1.2 研究现状
突变理论自创立以来受到国内外学术界的广泛重视，虽然它涉及拓扑学、分叉理论、流形理论、奇点理论、结构稳定性等数学工具，但它的实际应用却非常容易实现，已经渗透到每一个应用学科。突变理论能直接处理不连续，而不联系任何特殊的内在机制，特别适用于内部作用尚未确知的研究，已成功地解决了许多用其他手段无法解决的问题。
1.2.1 国外研究现状
托姆于20世纪70年代提出了突变理论，给人们带来了新观点、新思想，引起了许多学科领域的广泛关注，众多学者展开了关于突变理论的研究，将突变理论应用到科学探索中解决了许多难题，突变理论也得到了进一步的发展。Cobb等[1-3]在1980年提出了利用统计方法建立统计突变理论，将原来建立的突变理论定义为确定性突变理论，而将统计突变理论定义为随机突变理论，基于数据来估计突变模型的参数，特别针对尖点突变的控制参数，提出了最小二乘法和矩估计法。Glukhova等[4]将突变理论应用到多维统计分布中，提出了相应参数的估计方法。与之前确定性突变理论对应，Wagenmakers等[5]提出了确定随机突变理论中突变模式的新方法，其在2005年研究了在微分同胚映射下确定性突变模型与对应的随机突变模型之间的不变性，可以通过“上穿过”来确定确定性突变模型的对应突变模型，根据经验分布来确定突变现象的突变状态。学者们对于突变理论在理论层面的研究，极大地发展了突变理论，为突变理论在应用层面的发展奠定了基础。此后，突变理论逐步应用到物理学、电力系统、灾害科学、农业系统、社会科学、工程地质、化学、水文水资源等领域，取得了令人瞩目的成果。
在物理学方面，突变理论可以用来解释被称为焦散的光学现象，根据Berry[6]的观点，可以用突变理论列出所有在自然界观察到的焦散。突变理论也可以用来描述非线性振动的Duffing方程，研究方程解的存在性和稳定性及其特征分叉[7-8]，弹性结构的不稳定性也可应用其进行分析[9-10]。此外，突变理论还被用于研究水滴的破裂，Ito[11]发现在变切场中液体水滴的破裂过程是不连续的，而且这个过程满足突变理论中尖点突变所具备的特征。对于枢轴系统，Marco[12]分析研究了两自由度弯曲枢轴平面系统的突变，并对突变进行分析得到了系统稳定的平衡点组成的曲面。在微观粒子物理方面，García[13]通过尖点突变模型解释了质子-中子相互作用的玻色子模型（IBM-2）的相变图及其精确顺序。通过突变理论对物理现象的研究，解释了其中所蕴含的物理机制，推动了物理学的发展。
在电力系统方面，突变理论常用来分析其稳定性。Tripathy[14]应用能量平衡原理，建立了多机电力系统暂态稳定分析的燕尾突变模型，给出了电力系统的暂态稳定区域。美国的Ajjarapu[15]利用初等突变理论对电压系统的稳定性进行了分析，之后Feraidoonian[16]通过借助突变模型得到了多机电力系统暂态稳定和不稳定突变流形的边界。以上研究表明突变理论是研究电力系统稳定性评估的有前景的技术。
在灾害科学方面，国外主要应用突变理论研究腔室火灾。Bertola[17]和Quintiere[18]通过烟气层温度构建了腔室火灾中的突变势函数，发现高斯白噪声无法改变火灾的状态，而控制参数的随机扰动可使系统达到不同的状态，从而可以通过外部的适当扰动控制火灾。根据突变模型，有助于从影响火灾众多的影响因素中寻找其控制因素和因控制因素的数量变化带来的突变影响，从而为火灾安全研究奠定重要的基础。但是影响火灾的因素异常复杂，要更准确地用突变模型来描述，还需要学者们进行深入研究。
在农业系统应用中，研究蚜虫种群动态问题时经常使用折叠或尖点突变理论与两个控制变量，如天气和天敌。Ma和Bechinski[19]通过建立尖点突变模型，探讨了蚜虫的内部增长率和环境因素之间的关系。以温度和植物生长阶段为控制变量，认为蚜虫种群数量增长本质上是突变性的，而温度和植物生长阶段是平稳变化的。Piyaratne等[20]则对其进行了进一步发展，选择3种控制因素：天气、作物和天敌，基于燕尾突变模型构建了分析小麦蚜虫种群动态的模型（APHIDSim），获得了更精确的小麦蚜虫种群动态结果。
