前言

读书与传承

读书无疑是获得知识和信息、提高人们素质的重要途径，其重要性不亚于甚至超过课堂上的学习。学校教育为学生打下或宽泛或狭窄的基础，更多重要的和有价值的知识需要在生命的旅途中通过读书获得。

我还记得当年数学家华罗庚先生谈到读书时的名言，大意是读书要经过从厚到薄、从薄到厚两个过程。这是他亲身体验的精湛总结，是衡量读书深入程度的标尺。从厚到薄的过程意味着不仅要读懂，还要理解透彻，掌握精髓，把一本厚厚的书用自己的表达方式化作薄薄的大纲笔记。从薄到厚的过程意味着更高的层次，在消化吸收的基础上旁征博引，丰富补充，更上一层楼，为创新做好准备。

与华先生在1948年同时当选院士、在概率论与数理统计领域具有国际影响力的我国数学家许宝騄教授，在专业上曾经对我言传身教，使我受益匪浅，终生难忘。

许先生体弱，不能走进教室给学生讲课，只能在自己居室小客厅开设讨论班。非常幸运的是，北京大学1957级概率论统计专门化小班由许先生亲自指导毕业论文，使我有机会近距离体验有特色的数学家做学问的风范与境界。虽历经60余载岁月，许先生在讨论班讲课的音容举止仍历历在目，他以独特简明的语言讲述，常有画龙点睛之妙；对指定参考书的内容全面归纳和提升，提出统一解决同类型问题的强劲新方法。翻开当时的听讲笔记，我依然能回忆起听课笔记中清晰的思路。我由衷地说，国内外任何一本已出版的概率统计专业书中有关次序统计量极限分布的相关内容，都没有达到许先生在讨论班所讲授的那般深入、完整和精致的程度。许先生读书极其认真，但从不迷信书本，他在讨论班多次用形象的话语告诫我们：“不要趴在书的下面，要站在书的上面。”

1963年我毕业离校后，进入中国科学院计算技术研究所工作。有一天许先生通知我参加在他家中进行的一个马尔可夫过程势论讨论班。在讨论班上，还有幸聆听到许先生专门系统地讲授点集拓扑的课程。许先生的讲课内容总是非常精致和完美的，他从不拿讲稿，徐徐道出讲授内容，连布置的习题在内，整个讲授内容的内在逻辑完整且严密。

在讨论班上，许先生不仅讲授了有价值的专业知识，而且为我们树立了真正掌握一门知识的标杆。许先生是我们应该效仿的典范。

数学与物理学殊途同归

数学与物理学关系密切，始终在相互支撑中发展，犹如一对相伴长大的兄弟。

算术、几何和代数与日常生活及物理的关系就不必说了。牛顿在研究物体和天体的运动规律时，提出了无穷小量运算的全新方法，并在同时代其他数学家的大力推动下，建立了微积分学。

近代物理学与数学相互促进的例子更是不胜枚举。例如，爱因斯坦应用当时物理学家尚不熟悉的数学方法（微分几何与黎曼几何）创立了广义相对论；杨振宁和米尔斯在数学上立足于现代微分几何中的纤维丛理论建立，统一了电磁力、弱力、强力的规范场论，等等。

著名物理学家杨振宁对于数学和物理学的关系有着深刻的论述。他指出：“在基本概念的水平上，它们令人惊异地共同使用某些概念。”但是，杨振宁强调物理学家和数学家达成这样的“共识”或思想融合所经历的是殊途同归的过程。

数学与物理学有相同或相似的部分，如微分方程、偏微分方程、希尔伯特空间、黎曼几何和纤维丛等。当然，数学与物理学研究的宗旨、目标及方法论各不相同，存在明显的区别。数学是逻辑和推理的世界，物理学追求理论与客观世界的真相保持高度一致，它必须得到实验的验证。

杨振宁认为数学与物理学在最早的、最原始的部分同脉同源，但是因为二者有不同的目标和价值取向，在其后的发展过程中，呈现出不同的发展态势。

杨振宁在与著名数学家陈省身交流时谈到，物理学中的规范场恰是纤维丛上的联络，而纤维丛是数学家在不涉及物理世界的情况下发展起来的。“这既令人震惊，也令人迷惑不解，因为你们数学家凭空梦想出了这些概念。”陈省身马上提出异议：“不，不，这些概念不是梦想出来的。它们是自然的，也是实在的。”

陈省身认为：“数学正走向两个不同的方向。一是一般的理论，例如，每个人都必须学习点集拓扑学，学习一些代数学，由此打下一般的基础，那是几乎覆盖整个数学的基本理论。然而也有一些课题是特殊的，而它们在应用数学上却起着重要的作用。”陈省身在谈到自己得到高斯-博内公式第一个证明时表示：“通常来说，最好的数学研究工作，是把一些理论与一些非常特殊的问题结合起来，特殊的问题促使一般理论得以发展。我就是运用联络的思想给出了高斯-博内公式的第一个证明。我想这是我最好的工作之一，因为它解决了一个重要而基本的经典问题，并且思想十分新颖。”

他还谈到数学中方法（很多情况下表现为技巧）的重要性，“为了让你的思想付诸实践，需要你是技术上的天才。这不是轻而易举的，也不是只要你有想法就可以实行的，这是微妙的。”

