3.5 振动机械的隔振理论及隔振弹簧刚度的计算

振动机械按照频率比（即工作频率ω与固有频率ω₀之比）的大小可分为两大类：

1）非共振振动机械，其频率比远大于1，即。

2）近共振振动机械，其主振系统的频率比，最常选用的范围是z₀=0.75～1.3。

在这一节里将首先说明非共振振动机械的隔振理论及隔振弹簧刚度的计算方法，而近共振振动机械将在3.6节中叙述。

3.5.1 非共振振动机械的两种常用隔振方案

大多数振动机械，如果不对它们采取适当的隔振措施或平衡措施，就可能将很大的动载荷传给基础，使地基和建筑物产生有害的振动，严重情况下，使机器难以投产使用。

所谓隔振，就是将振动机械用刚度较小的弹簧（即隔振弹簧）悬吊或支承起来，以减小传给基础的动载荷。所谓平衡，就是用两个或多个振动质量，组成一个惯性力及惯性力矩之和均等于零，或近似等于零的动力系统，使传给基础动载荷显著减小。

振动机械最常见的隔振方案有以下两种：

1）一次隔振系统（见图3-10a）。在振动质体和基础，或结构架之间加隔振弹簧（或称隔振器）。

2）二次隔振系统（见图3-10b）。在一次隔振弹簧的外部，再增加一个隔振质量（通常称为二次隔振质量）和二次隔振弹簧。

一次隔振系统较为简单，目前在工业部门中得到了较广泛的应用。当一次隔振系统的隔振效果不能满足实际需要时，才采用二次隔振系统。假如还需要进一步提高隔振效果，还可以采用三次或多次隔振系统。不过采用多次隔振系统以后，机器的构造要复杂得多，它的质量也将随着增大。

3.5.2 振动机械隔振效果的计算

振动机械隔振效果的好坏，可通过隔振系数的大小加以评定。隔振系数是传给地基的动载荷幅值与工作机体惯性力幅值之比，即

对于平面运动的振动机械，当它工作时，由隔振弹簧传给基础在y方向和x方向的动载荷幅值分别为

式中 k_y、k_x——y方向和x方向弹簧的总刚度；

λ_y、λ_x——下质体在y方向和x方向的振幅，对直线振动机械λ_ys=λ_ssinδ，λ_xs=λ_scosδ；对圆运动的振动机械，λ_ys=λ_xs=λ。

合成动载荷幅值可按式（3-67）计算。对直线振动机械为

对于圆运动振动机械，因为y方向的位移和x方向的位移的相位差为90°，所以其最大的动载荷幅值直接由式（3-68）决定。

F _{d y} =k_yλ

或

即弹簧刚度k_y与k_x较大的方向上动载荷较大。

工作机体的惯性力幅值，对于做简谐运动的振动机械，其表示式为

F _{g y} =mω²λ_y F_gx=mω²λ_x

或

因此，隔振系数的计算式可分别表示为

当y方向及x方向的位移具有相同的相位时，合成方向的隔振系数为

还应说明的是：

1）对于绝大多数振动机械，隔振器的阻尼很小，所以计算时可以略去。

2）在这里，隔振系数被定义为传给地基的动载荷幅值与机体惯性力幅值之比。一般动力机械的隔振系数通常被定义为传给地基的动载荷幅值与激振力幅值之比。这是因为动力机械的振动加速度及振动质量（或者说机体的惯性力幅值），是根据工艺要求及机器的规格尺寸决定的，而在振动机械中，激振力幅值变动范围较大，特别是对双质体或多质体近共振振动机械更为严重。而以机体惯性力幅值作为基础的隔振系数，可以更确切地反映振动机械的隔振效果。

3）式（3-70）和式（3-71）仅对作直线振动或圆运动的平面振动机械的隔振系数做了说明，其他形式的振动机械的隔振系数，应建立另外的计算公式。

3.5.3 一次隔振系统隔振参数的计算

振动机械隔振系统隔振参数的计算应满足以下要求：

1）机器应该有较良好的和能满足实际工作需要的隔振效果。即隔振系数应小于某许用值。

2）加载后，机器的下沉量应小于某许用值。

3）机器工作过程中，不应使隔振弹簧脱离工作机体及产生冲击和噪声。

下面仅讨论做垂直振动的单质体振动机械隔振弹簧刚度的计算方法。在这种情况下，δ=90°，λ_y=λ，所以隔振系数为

当隔振系数η_yc确定以后，频率比z_0y可按式（3-73）计算：

如果取η_yc<0.25，则可求得z_0y≥2。目前在振动机械中，频率比通常在2～10范围内选取，所以隔振系数为0.25～0.01，即传给地基的动载荷幅值为工作机体惯性力的1/4～1/100。当频率比选定以后，隔振弹簧的刚度可按式（3-74）计算：