在社会科学中，Zeeman[21]利用突变理论来模拟动物的行为，如狗的侵略行为。之后，Zeeman[22]使用突变理论，通过在小规模神经显性定量模型和大规模心理显性定量模型之间建立一个中等规模的动态隐式定性模型来研究人脑，为行为学研究带来了新的技术手段。
在工程地质学中，Henley[23]建立了突变模型来分析火山喷发和断层运动的现象。John等[24]根据突变理论解释了大陆架的沉积过程。在交通流分析中，Dendrinos[25]认为折叠突变可以用来描述参数关系图中速度-流量的关系，并应用其分析了交通数据。Navin[26]利用尖点突变来描述密度、体积和速度的关系。Hall[27]用突变模型进行了速度预测，研究发现突变理论模型相比于其他的模型有着明显的优势，在应用方面很实用。
在水文水资源领域，突变理论可以在水文系统和过程的研究中发挥作用，特别是在处理数据噪声问题时效果显著。Ghorbani等[27]采用随机尖点突变模型研究伊朗阿塞拜疆阿吉河流域月降雨径流过程中可能存在的不连续性。在这个模型中，降雨作为控制变量，径流作为状态变量，并对模型的性能进行了评估。在地下水研究中，突变理论可以研究地下水的影响因子，还可以对地下水水位进行预测。Alaa[28]利用熵指数和突变理论方法，在地理信息系统（GIS）环境下，利用加权线性组合技术，对干旱地区的地下水潜力进行了划分，找到了影响地下水的主要因素是坡度和海拔，同时发现突变模型具有较好的地下水水位预测能力。另外，采用突变理论进行地下水防污性能评价可以避免主观因素的影响。Sadeghfam[29]将基于突变的多目标评估体系应用于地下水防污性能评价常用的DRASTIC方法中，以避免决策者过度的偏好。在洪灾方面，突变理论可用于洪水敏感区的绘图。Al-Abadi[30]选择了7个致灾洪水因子，采用加权线性组合技术，应用突变模型导出各因子的权重，应用层次分析（AHP）法计算各因子类别的归一化排序，得到了伊拉克南部东北部易发洪水的地区。
在化学方面，Blum等[31-32]提出了化学动力学中的放热反应存在尖点突变现象。在生物学中，突变理论可以应用于研究边界运动[33]。Bazin和Saunders[34]建立了研究捕食者-食饵动力学的可靠系统，并基于突变理论进行了分析。在计算机领域，Ranjan[35]分析了两种典型的计算机网络模型，借助突变理论的思想讨论了由倍周期分叉所引起的突变现象。在医学领域，哥本哈根大学的Kuijper[36]将突变理论用于医学图像分析，取得了较好的效果。对于经济学，Barkley[37]探讨了突变理论在经济学中的应用及争议，并讨论了突变理论在经济学中应用的替代方案，认为突变理论在经济学中的应用是十分有前景的。
通过对国外学者在突变理论研究的总结可以发现，国外学者较为注重突变理论本身的发展，其研究推动了突变理论自身的成长；而在应用方面，大都应用突变理论对突变现象进行解释和预测，加深人们对突变现象内部机理的理解，而应用突变理论进行风险评价之类的工作尚不多见。
1.2.2 国内研究现状
在国内，突变理论研究起步较晚，自从凌复华教授[39]翻译了《突变理论入门》，越来越多的人开始关注突变理论，突变理论的研究也取得了一系列的成果，目前已有的研究主要包括洪水风险评估、水资源安全分析、地下水开发利用、生态健康、城市水安全分析、大坝安全评价、地质力学、地震、金融投资、交通拥堵、发展规划、农业虫害、物理学和稳定性分析等方面。
