3.4 更多的例子

例3.2 效用函数为CES的一般均衡模型。在3.3节里，专业化模式的供给函数是不依赖于价格的，这是C-D效用函数是替代弹性为1的缘故。替代弹性为1意味着在消费者-生产者框架中收入效应和替代效应相互抵消了。在这一节里，我们将使用一个不变替代弹性效用函数来说明替代弹性对供给律的含义。每个消费者-生产者的CES效用函数如下。

这里，ρ∈（0，1），是替代弹性参数。下面我们讨论CES效用函数和C-D效用函数的区别。对C-D效用函数而言，为了维持一个正的效用水平，每种消费品的数量必须为正。对CES效用函数而言，即使某个消费品的数量为0，只要至少有另一种消费品的数量为正，效用就是正的。替代弹性定义为两种商品的相对价格每变化1个百分点所引起的相对数量的百分比变化。我们能计算CES效用函数的替代弹性，为

这个公式意味着当两种商品的相对价格提高1个百分点，两种消费品的相对数量将减少［1/（1-ρ）］%。由于替代弹性是ρ的增函数，或dE/dρ＞0，ρ越大，替代弹性就越大。由于随着替代弹性的增大，个人多样化消费的愿望会下降，所以喜好多样化消费的程度被定义为1/ρ。如果设x^c=y^c，很容易看出消费两种商品得到的效用比消费单个商品所得到的效用大，即2^1/ρx^c＞x^c。为了确保在均衡时消费的多样化，我们需要假设ρ∈（0，1），由于ρ＜0或ρ＞1，所以这意味着在自给自足状态下消费具有专门化。

如果你已学会用数学语言来处理经济模型，我们能很快给出个人基于CES效用函数的决策问题：

这里，x、x^s、x^d、y、y^s、y^d、l_x、l_y是决策变量，p_x、p_y是价格参数。根据文定理，我们需要考虑5个模式。这里有三个自给自足模式：第一个是A1，即在这个模式里只消费一种商品；第二个是A2，即消费两种商品；第三个是自给自足，与A1是对称的，两个专业化模式分别是（x/y）和（y/x）。表3-4总结了各种模式的最优决策，这里p≡p_y/p_x是相对价格。为了熟悉超边际分析，需要模仿3.3节中解最优决策的方法求解表3-4中的最优决策。

表3-4 基于CES效用函数的角点解

首先，考虑决策的边际比较静态分析。对于一个给定的专业化模式，对表3-4中的角点供给函数求微分，可得：

这被称为新古典供给律，即一种商品的供给量随着其价格的提高而增多。由于p≡p_y/p_x，新古典供给律意味着一种商品的供给量不仅随着其价格的提高而增多，而且随着供给该商品的专家所购买商品的价格的提高而减少。这与古典的供给和需求分析特征一致：需求和供给是专业化的两个侧面。利用表3-4，很容易验证对这个基于CES效用函数的模型而言，新古典需求律成立，即

接下来，考虑决策的超边际比较静态分析，它要求对不同模式之间的人均实际收入进行比较。

能够证明只有当p=1时，人们才愿意选择两个专业化模式。如果p=1，专业化模式和模式A1之间的比较意味着专业化模式总是比模式A1好。因此，A1是不会被选择的。专业化模式和模式A2（自给自足）之间的比较意味着，如果，个人将选择专业化；如果k＜k₁，个人将选择模式A2（自给自足）。随着交易效率从小于k₁的值增大到大于k₁的值，一般均衡将从自给自足跳到分工。

例3.3 一个不对称的模型。在我们所讨论的模型里，存在许多对称性。因此，内生变量的均衡值不依赖于相对嗜好和相对生产条件。在这个例子里，我们将考察相对嗜好和相对生产条件对均衡的资源配置和分工水平的含义。假设事前相同的消费者-生产者有如下形式的效用函数：

结构D的角点均衡价格为p_y/p_x=k^1-2α，当α＜1/2时，它关于k的导数为正；当α＞1/2时，它关于k的导数为负。两种类型专家的角点均衡相对数量为M_x/M_y=αk^1-2α/（1-α），它关于k的导数有相似的特点。如果，那么分工是一般均衡。如果k＜k₂，自给自足是一般均衡。含有四个参数a、b、α和k的方程k=k₂把四维参数空间分成两个子空间。你可以模仿第3章和第4章的方法求解个人的决策问题、决策的边际和超边际比较静态分析、两个角点均衡、一般均衡和一般均衡的超边际比较静态分析。

