Q2　三步找出卧底

某工厂生产了一批玩具人偶，外观完全一样，但是在进行称重时，发现其中一个玩偶的重量不合格（或轻或重）。我们假定给每个玩偶都定义一个号码以示区别，现在有一架天平（只有托盘，没有砝码，精度足够），请问如何在三次之内找出这个“卧底玩偶”呢？

参考答案

网络上很多类似的题目，大部分是给4次使用天平的机会，这使得题目的难度大大降低。如果只给三次使用天平的机会，使其变成了一个几乎不可能完成的任务，你敢挑战这个难度吗？

正常人的解题思路

首先要考虑的是第一次在天平上放几个玩偶。

如果一边放6个，还剩下1个。如果第一次就出现不平衡的状态，似乎不可能在两次内找到卧底。

如果一边放5个，还剩下3个。如果第一次出现不平衡，那么在5个玩偶中两次找出卧底似乎还是有可能的。

如果一边放4个，还剩下5个。机会看上去和上面的情况有些类似。

如果一边放3个呢？剩下7个。感觉剩下的有点多……

反复尝试以后，似乎总有些情况下找不到卧底在哪里。

牛人的解题思路

根据上面的思路，可以推理出一个结论。

第一次使用天平，一边放4个或者一边放5个才有可能找到卧底。

而且经过反复尝试，可以得到一边放4个才是最佳的方案。

第一次使用：1234⊥5678。

那么会出现两种情况，见下图。

由上图得知，必须再使用一次天平，才能确认谁是卧底。

难道此题真的无解了吗？

外星人的解题思路

我们在上面的解题思路中一直忽略了一个问题：如果事先知道卧底是偏重还是偏轻，那么有些情况就可以得出答案了。

在我们第三次使用天平，一边只放一个玩偶的时候，如果出现不平衡的情况，我们可以根据玩偶的轻重来得出结论。但是这个假设是不存在的，题目说得非常清楚“或轻或重”。所以在第二次使用完天平以后，不仅要将卧底圈定在一个尽可能小的范围内，还要能够推测出卧底比标准的玩偶是偏轻还是偏重。

由此而见，第二次使用天平的方案非常关键，因为第三次使用基本是采取一边放一个的思路。

最关键的一点：不管哪一次称重，我们都可以确认几个标准的玩偶。如果两边平衡，那么该次被称的所有玩偶都是标准玩偶；如果不平衡，那么没有参与本次称重的玩偶都是标准玩偶。

有了这么一个思路以后，我们重新调整第二次称重的方案。

先来看上面的第一种情况：

当1234⊥5678时，天平出现平衡的情况。

这时候可以确认1～8这8个玩偶是标准玩偶。

所以第二次使用天平时，我们可以采取这样的方案：

9x⊥AB

（注：x为1～8号玩偶中的任意一个，即x为一个标准玩偶。）

最难理解的部分到了。只要你能理解这一步，思路就完全被打开了。

情况一：平衡。

当9x⊥AB时，如果出现平衡，那么卧底肯定是C、D中的一个。那么第三次拿C、D中任意一个与x去称重，就很容易找出卧底了。

如果C与x平衡，那D就是卧底；如果C与x不平衡，那么C就是卧底。

情况二：不平衡。

当9x⊥AB时，如果不平衡，那么我们需要做一个特别的工作——记录下AB是重还是轻，即记录下天平的倾斜方向。

然后进行第三次称重：A⊥B。

这时候会出现三种情况：

情况一：A=B。

很明显，AB都是标准玩偶，得出卧底是9号玩偶。

情况二：A重B轻。

可以确认卧底为A、B中的一个。但究竟是A还是B呢？这就要用到我们刚才做的记录了。如果刚才记录的是AB重9x轻，可以确认卧底偏重。所以A为卧底；相反，如果刚才记录的是AB轻9x重，可以确认卧底偏轻。所以B为卧底。

情况三：A轻B重。

推理过程同上。

如果你能理解这一步，那么这个问题的解决思路就出来了。

我们可以用两次天平从5个未知身份的玩偶中找到卧底在哪里，然后只需每次都遵循这个思路，就可设计出这道题目的整个解题过程了。

那么如何两次从1～8这8个玩偶中找出卧底呢？

第二次这样来称重：

125⊥34x

（注：x为9A、B、C、D号玩偶中的任意一个，即x为一个标准玩偶。）

为什么要这样设计呢？就是要把卧底范围缩小到3个玩偶之内。

我们把3、4、5这三个玩偶分别从天平的一侧移到另一侧，目的很快你就知道了。

对了，我们忘了一件事情，就是第一次使用天平1234⊥5678的时候，也需要记录下天平的倾斜方向。

下面这一步也很关键，慢慢来理解。

同样，125⊥34x会出现三种情况：

情况一：125=34x。

1、2、3、4、5都是标准玩偶，卧底在6、7、8号玩偶中。剩下第三次使用天平的方法就和上面讲到的从9、A、B中找出卧底是一样的道理了。

第三次：6⊥7。

如果6=7，则8号是卧底；如果不平衡，那么根据第一次使用天平时我们记录下的倾斜方向，即第一次使用天平时6、7号玩偶在同一侧，因此很容易判断出哪一个是卧底了。

情况二：125≠34x。

这时候最关键是要注意天平的倾斜方向有没有改变。

如果没有改变，说明3、4、5号玩偶是标准件，因为天平没有因为它们的换位而改变倾斜方向。这时可以确认卧底是1、2号中的一个，那么第三次随便拿一个与x进行对比就可以得到答案了。

如果天平的倾斜方向发生了改变，就可以确认卧底就是3、4、5号中的一个。第三次就拿3号和4号进行称重，剩下的推理过程和上面的情况就完全一样了。

现在我们来整理一下整个的解题思路，如下图：

解开此题有三个关键点：

1.每次使用天平都要合理分配数量（其实每次都是黄金分割的数量）。

2.利用天平倾斜的方向给我们带来的有用信息，判断出卧底的重量是偏轻还是偏重。

3.通过对未知身份玩偶交换位置，判断出卧底所在的范围。