（1）洪水风险评估。洪水灾害是影响我国居民生产生活和社会发展的重大自然灾害，由于自然地理环境和历史发展等特殊条件，我国洪水灾害范围广、频率高、突发性强，且一旦发生洪水造成的损失也是十分巨大的。由于洪水灾害涉及多种不确定性因子，必须综合考虑工程技术、生态环境、社会经济等方面的风险因素，对洪灾的综合风险进行研究分析。通过洪水风险评估，增强人们对洪水风险的认识，提高各种防洪减灾工程与非工程措施的适应性，是防洪减灾领域十分重要的工作。而突变理论正是解决这类问题的行之有效的手段，通过构建洪水风险评价指标体系，可以应用突变评价的方法，得到洪水风险评价等级，且模型一般是通过对评价指标进行分解，采用归一公式对指标进行确定和量化，相对地减小了主观性，使决策或评价更趋于实际，且相对其他方法来说，突变评价方法计算简便快捷、结果准确、适用简便，验证了运用突变理论进行洪灾风险评价的合理性[40-41]。李绍飞等[42]从系统论角度构建了洪灾风险评价指标体系，以海河流域大黄堡洼蓄滞洪区为研究区域，将突变理论评价法和模糊综合评价法应用于洪灾风险综合评价中，二者评价结果大体相同，并与相关数据显示的实际情况基本吻合，验证了突变理论方法用于洪灾风险评价的可靠性。苏超等[43]在分析我国城市防洪体系安全评价的指标体系及其等级标准的基础上，将突变理论与模糊分析结合起来，对城市防洪体系进行多层目标分解，得出了城市防洪体系的总突变级数值，实现了城市防洪体系安全评价。高玉琴等[44]从洪灾脆弱性组成结构出发，选取11个指标构建洪灾脆弱性评价指标体系，建立了基于突变理论的区域洪灾脆弱性评价方法，并与基于熵权的模糊优选法进行对比，证明了方法的合理性和有效性。传统的洪水风险评价研究对于多因子问题的处理有相当难度，这也是近些年来人们所关注的技术瓶颈问题，突变理论在综合风险评价问题上解决了以往不能全方位关注洪水风险相关各个方面作用的局限，研究成果可为防洪减灾提供更科学、完整的决策依据。
（2）水资源安全分析。随着世界人口的增长，人类活动的加剧，生态环境问题的异常突出，全球可利用的水资源越来越有限，水资源所面临的危机将愈演愈烈。作为国家生存与发展的基本保障条件，水资源安全已成为全世界各国共同关注的焦点。如何在满足社会、经济、环境可持续发展的条件下，同时保证水资源的安全，是目前面临的严峻问题，也是世界水资源领域重要的方向性问题。在对水资源安全状况、水资源开发利用风险等的研究中，突变理论亦有其用武之地，通过构建评价指标体系，采用突变级数法，可以对城市水资源安全状况、水资源开发利用风险、水资源利用状况等进行分析[45-48]。王红旗等[49]从水资源安全预警的内涵和原则出发，结合水资源复合系统的分析，构建了水资源安全预警指标体系。同时采用基于突变理论的突变级数法，对评价指标进行多层次分解，以泉州市为例建立水资源安全预警指标，从时间尺度上掌握了泉州市水资源安全状况的变化趋势。李三平等[50]采用突变理论和PLS模型，对山东省9个重点城市的缺水程度进行了评价，并且指出水资源利用率和单位国内生产总值（GDP）需水量对缺水程度影响最大。以上研究通过实例分析，表明采用突变理论对水资源安全问题进行研究，方法合理、可行，且相对于以往方法，很大程度地避免了权重赋值的主观性，减少了人为因素，为水资源安全评价提供了新的思路。
（3）地下水开发利用。地下水是水资源的重要组成部分，作为基础性、战略性的重要资源，在保障城市供水安全、维系生态系统平衡等方面具有重要作用。地下水的开发不仅仅关系水资源利用效益的问题，也存在环境影响、水质变异等风险问题。为了满足经济发展，许多地区长期过量开采地下水，破坏了地下水及其赋存介质天然状态下固有的补给、径流和排泄之间的平衡关系，对原有的生态和环境产生了一系列影响，已严重威胁国家饮水安全、经济安全和社会稳定。可以应用突变理论对地下水脆弱性、开发风险、环境风险等进行研究，从而提高地下水管理能力，加大地下水保护和管理的工作力度，推进地下水超采区治理和生态环境保护[51-53]。徐明峰等[54]根据长春城区半承压含水层的具体状况，将含水层厚度等7个评价因子划分为两个综合因子，以这两个综合因子为控制变量建立地下水特殊脆弱性状态的尖点突变模型，对地下水特殊脆弱性进行了评价。冶雪艳等[55]从影响地下水开发利用的各类因素入手，构建了地下水开发风险评价指标体系，根据地下水开发利用过程中出现的突变现象以及地下水环境的特点，采用突变理论对地下水开发风险进行评价，并对黄河下游13个沿黄地区地下水开发风险进行了评价，其结果与黄河下游地下水系统的实际情况相吻合。以上研究通过对地下水开发中的各类问题进行阐述，说明了突变理论在地下水开发研究中应用的可行性，扩展了突变理论的应用领域，对于促进地下水资源可持续利用，支撑经济社会的可持续发展具有十分重要的意义。