式中 n_0y——隔振系统的固有频率（每分钟的振动次数）。

目前工业中应用的振动机械，常取固有频率n_0y=50～400次/min，最常见的选用范围为n₀=150～300次/min。

当弹簧刚度确定以后，机器的静变形量f₀为

表3-4列出了隔振弹簧静变形f₀与固有频率n₀的关系。由表看出，固有频率n₀过低，则f₀会显著增大。因此，固有频率不宜太低，以免当加载时引起机器过大的下沉。

为了避免机器正常工作时或起动停车过程中，振动机体与隔振弹簧脱离及冲击，其运转过程中可能产生的最大动变形f_d应小于静变形f₀，即

弹簧的动变形f_d，以机器起动、停车通过共振区时为最大，根据试验，其值一般为机器垂直方向的振幅λ_y的3～7倍，即

将式（3-75）和式（3-77）代入式（3-76），可得

当按照式（3-74）计算所得的隔振弹簧刚度不能满足上述条件时，则应根据上述条件的要求，再适当减小隔振弹簧的刚度。

例3-3 已知某振动机械的振动质量m=1500kg，振动频率ω=72rad/s，振幅λ_y=4×10^-3m，要求从垂直方向传给地基的动载荷为工作机体垂直方向惯性力的1/6.5。求隔振弹簧在垂直方向上的刚度。

解 按照式（3-73），可求出频率比为

按照式（3-74）可计算出弹簧刚度为

固有频率为

静变形为

静变形f₀与振幅λ_y之比为

此比值略微偏小，但在特别情况下尚可使用。

3.5.4 二次隔振系统隔振参数的计算

二次隔振系统的计算原理图见图3-10b。该系统为二自由度振动系统。根据有关文献介绍的方法，可以求出它的两个固有频率ω₀₁和ω₀₂，采用以下符号：

两个固有频率可写成

为了使振动机体工作时的振幅受阻尼的影响较小，建议固有频率ω₀₁及ω₀₂不大于工作频率ω的0.7倍，即

弹簧刚度之比可表示为它们的承载质量m₁+m₂与m₁之比的函数：

式中 K_ξ——系数，可取0.8～1.2。

将式（3-82）代入式（3-80）中，并取K_ξ=1，得

根据式（3-83）可画出图3-11所示的及与μ的关系曲线。根据所选用的比值或的大小来选取所需的μ值。由图可见，对于二次隔振系统的μ值，应取较大的值（例如取n₀==100～150次/min），这样才能满足式（3-81）的要求，并使所需要μ值减小，或二次隔振质量m₂的值降低。

为了进一步估算二次隔振系统的隔振效果，首先必须求出振幅λ₁和λ₂的值。其计算式如下：

传给地基的动载荷为

一次隔振传给地基的动载荷为

二次隔振与一次隔振传给地基的动载荷幅值之比为

由式（3-87）看出，二次隔振系统具有较好的隔振效果的基本措施，是减小二次隔振质量的振幅λ₂及比值Δ。而要减小λ₂及比值Δ，其主要途径是增大或。因为

将式（3-88）代入式（3-87），经简化，可得质量比μ与动载荷比K_p的关系：

式中正负号的选取应使所得的μ为正值。

当取K_ξ=1时，动载荷比K_p与质量比μ的关系曲线如图3-12所示。

当选定比值K_p（通常取0.15～0.3）以后，则可求得质量比，进而可计算出二次隔振质量：

实践指出，当取μ=0.4～0.7时，二次隔振系统的隔振效果比一次隔振系统提高3～5倍。

例3-4 已知m₁=19100kg，k₁=5.76×10⁶N/m，F₀=5×10⁵N，ω=77rad/s，估算二次隔振效果。

解 当采用一次隔振时，固有频率

振幅

传给地基的动载荷

采用二次隔振系统时，按照式（3-89），当取K_ξ=0.95，K_p=0.20时，可得质量比为

由此，可求出

m ₂=μm₁=0.45×19100kg=8595kg

k ₂=K_ξ（1+μ）k₁=0.9×（1+0.45）×5.76×10⁶N/m=7.52×10⁶N/m

求出振幅比：

若λ₁=4.7×10³m，则λ₂=-0.15λ₁=-7.05×10^-4m。

系统的固有频率为

而及分别为=6.16及=1.87。大于前面推荐的数值1.4。

传给地基的动载荷幅值

F _d2=k₂λ₂=7.52×10⁶×7.05×10^-4N=5.3×10³N

较一次隔振减小约5倍。