一般均衡的边际比较静态分析描述了随着环境的变化，个人自利决策的相互作用的结果如何变化。它们与决策的比较静态分析不一样。利用表3-2中的角点解，我们可看出一个给定模式的决策是相对价格以及生产和交易参数的函数。例如，一个给定模式的新古典需求律dy^d/d（p_y/p_x）=-0.5（p_x/p_y）²是决策的边际比较静态分析的一部分。利用例3.2中一个给定模式的角点解，我们能看到最优决策，即一个模式的角点解也是嗜好和生产参数的函数。如果最长的工作时间是一个参数而不是一个特定数，那么最优决策也是禀赋参数的函数。超边际比较静态分析方法分析的是随着价格参数、嗜好参数、生产和交易条件参数在不同的参数子空间之间变动时，最优决策如何在不同模式之间不连续地跳跃。因此，决策的边际和超边际比较静态分析是利用价格参数、嗜好参数、生产和交易条件参数来解释最优的消费、生产和贸易数量和最优的专业化模式。

从表3-2中，我们能看出决策的比较静态分析能够用下面的映射表示：

回顾表3-3和命题3.1，我们能看到一般均衡的相对价格，不同专家的人数以及消费、生产和贸易的数量是由嗜好参数、交易条件参数、生产条件参数、资源约束参数和人口规模决定的。一般均衡的边际和超边际比较静态分析是通过这些参数解释相对价格、不同专家的人数、分工结构以及资源配置。一般均衡的比较静态分析是下面的映射：

因此，在决策的比较静态分析中，价格和选择不同模式的人数是通过参数来解释的；而在一般均衡的比较静态分析中，它们是内生变量，是通过偏好参数、交易条件参数、生产条件参数、资源约束参数和人口规模来解释的。应该注意到，决策的比较静态分析仅仅是与个人的职业模式有关，一个人不能选择社会的分工结构。一般均衡的比较静态分析与整个社会的分工结构有关，由于一般均衡是所有个人的最优决策相互作用的结果，不难看出，一般均衡的超边际比较静态分析是经济发展和相关的结构变化的解释力的丰富源泉。

本章的模型与第2章的模型相似，由于生产可能性边界并不与帕累托最优相吻合。如果k＜k₀，自给自足结构A是一般均衡结构，此时均衡配置是帕累托最优的。但是PPF与结构D相吻合，与自给自足结构A不相吻合（回顾图3-1）。专业化经济和交易成本之间的两难冲突意味着当交易效率很低时，与效用可能性边界相吻合的帕累托最优并不与PPF相吻合。随着交易效率的改善，一般均衡和帕累托最优向PPF靠近。总生产率的内生化意味着稀缺程度能够被个人的专业化水平决策内生地决定，最终由交易效率决定。

因此，经济发展问题在内生分工网络的模型里处于中心地位。尽管本章的模型是一个静态的模型，一般均衡的超边际比较静态分析不仅能解释生产力进步、人均实际收入和消费的增加以及其他“增长现象”，而且能解释市场的出现、经济结构的多样化和市场容量的增大以及其他“发展现象”。利用图3-1，我们能看到如果交易效率很低，自给自足结构所对应的角点均衡是一般均衡，此时生产位于曲线ECG上，低于PPF（EFG）。随着交易效率得到充分提高，生产计划从ECG跳到F点。这导致了生产力进步和分工网络的增大，这是经济发展的两个方面。

例3.4 税收的配置和组织效率效应。考虑例3.1中的斯密模型，假设k=1并且引进税收。一个仁慈和有效率的政府对每销售1美元的商品征收税率为t的税收，然后把税收收入平均分配给所有M个消费者-生产者。因此，如果结构D是一般均衡结构，那么每个人从政府那里接受的转移收入为r=t（M_xx^s+M_yy^s）/M。利用超边际分析和模型的对称性，我们能解三个模式A、（x/y）和（y/x）的角点均衡。然后对于结构D，利用效用相等和市场出清条件得到结构D的角点均衡：