（4）生态健康。随着社会的快速发展和人类生活水平的提高，全球出现了大量生态破坏与环境污染问题，影响着整个生物圈的完整与稳定。在保证经济增长的过程中，如何维持生态系统的承载力与恢复力，从而实现可持续发展受到诸多学者的广泛关注，而突变理论为学者们提供了可靠的手段[56-64]。吴颖超等[65]从水资源承载力和水污染承载力两方面选取指标，采用改进熵值法对指标进行重要性排序，建立了基于突变级数法的区域水环境承载力评价模型。李美香等[66]将熵值法引入突变模型中进行耦合，建立了河流健康评价体系，避免了传统的评价方法对于评价指标权重的主观赋值带来的误差。李亚男[67]针对湖库生态安全评价多准则、多层次的特征，运用突变级数法进行湖库生态安全综合评价，避免了层次分析法、综合指数法、模糊综合法等诸多方法在确定权重时主观性较大，或者计算过程过于复杂的不足。通过对生态系统的服务功能价值、河流健康、水资源承载力、生态安全、生态评价的研究，整合了人类对生态系统造成的压力和生态系统对人类生活的响应，可以更有效地辅助环境管理决策，彰显了突变理论在生态健康领域研究的巨大作用，同时，基于已有的生态系统健康研究，可以构建出应用性更强、评价效果更好的生态评价指标体系，切实指导生态环境政策的制定与实施。
（5）城市水安全分析。水资源是城市发展的基础性资源，城市的空间布局与水资源的空间布局密切相关，历史上的大多数城市都是依托良好的水源发展起来的。城市是用水户最集中、用水强度最大、供水保证率和水质要求最高的区域，但同时，城市也是水危机出现时矛盾最突出的区域。应用突变理论，可以对城市水资源安全阈值作出判断，有助于政府部门合理配置水资源。张玉山等[68]依据天津市的水资源现状，采用尖点突变法对典型缺水的天津市水资源进行了供需平衡分析，并结合各行业供需保证率，建立了水资源安全阈值分析的尖点突变模型，通过具体分析该模型的状态变量（水资源安全度）、主控制变量（人均水资源量）和次控制变量（综合水价与需水量耦合值），进而利用突变判别式得出了天津市水资源满足行业供需保证率的水资源安全阈值下限（25.08亿m3），为城市供水、发展规划及水资源的可持续发展提供了参考。同时，采用突变理论可以对城市配水系统脆弱性作出评价。牛志广等[69]根据突发事件作用下城市配水系统供水功能的突变性特征，以地震灾害为例，建立了配水系统的脆弱性评价指标体系和配水系统功能转变的尖点突变模拟模型，提出了一种新的配水系统脆弱性评价数学模型，并以华北某区配水系统为实例，验证了模型的理论与实际可行性，为配水系统的安全设计提供了决策依据。针对目前水资源管理中存在的问题，任珩等[70]采用参与式访谈和突变级数法，从政策认知水平、水资源利用效率水平、政策实施的社会经济效益水平、政策实施的生态环境效益水平等4个维度评价了民勤绿洲水资源管理政策绩效。通过绩效评价，可以促进管理人员提高服务意识，推进全面节水型社会和水生态文明建设。