读书与心得笔记

随着工作和环境的变化，我的专业方向大体上涉及过概率统计计算、火箭及卫星轨道测量数据实时滤波、软件编程与计算机应用开发、汉字手写识别、图像处理与分析等不同领域。我甚至还参加过大百科全书《电子学与计算机卷》的编辑与撰稿，以及电子书刊的编辑工作。面对许多以前不熟悉的知识领域，我只有通过读书来弥补自己的不足，阅读成为伴随我终生的爱好和习惯。

从离开工作岗位到70岁前后这段时间也许是人的一生中最值得珍惜的阅读时光，虽然精力减退是不可避免的自然规律，但思维能力还可保持在一定的高度，而且还有较充裕的闲暇时间。重读历年有价值的专业书和笔记，让知识在头脑中经过长年的积累融合，往往能有一些新的理解或发现不同部分之间的关联，偶尔也会找出笔记或书本上出现的疏漏。当年难点还在，但已不再生疏，可以从容应对。发现新出版的好书，如果有探索的兴趣，不妨量力而行，进行最有效的阅读，也能取得很好的效果。

本书是我多年来一部分读书心得的汇集。从一个专业学者的独特视角，选取了数学和物理学中几个重要的基础概念作为主题，在吸取相关专著内容的基础上，进行了全面和深入的探讨。本书具有跨学科和跨层次的特点，然而对于求知者来说，学科和层次并非固定的壁垒。

内容导引

全书涉及数学与物理学各自发展进程中3个相得益彰的实例。

第一个实例是热力学熵与数学中信息熵在各自发展过程中不期而遇，殊途同归。

第二个实例是爱因斯坦在推导狭义相对论时，创造性地应用微分方程求解的过程。

第三个实例是爱因斯坦首次提出微小粒子的布朗运动模型，应用概率论随机过程对布朗运动的深入研究与此一脉相承。

第1～5章的内容基本上属于物理学的范畴。

第1～3章解读熵的概念。“熵”这个术语最初在热力学中作为一个状态量出现，在量子统计理论中才得到了比较完整的论证。香农信息熵作为信息不确定性的度量而定义，采用了为热力学熵专门打造的新词Entropy，这似乎是一种巧合。然而，二者的确是相通的：玻尔兹曼熵公式给出的熵等于均匀分布的信息熵，一般体系的熵在量子统计中论证的结果与信息熵一致。但是，香农信息熵是一个纯数学的对象，并不依赖任何物理背景的假设。

第4章是我从大学毕业伊始，多次反复阅读《物理学的进化》（此书已再版）一书的收获。它是一本非常“地道”的物理科普书，可以让读者对物理学的进展树立正确的观念。希望这份简短笔记能使读者（也包括我自己）把握和记住一些要点。

第5章是阅读爱因斯坦第一篇相对论论文的详细笔记。我认为这篇论文已经把狭义相对论论述得非常透彻（虽然几十年后才被学界广泛认识和接受）。狭义相对论已被选入《耶鲁大学开放课程：基础物理　力学、相对论和热力学》中，2017年该课程教材在我国引进出版。

第6～10章的内容属于数学的范畴。

数学有超长的逻辑链条，自古至今一步一步搭建起巍峨的数学大厦，乃人类心智创造的奇迹。它保持始终如一的一致性和相容性，从出发点向前延伸。这是数学珍贵的品格。数学的这个特征也是数学比较难以学习、难以着手进行研究的原因。

一本好的数学教科书（或一本表达清晰的数学论著），其内容必须形成清晰的逻辑链，这是起码的也是必须要遵守的要求。

学习每门数学课程，我们必须从头出发，按照逻辑链条顺序向前走，去理解，去思考，才能对内容有充分的掌握。

数学研究的对象不是具体的事物，而是抽象出来的概念，通过定义而严格界定。因此，数学的结论不依赖具体的事物，而是应用于各种事物。各个概念之间有逻辑上的联结，形成特有的形式体系。在这个形式体系内所有的结论都是通过严格的逻辑推理得出的。另外，形式体系内衍生出许多运算法则和技巧，需要反复运用才能掌握。简要地说，抽象、严格的逻辑推理、运算法则与技巧，是学习数学时必须认识的三大特点。因此，掌握每门数学课程中的基本概念，以及概念之间的联系非常重要，因为人们只能依靠概念进行数学思维。

第6章的内容是“从自然数开始”。因为自然数是数学的起点，数学大厦的基础是否稳固得从自然数开始考察。对自然数规律的研究至今还是数学中的一个前沿课题。

自然数可以用皮亚诺公理来定义，自然数加法和乘法运算的结果和法则都可以推导（证明）出来。运算进一步发展就需要增加新的定义，这些内容可以作为建立数学思维方式的一种训练。

第7～10章的内容属于概率论的范围，我打算梳理其中一些重要的基础概念。

第7章介绍概率论的总体脉络，从入门开始，给出一个极简明但连贯的描述。概率论有两个理论层次，建立在测度论和柯尔莫哥洛夫存在性定理基础上的内容属于更高的层次，理解上有点困难，我的态度是点明而不是回避。无论如何，概率空间的概念必须掌握。读者可根据自己的需要，选择其中适合的内容阅读。

第8章和第9章具体和详细地讨论了条件概率与条件期望的概念与性质。

第10章对香农熵的概念进行了细致和完整的讲述，对熵在通信和模式识别等领域的应用进行了初步讨论，有些讲述也许超出了一般教科书的范围。

著者
2020年8月