2.2 圆运动和椭圆运动振动机械物料运动的理论及工艺参数计算
2.2.1 振动工作面的位移、速度和加速度
目前在各工业部门中，除了广泛采用直线振动机械之外，还应用圆周运动和椭圆运动的振动机械。圆运动的振动机械有单轴惯性振动筛、单轴振动给料机和振动输送机等。椭圆运动的振动机械有惯性式近共振给料机、输送机及椭圆振动筛等。当直线振动机械和圆运动振动机械的工作机体对其质心做摇摆振动时，也将出现椭圆运动轨迹。
上述两类振动机械运动轨迹的方程，将在以后动力学分析中求出，其一般表示为
其中
式中 a、b、c、d——常数；
λy、λx——y方向与x方向的振幅；
βy、βx——y方向与x方向的初相角；
ω——角速度；
t——时间。
工作面的速度和加速度可由式（2-54）导出：
图2-16所示为椭圆振动机械工作面的位移曲线。
图2-16 椭圆振动机械工作面的位移曲线
a）工作面运动轨迹 b）y方向与x方向的位移曲线
从式（2-54）和式（2-55）看出，圆运动振动机械和直线振动机械是椭圆运动振动机械的一种特殊情况。
对于圆运动振动机械，当式（2-54）中的
，即
，而且满足
=λ时，方程（2-54）便转化为圆运动方程：
其中
ωt′=ωt+βy
对于直线振动机械，当βy=βx，即
时，式（2-54）可转化为振动方程：
其中
ωt′=ωt+βy=ωt+βx
因此，只要对椭圆运动振动机械物料运动的过程进行分析研究，所得结果也适用于圆运动和直线运动的振动机械。
在椭圆运动的振动机械中，根据运动学参数的大小，物料可以出现和直线振动机械相同的以下四种基本运动形式：相对静止、正向滑动、反向滑动和抛掷运动。并且由上述各种运动形式组成了物料运动的各种状态。这些运动状态可分为两类：滑行运动与抛掷运动。
2.2.2 物料滑行运动的理论
1.椭圆振动机械的正向滑动指数Dk和反向滑动指数Dq
在椭圆运动振动机械中，由于工作面的加速度公式与直线振动机械不同，正向滑动指数Dk和反向滑动指数Dq也不一致。但是物料沿x方向的惯性力和重力分力之和的公式，与式（2-5）相同，物料作用于工作面上的正压力公式，也和式（2-6）一样，极限摩擦力也可以表示为式（2-7）的形式。
将式（2-55）的加速度ay、ax代入式（2-5）和式（2-6）中，取
和
等于零，并令式（2-5）所示的惯性力和重力分力的合力F与式（2-7）的极限摩擦力F0相等，便得
将式（2-58）化简，便可求出椭圆振动机械的名义正向滑始角φk0和名义反向滑始角φq0：
其中
式中 Dk0、Dq0——正向滑动指数与反向滑动指数；
λk 0、λq0——正向滑动的计算振幅与反向滑动的计算振幅；
ρk 0、ρq0——正向滑动的计算相角与反向滑动的计算相角。
正向滑始角ωtk0与反向滑始角ωtq0可按式（2-61）计算：
式中 tk0、tq0——正向滑始时间与反向滑始时间。
若正向滑动指数Dk0≤1时，物料不能出现正向滑动；当Dk0＞1时，则φk0有解，物料可以出现正向滑动。同理，当反向滑动指数Dq0≤1时，物料不能出现反向滑动；当Dq0＞1时，物料可以出现反向滑动。与直线振动机械相似，物料可能出现正向滑动的区间为φk0～（180°-φk0），可能出现反向滑动的区间为φq0~（540°-φq0）。
前面得出的椭圆运动振动机械的正向滑动指数Dk与反向滑动指数Dq，也适应于圆周运动和直线运动的振动机械。
对于圆运动振动机械，若b=c=0，a=-d=λ，则式（2-60）中的
，λk0=λ，式（2-60）的
，λq0=λ，所以正向滑动指数与反向滑动指数分别为
对于直线振动机械，若b=d=0，
，
=tanδ，则式（2-60）的ρk0=0，λk0=λcos（μ0-δ），式（2-60）的ρq0=0，λq0=λcos（μ0+δ），正向滑动指数与反向滑动指数分别为
式（2-62）和式（2-63）与式（2-11）的结果相同。
对于在滑行运动状态下工作的椭圆振动机械，正向滑动指数Dk0可在2～3范围内选取，反向滑动指数可取Dq0≈1。
根据所选取的Dk0与Dq0，再按式（2-64）计算所需的振动次数n：
或
若事先选定振动次数n，则所需的名义振幅可按式（2-65）计算：
2. 正（反）向滑动角及正（反）向滑动指数
将椭圆运动振动机械的加速度ay、ax代入式（2-16）中，进而可求出物料正向滑动的相对速度和反向滑动的相对速度如下：
其中
式中 ωtk、ωtq——假想正向滑始角与假想反向滑始角；
φk、φq——假想名义正向滑始角与假想名义反向滑始角；
Dk、Dq——假想正向滑动指数与假想反向滑动指数；
λk、λq——按动摩擦角计算的正向滑动振幅与反向滑动振幅；
ρk、ρq——按动摩擦角计算的正向滑动相角与反向滑动相角。
式（2-66）化简后得
当正向滑动与反向滑动的相对速度
达到零值时，正向滑动与反向滑动才告终止。与直线振动机械相同，椭圆振动机械物料滑动的终止条件为
其中
式中所有符号与式（2-22）及式（2-26）相同。
当
、φk、
、φq已知时，可以利用图2-3查出正向或反向滑动角θk、θq及正向或反向滑止角
、
，进而可计算出正向滑动及反向滑动指数ik和iq。