（6）大坝安全评价。大坝安全评价是一项非常复杂的系统评价项目，我国现有的大坝安全评价体系经过多年的应用，在我国大坝安全管理和除险加固中起到了较大的作用。但是该评价方法主要以定性评价为主，而且3级分级较为粗糙，虽然可以满足区分大坝是否安全，但还不能满足安全程度判断的需要，应该在现有基础上进行进一步完善，实现大坝安全的量化评价。通过对大坝多个单项指标进行评价后，最终得到大坝的综合评价，因此，如何实现大坝各单项评价由定性评价到量化评价的转化是大坝安全评价量化评价技术研究的关键，而突变理论在这一转变中发挥了积极作用[71-76]。何金平等[77]基于突变理论，对大坝安全评价进行多层目标分解，计算出不同时期大坝安全总突变隶属函数值，动态地对大坝安全状态进行了模糊综合分析与评判。谷艳昌等[78]对水库大坝结构失稳突发事件的突变特征进行了探讨，以安全监控模型的时效分量为警兆信息，基于突变理论建立了时效分量的突变模型，并结合遗传寻优算法提出了水库大坝结构失稳突发事件预警阈值的确定方法。陈迪辉等[79]通过引入尖点突变理论，实现了拱坝安全度的定量分析，结合三维有限元拱坝模型，利用有限元软件Abaqus计算坝体位移场，基于位移尖点突变模型得到了拱坝整体安全度。采用突变理论对大坝安全进行评价，各评价指标都得到了各自不同的量化评价值，可以明确地了解工程该项指标的安全程度。由此可见，通过突变理论量化评价模型实现大坝安全的量化评价是可行的，可为相关管理部门进行决策提供更为明确的依据，具有较强的实际意义。
（7）地质力学。在地质力学方面，边坡结构的稳定性研究对于泥石流灾害的预防和应急管理具有重要作用，而突变理论通过考虑不同的影响因素，建立合适的突变模型，探讨不同因素对于滑坡孕育和触发过程的影响，还可采用突变级数法对泥石流的危险度进行评价[80-82]。孙强等[83]通过平面滑动型斜坡，考虑滑面介质由不同力学性质的材料组成，建立了斜坡系统的燕尾突变模型，发现斜坡失稳与刚度比具有极大关联性。刘炜[84]基于突变理论的观点，对泥石流发生频率、泥沙补给段长度比、24h最大降雨量等9项危险因子进行分析，并综合考虑各危险因子之间的相关性，对危险因子进行分类并排序，建立了多层突变理论评价模型，该评价模型合理地反映了泥石流灾害系统的内在机制；同时对清香坪泥石流沟进行了评价，评价结果与灰色关联度模型评价结果一致，说明该评价模型是有效的，可为泥石流灾害的预防提供依据。
（8）地震。地震是十大自然灾害之一，剧烈地震会给社会和人们带来破坏性的灾难。因此，对地震成因的研究十分重要，而地震正是属于突变理论所研究的突变过程，通过突变理论研究相关因素对地震的影响，可以得到一些定量的结果，对地震的研究可以起到十分重要的作用。王志强等[85]基于库水在水库诱发地震中的重要作用，引入水致弱化函数，运用突变理论对走滑断层诱发水库地震的机制进行分析，建立了围岩-断层系统的折叠突变模型，分析了水库诱发地震的发生条件和过程，并给出了系统失稳破裂的临界条件。刘鼎文[86]将地震发生的物理模式（IPE模式）与A3类尖点突变结合起来，创建了一种新的地震危险性判定方法，同时提出了边坡稳定性评价的突变理论方法。通过突变理论对地震进行分析，其结果对于地震的预测具有一定的启示意义。
（9）金融投资。投资决策是企业所有决策中最为关键、最为重要的决策，一个重要的投资决策失误往往会使一个企业陷入困境，甚至破产。应用突变理论可以对市场波动变化进行分析，并对若干个可行性的投资方案进行研究论证，选出最满意的投资方案[87-89]。邹坦等[90]针对工程投资项目的可行性方案决策问题的多目标、多属性特征，采用突变理论建立了一种具有可操作性的突变投资决策模型。李一智等[91]基于突变理论建立了期货价格突变模型，并对期货价格突变现象作出了相应的解释。通过突变理论可以建立投资决策模型，掌握市场波动，对企业作出正确的决策极为重要，突变理论为企业把好投资决策关提供了重要的手段。
（10）交通拥堵。随着经济和社会快速发展，我国很多城市市区面积逐渐扩大，道路建设不断增多，出行车辆不断增加，城市交通已经进入一个快速发展的阶段。但是，同时很多城市市区交通却开始出现交通拥堵问题。采用突变理论可以研究交通拥堵的影响因子、道路通行能力，并可以给出交通拥堵出现的临界条件[92-96]。何显慈[97]用突变理论描述了交通流出现阻塞的突变曲线，讨论了车流阻塞的特定条件——临界车流密度、临界车速、临界车流量。根据交通拥堵出现的临界条件，交通管理部门可以提前制定预案，在拥堵出现之前，及时采取措施，疏导车流，保障城市交通运行畅通无阻。
