）是一种不同于欧氏几何学中元素的几何图形。简单的分形图形，例如1.1节中所举的分形龙例子，很容易从迭代法产生。除了分形龙之外，还有许多看起来更简单的分形曲线，如图1.2.2所示的科赫曲线就是一例。

尼尔斯·冯·科赫（Niels von Koch,1870—1924）是一位瑞典数学家，出生于瑞典一个显赫的贵族家庭。冯·科赫的祖父曾担任瑞典的司法大臣，父亲是瑞典皇家近卫骑兵团的中校。研究数学和哲学是当时瑞典贵族阶层的流行风尚。如今闻名世界的诺贝尔奖，就是由瑞典皇家科学院专设的评选委员会负责评审和颁发的。1887年，17岁的科赫被斯德哥尔摩大学录取，师从著名的函数论专家哥斯塔·米塔格-列夫勒（Gösta Mittag-Leffler）。由于斯德哥尔摩大学当时尚未获得颁发学位的许可，之后他又就读于乌普萨拉大学，在此校获得文学学士及哲学博士学位之后，被斯德哥尔摩的皇家工学院聘任为数学教授。

图1.2.2 科赫曲线的生成方法

在短短的54年生命中，冯·科赫写过多篇关于数论的论文。其中较突出的一个研究成果是他在1901年证明的一个定理，说明了黎曼猜想等价于素数定理的一个条件更强的形式。但是，他留给这个世界的最广为人知的成果，却是这个看起来不太起眼的小玩意儿，也就是此文中所介绍的以他名字命名的科赫曲线。

科赫在1904年他的一篇论文“关于一个可由基本几何方法构造出的、无切线的连续曲线”中，描述了科赫曲线的构造方法［4］。

如图1.2.2所示，科赫曲线可以用如下方法产生：在一段直线中间，以边长为三分之一的等边三角形的两边，去代替原来直线中间的三分之一，得到（a）。对（a）的每条线段重复上述做法又得到（b），对（b）的每段又重复，如此无穷地继续下去得到的极限曲线就是科赫曲线。科赫曲线显然不同于欧氏几何学中的平滑曲线，它是一种处处是尖点，处处无切线，长度无穷的几何图形。科赫曲线具有无穷长度。这点很容易证明：因为在产生科赫曲线的过程中，每一次迭代变换都使得曲线的总长度变成原来长度的三分之四倍，也就是说乘以一个大于1的因子。例如，假设开始时的直线段长度为1，在图1.2.2（a）中，折线总长度为4/3；而（b）图的折线总长度为（4/3）×（4/3）;（c）图的折线总长度为（4/3）×（4/3）×（4/3）；这样一来，当变换次数趋向于无穷时，曲线的长度也就趋向于无穷。

科赫雪花则是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，如图1.2.3所示。

图1.2.3 科赫雪花（彩图附后）

李四指着图1.2.3说：“你们看，这科赫曲线处处连续而处处不可微……”话还没说完，就被王二打断了，王二指着图1.2.3（b）中的一段直线说：“连续是对的，我怎么看不出处处不可微呢？这些平平的三角形边上的直线部分不都是可微的吗？”

李四明白了王二的困惑之处，笑嘻嘻地解释道：“问得好！这是一个很重要的概念：我们用迭代的方法生成分形，但是，生成过程中的那些图都不是分形，只是最后那个无穷迭代下去的最后极限的图形才叫做分形！”

张三说：“对，所以实际上，分形是趋于无穷的极限，是画不出来的。”

王二也明白了：“是呀，不要忘了这一点！只能看着图，再加上想象……”

言归正传，因为每条科赫曲线都是连续而无处可微的曲线，每条曲线的长度都无限大，所以，由三条科赫曲线构成的科赫雪花的整个周长也应该无限大。然而，从图中很容易看出，科赫雪花的面积却应该是有限的。因为整个雪花图形被限制在一个有限的范围之内。例如，科赫雪花的面积应该大于图1.2.3（a）中正三角形的面积，而小于图1.2.3（d）中红色圆形的面积π。

利用初等数学很容易求得图1.2.3中作无限次迭代之后的科赫雪花图形的面积。

设A0为初始三角形的面积，An为n次迭代之后图形的面积，读者不难得出下面的迭代公式：

从图1.2.3（b）也很容易算出迭代一次之后的图形面积A1：

经过简单的代数运算：

最后可得到科赫雪花的面积：

式中的S是原来三角形的边长，S2＝3。