3.正向滑动与反向滑动的平均速度
相对速度
积分后，可以求得每次正向滑动及反向滑动物料对工作面的相对位移：
其中
其中
物料正向滑动和反向滑动的平均速度为
其中
其中
式中 Pkm和Pqe——速度系数，按照
、φk、
、φq由图2-3直接查出。
实际平均速度等于理论平均速度乘以料层厚度影响系数Ch，即
式中 Ch——可按表2-5查出。
2.2.3 物料抛掷运动的理论
1.椭圆振动机械的抛掷指数
当物料开始出现抛掷运动的瞬时，沿y方向的相对加速度
=0，正压力Fn=0，将式（2-55）的ay代入式（2-6）中，得
其中
φdy=ωtdy+βy
式中 φdy——名义抛始角；
ωtdy——抛始角。
根据式（2-74），可求出名义抛始角为
式中 D——抛掷指数。
抛始角可由式（2-76）求出：
当抛掷指数D＜1时，φdy无解，物料不能出现抛掷运动。当D＞1时，物料可以出现抛掷运动。当抛掷指数D选定以后，椭圆振动机械的振动次数n或垂直方向振幅λy可按式（2-77）计算：
即
前面得到的椭圆振动机械的抛掷指数D的计算公式，对圆运动振动机械和直线振动机械也是适合的。对于圆运动振动机械，若b=c=0，βy=0，λy=λ，则可由式（2-75）得抛掷指数：
对于直线振动机械，当b=d=0，βy=0，λy=λsinδ时，由式（2-75）得抛掷指数：
当振动机械的运动学参数确定以后，即可按式（2-75）、式（2-78）和式（2-79）计算出抛掷指数，进而按式（2-75）计算出名义抛始角φdy，此值通常在0°～180°的范围内。
2. 椭圆振动机械的抛离角θ d 与抛离系数 iD
参看式（2-6），由于物料出现抛掷运动，正压力Fn=0，物料沿y方向相对运动方程可写作
其中
φy=ωt+βy
相对加速度
对时间t积分二次，即得相对位移为
当φy=φzy（φzy为物料的抛掷角）时，Δy=0，抛掷运动即告终止，由式（2-81）化简得
其中
θd=φzy-φdy
式中 θd——抛离角。
和直线振动机械相同，可以将式（2-82）化为抛掷指数D与抛离系数
的关系式，即
按照式（2-82）和式（2-83），可以画出φdy与θd及D与iD的关系曲线（见图2-7）。当名义抛始角φdy已知时，则可由图2-6查出抛离角θd，或当抛掷指数D已知时，则可由图2-7查出抛离系数iD。
当物料每次跳动的时间等于振动机械的一个振动周期，即iD=1，θd=360°，D=3.3时，则可求出物料抛掷运动的第一临界振动次数：
当物料每次跳动时间等于振动的两个或三个振动周期，即iD=2、3，θd=720°、1080°时，可由图2-7查出D=6.36、9.48，进而可相应地求出第二和第三临界振动次数：
目前大多数振动机械的振动次数n稍小于第一临界振动次数ne1，或抛掷指数D稍小于3.3。
3. 物料抛掷运动的理论平均速度
椭圆振动机械物料沿工作面方向的相对加速度可由式（2-86）表示：
其中
φx=ωt+βx
对
积分二次，并以φdx代替φx，便可求得每次抛掷运动的相对位移为
或
其中
φdx=ωtd+βx φzx=ωtz+βx=φdx+θd
θd=φzx-φdx=φzy-φdy=2πiD
将θd用2πiD来代替，便得
或
其中
物料的理论平均速度为
或
还可以将式（2-89）化为以下形式：
椭圆振动机械物料理论平均速度的公式，也适用于圆运动振动机械和直线振动机械。
对于圆运动振动机械，λx=λy=λ，βx=βy-
，所以理论平均速度公式为
对于直线振动机械，βx=βy，λy=λsinδ，λx=λcosδ，所以理论平均速度公式为
物料运动的实际平均速度可表示为
式中 系数γα、Ch、CW可按表2-3～表2-5查出。
在椭圆振动机械中，物料做抛掷运动的各种运动状态和直线振动机械相似，这里不再重复。
4. 抛掷运动下落时的相对冲击速度
物料落下时对工作面的相对冲击速度如下：
化简，可得
由式（2-94）可知相对冲击速度与抛掷指数的关系。对于不要求破碎的易碎物料，应选取相对冲击速度较小情况下的抛掷指数D，这样可以减少物料在运送过程中的破碎。
2.2.4 计算实例
例2-3 已知某双质体惯性式近共振振动输送机，用于运送石灰，石灰的密度为1.1t／m3，输送槽体安装倾角α0=0，槽体做椭圆运动，椭圆长轴与槽体底面夹角δ=30°，椭圆两个方向的振幅分别为4mm和0.8mm，振动频率为98.4rad/s。求轴正反向回转时物料的平均速度。
解 （1）按式（2-54）计算垂直方向和水平方向振幅λy、λx，相位角βy、βx
当反向回转时
（2）计算抛掷指数
（3）计算名义抛始角与抛始角
ωtdy=φdy-βy=28°35′-19°6′=9°29′
当反向回转时
ωtdy=φdy-βy=28°35′+19°6′=47°41′
（4）抛离系数iD 根据抛掷指数D的大小，可查出抛离系数iD=0.76。
（5）物料运动的理论平均速度
其中
当反向回转时，有
其中
（6）实际平均速度
v m=ChCmCWvd=0.8×0.8×1.05×0.318m/s=0.214m/s
当反向回转时，则
v m=ChCmCWvd=0.8×0.8×1.05×0.226m/s=0.15m/s