（11）其他领域。除了以上领域，突变理论在其他领域同样得到了广泛应用。在发展规划方面，吴次芳等[98]推导并建立了多目标突变决策模型，并讨论了模型在土地利用总体规划中的具体应用，同时对照层次分析法，对模型的优缺点作了分析。陈蓓鸽等[99]从突变理论出发，对产业经济进行研究，并应用于某大城市郊县的经济发展规划中，获得了良好效果。在农业虫害方面，魏雪莲等[100]将燕尾突变模型应用在生态学中研究由于作物状况、气象因素及天敌变化而引起的害虫种群数量的变化，说明了害虫种群数量发生突变的条件和机理。赵惠燕[101]运用突变理论研究了病虫害发生危害的突变规律，建立了尖点突变模型，确定了重要病虫害发生突变的时间及危害程度。以上研究总结了农业主要病虫发生危害的突变规律，克服了突变理论在生物学上难以应用的三大困难（势函数难以用解析式表达、不易选定合适的控制变量和突变区域难以量化），确定了突变区域和动态防治指标，并可以对病虫危害进行预测。在生物种群研究中，闫志刚等[102]基于突变理论，以大熊猫分布区生态系统为研究对象，选取了大熊猫种群数量、栖息地与潜在栖息地的面积为系统关键指标，利用种群与栖息地、潜在栖息地之间的耦合函数，构建了“大熊猫-栖息地”系统椭圆脐点突变模型，发现虽然野生种群数量、栖息地与潜在栖息地的面积均持续增长，但严峻的局域种群生存危机与栖息地的高度破碎化，从总体上削弱了系统的稳定性，大熊猫分布区生态系统的稳定性处于持续下降态势，且濒临系统临界状态。研究表明，大熊猫的生存形势仍十分严峻，应继续大力开展大熊猫繁育保护工作。在矿产业研究中，黄慎等[103]采用突变理论推导了矿柱突变失稳的充分必要条件，并研究了矿柱突变失稳的释放能量机理。翟文宝等[104]在分析突变理论的基础上，综合考虑储层因素和地质因素，根据层次分析法原理建立了由目标层、准则层和指标层组成的页岩储层可压性评价多层次结构模型，确定了页岩储层可压性评价突变模型，减少了以往评价模型的人为主观性，评价方法更为简单，评价结果更加可靠，为页岩储层可压性评价提供了一条新途径，对于页岩气开发的压前评价具有一定的指导意义。谢学斌等[105]通过构建顶板-矿柱三维空间力学模型，利用突变理论和流变力学理论对其稳定性及突变倾向性作定量与定性分析，推导出了系统在不同时刻突变并释放能量的数学判据和力学条件，在此基础上探讨了各影响因子对该系统稳定性的影响。研究结果为矿山安全开采规划和采空区群系统稳定性评判及调控提供了新思路和新方法。在物理学研究上，马爱群等[106]应用突变理论对具有F-P谐振腔的光学双稳态理论和双光子光学双稳性理论进行了研究。沈茂山等[107]建立了弹性扁拱振动失稳的尖点突变模型，给出了振动失稳的临界点，并进一步分析得出了发生失稳的条件。陈亮[108]应用突变理论建立了Eider压杆问题的能量表达式，并对此模型进行了稳定性分析，得出了系统全部的分叉集与突变流形，对压杆后屈曲问题的研究很有帮助。通过突变理论可以深入地对物理现象进行剖析，了解其机理，给基础物理研究带来了新的方向。
突变理论的研究对象遍及各个领域，对不连续的跃迁或界于连续变化和不连续变化之间的变化，突变理论提供了一种普遍适用的方法，使突变理论在实际应用中有着广阔的应用前景，其应用已经遍及物理、应用数学、生物、工程、水文水资源等领域。纵观目前水文水资源系统分析的研究成果可以发现，突变理论主要有两种应用：一是直接运用突变模型来研究突变现象，通过对模型的状态变量和主控制变量的分析选取，选择合适的突变模型可以对突变现象进行刻画和研究，获得突变发生的临界条件，对于预防或促进突变的发展具有重要的指导意义；二是运用突变极数法来探究多准则决策问题，通过合理选取评价指标，建立相应的评估指标体系，并通过对分叉集的归一化处理来相对地减小主观性，使决策或评价更趋于实际，而且突变评价方法相较其他方法，计算简便快捷、结果准确、适用简便，为多准则决策理论的发展提出了一种全新的思路。