p_x/p_y=1 M_x=M_y=M/2 x=y=1/（2-t）

x^s=y^s=x^d=y^d=（1-t）/（2-t） u_D=（1-t）/（2-t）²

r=p_x（1-t）t/（2-t）

这里，u_D是在结构构D里的人均实际收入，它是税率t的单调递减函数。这意味着税收引起了效用的减少，从而造成扭曲。帕累托最优的税率为零。但是结构D的角点均衡相对价格和没有税收时是一样的。用于两种商品生产的相对总量资源配置M_x/M_y=1和两种商品的相对总量消费和产出（M_xx+M_yx^d）/（M_xy^d+M_yy）=1是帕累托最优的。然而，每个人的两种商品的相对消费不是帕累托最优的，这个相对消费对于x专家是x/y^d=1/（1-t）＞1，对于y专家是x^d/y=1-t＜1。同时，你也可以验证每个人的资源配置与帕累托最优问题的一阶条件不一致，这里的帕累托最优问题是在给定y专家的效用为常数的条件下最大化x专家的效用。税收鼓励个人配置太多的资源用于自给自足的生产和消费，不鼓励从市场上购买商品进行消费。因此，配置的无效性可能导致组织的无效性。

由定义可知，自给自足不存在贸易，从而不存在税收收入，所以此时人均实际收入同例3.1中的是一样的。当k=1时，在不存在税收的条件下，结构D的角点均衡是一般均衡。但是，即使k=1，一个充分高的税率将使得u_D小于自给自足时的人均实际收入22^-2a。如果k＜1，我们能证明确保分工是一般均衡的k的临界值在无税时比有税时小。因此，如果k位于两个临界值之间，在无税收时，一般均衡结构是分工，而税收存在时的一般均衡结构是自给自足。这个例子说明了配置效率和组织效率之间的相互依赖关系。由税收引起的配置无效可导致一个无效的一般均衡分工水平和一个无效的生产率水平。。

习题13中的模型证明了对不同的物品征不同的税率将引起相对价格、总的资源配置以及个人的资源配置的扭曲，因此，比相同税率的情形更可能产生无效的组织和低的生产率。下面的例子说明了在斯密模型里配置效率和组织效率之间的冲突。

例3.5 配置效率和组织效率之间的冲突。假设在例3.1中的模型里，效用函数为u=（x+kx^d）^α（y+ky^d）^1-α，那么我们解得自给自足结构和结构D的角点均衡如下。

u_A=［α^α（1-α））^1-α］］^a

u_D=［α^α（1-α））^1-α］k^{2α（1-α）} p_x/p_y=k^2α-1

M_x=αk^1-2αM/（1-α+αk^1-2α） M_y=（1-α）M/（1-α+αk^1-2α）

一般均衡结构是分工，当且仅当k＞k₁≡［α^α（1-α）^1-α］^{（a-1）/2α（1-α）}。很容易证明临界值k₁在α=1/2处达到最小，此时M_x=M_y=M/2，即当α和1/2之间的差别增大时，k₁值也增大。对于一个很大的k₁，k很可能小于k₁，所以自给自足比分工更可能在均衡时发生。换句话说，随着不同商品的嗜好差别趋于零，一般均衡是分工的可能性大些。这意味着如果两种商品的嗜好程度不一样，组织效率和配置效率之间存在冲突，这里组织效率与较高的生产率和经济发展有关。在这个环境下，为了维持嗜好的差别，不得不以牺牲高水平的分工和与之相关的高生产率为代价。

例3.6 自由进入和自由定价。在斯密模型里，操纵不同专家的相对人数的权力对配置和组织效率的影响比操纵价格的权力所带来的影响更大。这个结果常常被用来批评兰格的市场社会主义理论，这个理论强调价格的灵活性对取得有效的资源配置的重要性。按照市场社会主义理论，政府根据过量需求调整价格，指导国有企业的管理者选择利润最大化的产出和投入。许多经济学家指出自利的政府官员没有动机按照过量需求来定价，因为没有利润的私人剩余索取权。根据本章的模型，即使一个灵活的价格系统出清了市场，自利的政府官员也能够操纵不同专家的相对人数，如对自由进入银行业和进行企业活动的限制使得官方提供的市场出清价格较高。这种形式的市场社会主义并不比苏联式的社会主义体制好，在苏联式的社会主义体制下，政府控制价格使得市场不出清，很大的过量需求是中央计划当局权力的源泉，政府官员为此获得大量的有形利益和无形利益。